巧用錯誤資源 支撐深度學習

劉崢嶸

深度學習是一種基于理解的學習，是指學習者以高階思維的發展和實際問題的解決為目標，以整合的知識為內容，積極主動地、批判地學習新知識和思想，并將它們融入原有的認知結構中，且能將已有的知識遷移到新的情境中的一種學習。

一、深度學習需扎根于深度質疑，在質疑中加深對深層知識的理解

在講授完基本不等式的應用后，教師設計了如下一道練習題：已知0

大多數學生提出如下解題思路：解法1：y=x（1-2x）=-2x2+x=-2（x-■）2。∵ 0

解法2：y=x（1-2x）=■×2x（1-2x）≤■×[■]2=■。當且僅當2x=1-2x即x=■時，y取最大值■。

解法1利用一元二次函數的單調性求最值，解法2符合基本不等式“一正，二定，三相等”的條件，因此正確無疑。但也有學生提出如下2種解題思路，并質疑：我的做法為什么錯？

解法3：∵ 00，從而y=x（1-2x）≤[■]2=■，當且僅當x=1-2x即x=■時取等式。所以當x=■，y取最大值■。

解法4：∵ 00，從而y=x（1-2x）≤[■]2=■恒成立，令h（x）=■，所以只需y≤h（x）min即可，易得h（x）>■，所以y≤■。

二、深度學習需扎根于深度感悟，在感悟中“去皮留質”

解法3錯誤的根源是什么呢？

當時0

解法4錯誤的根源是什么呢？此解法中運用了轉化思想，將f（x）≤h（x）恒成立轉化為f（x）max≤h（x）min，這屬于雙函數單變量的任意性問題，對于這類問題，不少學生往往無從下手，到底如何正確轉化？教師引導學生利用圖像來直觀分析解法4。畫出函數f（x）和h（x）的圖像。由圖像可以看出，在（0，■）內，f（x）的圖像始終在h（x）圖像的下方，它們相切于P（■，■）。但很明顯f（x）max≤h（x）min是不成立的。教師追加一問：為什么呢？學生恍然大悟，f（x）取最大值時的x與h（x）取得最小值時的不相等！教師還是追加一問：那么怎么解決雙函數單變量的任意性問題呢？學生經過思考，認識到：對于這類問題基本的解題思路有兩種，一種是作差，把兩個函數轉化成一個函數，從而變成單函數變量中的任意性問題；另一種方法是分離參數法。學生通過分析、診斷，提煉出了利用基本不等式求最值的注意點，理解了雙函數單變量的任意性問題如何正確轉化。

三、深度學習需扎根于深度重構，由“霧里看花”到“了若指掌”

與解法3相比較，解法2實質是用基本不等式說明00）中a+b不是定值的話，就無法保證當且僅當a=b時（■）2的值就是ab的最大值。

解決了問題后，教師圍繞“錯誤資源”的特征引導學生深入探究，進行知識的深度重構。

探究1.設正數a，b滿足a+b+3=ab，求a+b的最小值。

探究2.若對任意x∈[1，2]，不等式■≤■恒成立，則實數a的最小值為_____。

學生的“錯誤資源”，是可遇不可求的，是稍縱即逝的，是正確的先導，是思維火花的閃現。教學實踐告訴我們：抓好學生的“錯誤資源”是重要的，但如何規避錯題并構建起清晰的自我監控回路者更重要的。基于深度質疑、深度體悟、深度重構的深度學習是建構觀念、培養思維、提高探究能力的必經之路，在數學教學中，設計恰當的教學內容是促進學生深度學習，是發展學生數學核心素養的關鍵。

責任編輯徐國堅