通過解決問題的反思獲得解決問題的途徑

摘 要：張奠宙老師說：“核心素養基于數學知識技能，又高于具體的數學知識技能。它反應數學本質與數學思想?！笨梢姡诵乃仞B的獲得少不了探究和反思的教學過程。教師在精心設計問題的基礎上，用數學研究的方式和方法，指導學生對問題進行多角度的分析與探索，從學習材料中選擇或確定專題進行研究，并在研究的過程中學生能主動獲取知識、應用知識、解決問題，進一步提高學生的創新意識和探究能力及綜合素質。下面筆者談談從課本一個性質推導過程的反思中，總結解決一些問題的途徑，以期待培養學生的數學素養。

關鍵詞：數學；知識技能；教學

一、 課本環節 提出問題

（浙教版初中數學九年級上冊4.3 相似三角形的性質2）

我們知道相似三角形中有關相似比與周長比和面積比的關系是：相似三角形的周長之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方。這句話本身不難記，學生也應該很容易接受，為什么教材中要安排這樣一個探索的環節？花這么長的時間解決一個看似很簡單的問題到底要傳授學生什么呢？

二、 歸納總結 提煉思想

經過前面的操作過程，不僅讓每位學生有一個非常直觀的感受，而且也兼顧學生的主體發展，引導學生不斷主動參與到知識的形成過程中，為后面的學習作了一個很好的鋪墊。

（一） 探索——撥開云霧見月明

學生們很快給出了兩個相似三角形，我請了一個利用方格子畫出兩個相似三角形的學生展示他的結果。顯然可以得到以下結論：

相似三角形的周長之比是相似比，面積之比是相似比的平方。

師：同學們都有這樣的結論嗎？

生：是的。

師：那我們是不是可以說這就是相似三角形的一個性質了呢？

生1：是相似三角形的性質。

生2：但是我們舉的例子畢竟還是有限的幾種，并不能代表所有的相似三角形啊。所以我們得證明任意情況才能說它是性質。

師：這位同學分析的非常有道理，那任意情況又要怎么證呢？

生3：把具體的數值變成字母就可以了。

師：很好。那我們看看，上面我們已經總結出來的這個結論中，已知條件是什么呢？

生4：兩個相似三角形，還有就是不管是周長之比還是面積之比都是與相似比建立關系，所以相似比也是已知條件。

經過師生的交流合作，于是有了以下的證明過程（見書本）。最后板書。

（二） 總結——喝水不忘挖井人

師：反正都是要證明任意情況的，前面的合作學習還有什么必要呢？不是多此一舉嗎？

生5：如果沒有前面的合作學習，那我們就不會知道周長比和面積比與相似比的具體關系，那我們證什么都不知道啊。

生6：而且我們在證任意兩個相似三角形的時候，也是要和前面特殊情況一樣，把周長、面積分別求出來，也就是說其實方法是一樣的，就是把具體數值換成字母。

通過上面的教學過程，我們不妨做一個實踐總結：

第一步：操作。學生手頭上首先得構造一對相似三角形，這也是對已學過的判定方法的一種運用，用三角板畫，用方格子畫，用尺規畫等等，總之，所畫的這對相似三角形三對對應邊長度已知，即給出了一種已知值、特殊值。既然要選一個特殊值，也為了避免一些不必要的麻煩，可以引導學生選擇更特殊的直角三角形及數據，以利于后面猜想結論的總結。

第二步：猜想。因為有具體的數值，很快可以得到三邊都已知的相似三角形的周長比及面積比的值，并發現它們分別與相似比的關系：周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方。于是猜想：對所有的相似三角形都有周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方這樣的結論。

第三步：探索。首先，從特殊到一般，我們常用的是把相應的數值替換成字母；然后需要理清剛才解決該問題的方式，即把兩個周長或者面積求出來，然后再比一比。當其中一個三角形用字母表示后，另一個三角形的周長和面積需借助相似比進行表示，然后再把兩者比一比。所以不僅是思想上從特殊到一般的轉化，也是方法上的一種延伸，為后面的證明過程鋪石修路。

第四步：證明。最后是整個過程的一個呈現，完成一般情況的嚴密證明。

《新課標》“四基”中，新強調的基本活動經驗和基本思想方法在這里就是一次很好的解讀，通過實踐操作，從特殊情況出發反思解決問題的過程，獲得解決問題的途徑。數學教學離不開例題習題，離不開教材教法，而教學中如何從中挖掘潛在的智能價值，充分展示教學功能，落實培養學生核心素養就會顯得格外的重要。

三、 利用已學 水到渠成

現在越來越多的題目不是直接可以看出方法的，特別是變換類問題，學生要不摸不著頭腦接，要不就談虎色變。接下來我們看看，用剛才教材中的處理模式，很多大山一樣壓得學生喘不過氣的問題如何迎刃而解。

（一） 典例1：已知：如圖，△ABC與△DEF均為等邊三角形，O為BC、EF的中點，則AD∶BE的值是（）

A. 3∶1B. 2∶1C. 5∶3D. 不確定

實踐1：

第一步：尋找特殊位置和特殊值。如圖1所示位置，且邊長是2倍關系。令小邊長為1，由圖很快可以得到BE=1，AD=3。如圖2所示位置，直接可以根據特殊角30°看出AD=3BE。

