整解不忘臨界點 分式牢記要檢驗

☉江蘇省句容市崇明中學 何玉兵

分式方程是初中學生在學習方程時的一個難點，很多學生往往忽視對方程根的檢驗，從而導致錯解或漏解.不等式組的解集問題，學生在范圍的取舍上出錯的原因大多是不習慣借助于數軸.近日，在初三一輪復習過程中，學生在解題時出現了許多不同的典型錯誤，寫出來與讀者分享.

例1若關于x的不等式組,有且僅有5個整數解，且關于x的分式方程有整數解，求所有滿足條件的整數a的值之和.

學生甲解答：將不等式組化簡，得因為不等式組有且僅有5個整數解，所以這5個整數解為4，3，2，1，0，所以，即－4＜a＜3.解關于x的分式方程，得又因為a為整數，分式方程有整數解，所以a的所有可能的取值為－3，－1，1，故所有滿足條件的整數a的值之和為－3.

學生乙解答：解不等式組,得因為不等式組有且僅有5個整數解，所以這5個.整數解為4，3，2，1，0，所以，即－4≤a＜3.解關于x的分式方程，得.又因為a為整數，分式方程有整數解，所以a的所有可能的取值為－3，－1，1，故所有滿足條件的整數a的值之和為－3.

錯解分析：兩位學生的解答從結果上來看都一樣，貌似正確，但在解題過程中犯了多處錯誤.學生甲在解不等式組時，對臨界點－1的情況沒有考慮進去，由于不等式組的解為，即使，x的取值范圍內仍然還是5個整數解4，3，2，1，0，學生乙注意到了這個問題，在不等式組的處理上正確了.兩位學生在解分式方程時，都沒有對方程的根進行檢驗，這樣一來，把分式方程的增根都考慮進去了，a的取值情況自然就多出來了，從而導致解題結果出現錯誤.

正解：解不等式組得因為.不等式組有且僅有5個整數解，所以這5個整數解為4，3，2，1，0，所以，即－4≤a＜3.解關于x的分式方程，得.因為x≠1，所以，即a≠1.又因為a為整數，分式方程有整數解，所以a的所有可能的取值為－3，－1，故所有滿足條件的整數a的值之和為－4.

點評：此題主要考查了分式方程的整數解，以及一元一次不等式組的整數解問題.由于在求解分式方程時，一般需要先化成整式方程，然后求解，所以此時求出的解實際上是整式方程的根，之所以要把根代入到分式方程去檢驗，正是因為在分式方程轉化為整式方程時，是實施了有條件的等價轉化，而條件一般我們不寫出來，這就導致學生在解題時容易忽略等價轉化時需要具備的條件，自然就忘記了最后的檢驗過程，從而出現了多解或錯解的情況.此外，解不等式組時，數軸是我們的法寶，借助于數軸，才能不忘考慮臨界點時的取值情況.

例2若關于x的分式方程的解為正實數，求實數m的取值范圍.

學生解答：解關于x的分式方程，得x=.因為方程的解為正實數，所以，所以m＜6.

錯解分析：學生在解此分式方程時忽視了對增根的檢驗，當m=2時，由x=可得x=2，為分式方程的增根，所以還應該有，即m≠2的限制.

正解：解關于x的分式方程，得因為方程的解為正實數，所以，所以m＜6，考慮到方程為分式方程，所以x≠2，即，所以m≠2，所以實數m的取值范圍為m＜6且m≠2.

點評：在純粹的解分式方程的根題目中，學生一般還是注意到要對求出的根進行檢驗，而像這類在分式方程中求參數取值范圍的問題，由于題目看起來讓學生感覺到主要問題不是解分式方程，而是求參數的取值范圍，所以學生最容易忽視的就是對增根的檢驗，只是簡單地去解一下關于參數的不等式而已.

下面，一起來看一道?？碱}：

考題關于x的分式方程的解為負數，求k的取值范圍.

考生解答：先將關于x的分式方程，化成整式方程，有k－1=2（x+1），解得.因為分式方程的解為負數，所以，即k＜3.

錯解分析：考生先將關于x的分式方程化為整式方程，求出整式方程的解，再利用解為負數，求出k的取值范圍，但是考生忘記了對分式方程增根的檢驗，本題應根據分式方程中有x≠－1，通過解不等式組得出k的取值范圍.

正解：解關于x的分式方程，得.因為分式方程的解為負數，所以，有k＜3.再由于分式方程中x≠－1，所以，即k≠1，綜上所述，k＜3且k≠1.

點評：看似一個很易做的分式方程求參數范圍的題目，卻在考試時迷惑了眾多考生，犯錯的考生只注意到了題目中的“方程的解為負數”，而疏忽了方程前的“分式”二字，從而沒有對分式方程的增根進行考慮，導致了問題的錯誤作答.

在解一元一次不等式組的整數解時，要養成借助于數軸的好習慣，這樣能讓學生準確定位，能讓學生不忘考慮臨界點時的情況.另外，解分式方程時，根的檢驗是學生極易忽略的地方，即使老師經常提醒，學生也會常常遺忘，只有在平時多加強這方面的訓練，讓學生形成條件反射，才能有效提高解分式方程的正確率.H