第二步：猜想AD∶BE的比值是3。如果對于選擇題，答案已經出來了，可見這種特殊值法在類似這種不要求解題過程的題型中很有優勢，也為一般情況的探索提供了一個明確的方向和線索。

第三步：探索中摸索一般情況下的解決方案。由前面的兩個特殊位置和特殊值，均得到3這樣的結論。不禁要問：這是偶然嗎？還是有什么共同的隱性條件決定著這樣的結論。接著觀察我們不難發現這個3都和30°角有關，再結合條件：O為BC、EF的中點，我想我們會很容易想到連接OA和OD。這正是我們解決這個問題的突破口。endprint

第四步：梳理環節，充實證明。由剛才添的輔助線OA、OD，再加上要研究的兩邊AD、BE，不難發現這些線段都集中在△AOD和△BOE中，其中OA、OD、OB、OE四邊又成比例，再加上已經有比值是3這個明確結論，所以容易聯想到證這兩個三角形相似。已經有四邊成比例，所以只要再加夾角∠AOD和∠BOE相等。

（二） 典例2：若一個四邊形的兩條對角線互相垂直且相等，則稱這個四邊形為“奇妙四邊形”。如圖1，四邊形ABCD中，若AC=BD，AC⊥BD，則稱四邊形ABCD為奇妙四邊形。根據“奇妙四邊形”對角線互相垂直的特征可得“奇妙四邊形”的一個重要性質：“奇妙四邊形”的面積等于兩條對角線乘積的一半。根據以上信息回答：

（1）矩形“奇妙四邊形”（填“是”或“不是”）；

（2）如圖2，已知⊙O的內接四邊形ABCD是“奇妙四邊形”，若⊙O的半徑為6，∠BCD=60°。求“奇妙四邊形”，ABCD的面積；

（3）如圖3，已知⊙O的內接四邊形ABCD是“奇妙四邊形”作OM⊥BC于M。請猜測OM與AD的數量關系，并證明你的結論。

實踐2：針對第（3）問

第一步：尋找特殊位置（如圖）。讓AC與BD都經過圓心，且互相垂直，則四邊形ABCD是正方形，顯然AD=BC=AB=2OM。

第二步：猜想AD=2OM。

第三步：根據猜想出的結論的特征及方法探索本題的證明過程。

方法1：構造與AD相等的線段且與OM有2倍關系。由于有明確的結論，又有2倍作引導，因此想到了三角形的中位線。M是BC的中點，O是誰的中點呢？顯然是直徑的中點，所以有了作經過C點的直徑CE。接下來就是探索為什么CE=AD。由于它們都是圓O的弦，通過圓周角來證也是很常規的思路。

方法2：取AD的一半并證明與OM相等。弦的一半容易聯想到的是垂徑定理，所以過O點作AD的弦心距OE，然后通過△AOE與△BOM全等證明AE=OM即可。

第四步：梳理過程，完成證明。

通過這兩個典例，我們可以感受到不管是主觀題還是客觀題，在“操作——猜想——探究——證明”的理念引導下，我們可以解決一系列的問題，而這個可以解決一系列難題的理念是能在課本例題或教材教法中找到它的原型。尤其是在解決問題時，以特殊問題為起點，抓住數學問題的特點，逐步分析、比較、討論，層層深入，揭示方向，從解決特殊問題的規律中尋求解決一般問題的方法和規律，又用以指導特殊問題的解決，從而進一步加深對特殊問題與一般問題的相互聯系和認識。

四、 課后思考 拓展延伸

如果從特殊到一般是人們認識世界的開始，那再加上從一般到特殊這個認識過程，就是完整的特殊與一般的數學思想了。數學大師希爾伯特曾說：“在討論數學問題時，我相信特殊化比一般化起著更為重要的作用，這種方法是克服很多數學難題的杠桿之一。”下面提供典例3供老師們研究拓展：第一步：特殊位置；第二步：猜想解決新問題的方式方法；第三步：完成求解過程。

典例3：如圖1，對于平面上不大于90°的∠MON，我們給出如下定義：若點P在∠MON的內部或邊界上，作PE⊥OM于點E，PF⊥ON于點F，則稱PE+PF為點P相對于∠MON的“點角距離”，記為d（P，∠MON）。如圖2，在平面直角坐標系xOy中，對于∠xOy，點P為第一象限內或兩條坐標軸正半軸上的動點，且滿足d（P，∠xOy）=5，點P運動形成的圖形記為圖形G。

（1）滿足條件的其中一個點P的坐標是，圖形G與坐標軸圍成圖形的面積等于；

（2）設圖形G與x軸的公共點記為點A，已知B（3，4），M（4，1），求d（M，∠AOB）的值；

（3）如果拋物線y=-12x2+bx+c經過（2）中的A，B兩點，點Q在A，B兩點之間的拋物線上（點Q可與A，B兩點重合），求當d（Q，∠AOB）取最大值時，點Q的坐標。

《數學課程2011》中明確描述課程內容不僅包括數學的結果，也包括數學結果的形成過程和蘊含的數學思想方法。所以，在數學教學中，作為一線教師更要注重引導學生探索數學問題的解法，同時注重數學思想方法的滲透，時刻做一個“歸納”“猜想”者，力求做到“做一題、通一片，會一類”，讓學生走出題海、學會思考、善于思考，提高四個能力，落實核心素養的實施。

作者簡介：

毛燕玲，浙江省衢州市，浙江省衢州市菁才中學。endprint