基礎與能力并舉，文化與素養齊飛*——2018高考數學北京卷試題評析與思考

☉北京市通州區潞河中學 白志峰

☉北京市通州區教師研修中心 王學一

一、試題概述

2018年高考數學北京卷繼續保持多年來形成的格局.文、理試題適度區別，既保持相對穩定，又進行適度創新，難度較去年有所提升.試卷堅持了北京卷“簡潔、清晰、親切、嚴謹”的風格，避免了“偏題、怪題、難題”，客觀題難度適中、主觀題層次分明.入口低、坡度緩、梯次遞進、步步深入，切合北京市的實際情況.同時關注新高考的改革趨勢，堅持立德樹人的價值導向，既體現了高考的選拔功能，又在中學數學教學的導向方面進行了有益的探索.

二、試題的主要亮點

1.立足基礎，注重本質理解

北京高考數學試題十分重視對基礎知識和基本技能的考查，充分關注未來社會對公民所要求的共同的數學基礎，充分關注基礎知識在能力形成過程中的作用.縱觀今年文理試卷，不難看出，試題不追求特殊技巧，注重通法通性，倡導對數學知識的本質理解和感悟.試卷整體上保持較大比例的基礎題和中檔題.選擇題和填空題大多以考查基礎知識為主，檢測學生對一些數學核心概念和基本性質的理解和掌握情況.例如，文科第7題，在平面直角坐標中給出單位圓上的四段弧和tanα，cosα，sinα的大小關系，要求判斷P點的位置.該題設置巧妙，用一道題考查了三種三角函數的定義，如果考生對定義有本質理解，結合三角函數線可直接得出結論，無需計算論證.又如理科14題，考查的是橢圓雙曲線的定義、方程、性質等基礎知識，但解答時需要考生對于相關知識有融會貫通的、本質的理解，需要的是感悟與升華，靠簡單的重復訓練是不可以的.

2.突出主干，注重數學思想

試卷以《考試說明》為依據，圍繞函數、三角函數、數列、立體幾何、解析幾何、統計與概率、導數等支撐學科知識體系的主干部分設置試題，解答題不刻意追求知識的覆蓋面.既注重主干知識的交匯，又注重對數學思想的考查，并將多樣的數學思想方法，置于“平凡”的數學問題之中，體現了“數學思想方法是數學知識的精髓，是知識轉化為能力的橋梁”這樣的認識高度.

例如，文科19題、理科18題的第2問，需要對參數進行分類討論；借助文科第13題、理科7、12題考查數形結合思想；借助文理第8題考查轉化與劃歸思想；借助文科20題，理科19題綜合考查函數與方程、轉化與化歸等數學思想，等等.解答時需要考生對各部分知識的通法通性有較深刻的感悟，需要考生具備較強的學科能力.

3.關注文化，注重價值取向

數學文化的內涵是多方面的.文［1］提到：“數學文化表現為在數學的起源、發展、完善和應用的過程中體現出來的對于人類發展具有重大影響的方面，它既包括對于人的觀念、思想和思維方式的一種潛移默化的作用，對于人的思維訓練功能和發展人的創造性思維的功能，也包括在人類認識和發展數學的過程中體現出來的探索和進取的精神等.”由此可見數學文化中包含了數學在育人過程中體現出來的獨特作用：培養人鍥而不舍的意志品質，敢于質疑批判的創新意識.其價值取向是立德樹人.

理科第4題（文科第5題），選取我國“明代朱載堉最早用數學方法求出半音比例”這樣的優秀傳統文化題材，和數列知識相結合設置試題，一方面從數學的視角欣賞和理解優秀傳統文化，另一方面讓學生體會數學在其他學科中的應用價值，和在人類文明中的貢獻，從而增加文化自信，增強民族自豪感.

文科11題以不等式為載體，理科13題以函數的單調性為載體，設置開放性試題，引導學生開放性思考，要求學生能通過構造反例證明一個假命題，考查學生是否具有嚴謹求實的科學態度以及批判質疑的創新意識.

數學是人類文化的重要組成部分，高考對數學文化的滲透必將開拓廣泛的領域，從而對中學數學教育教學產生巨大影響.

4.聚焦素養，注重理性精神

提升學生的數學素養是新課標理念下數學教育的根本目標.北京高考試題密切關注對六大數學核心素養的考查，引導學生用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言描述世界，注重數學的理性精神.

例如，理科5題和16題，文科6題和18題考查學生的直觀想象素養；理科20題以抽象的符號語言為題干，考查學生能否正確理解抽象的數學概念，并在此基礎上進行符號化的數學表征和邏輯推理.要求考生具有較高的分析問題、解決問題的能力，綜合衡量學生的數學抽象、邏輯推理等素養；具體體現在文科20、理科19題中代數證明問題，用以考查學生的邏輯推理素養.

多角度、多層次考查數學運算素養.解答題中，三角函數、立體幾何、圓錐曲線、導數等試題里，涉及到眾多的運算，沒有高難度的繁雜的數值計算，而是站在培養學生數學運算素養的高度，考查學生是否能夠快速明確運算對象，準確選擇運算方法，合理確定運算程序和獲取運算結果，同時考查學生在實施運算過程中遇到運算障礙會調整運算的理性思維能力，以此增加區分度.

文、理科17題給出了“電影公司收集的2000部各類電影的有關好評率”的一組數據，試題背景相同，文理設問各有側重.試題展現的是大數據時代下，讀圖、讀表、數據處理的統計分析方法.考生需要閱讀理解、提取信息，考查學生應用所學的統計知識進行數據分析和構建模型等素養.其中理科第3問要求對六類電影的喜歡程度的方差做出比較，既可以用方差的計算公式得到結論，也可以用方差的實際意義得到結論.不同的做法所耗費的時間大不相同，可以甄別考生理性思維的水平.

三、試題對教學的導向

鑒于新課標的實施和高考的改革，高考試題對此進行了有益的探索，這無疑對教學產生了積極的導向作用.啟示我們要關注如下兩個轉變：

1.從文理分卷到文理合卷

從2017年高考開始，文理試題趨同趨勢增大，為2020年實現文理同卷的高考改革探路.我們看到2018年文理相同題目達9道（含2道姊妹題）.其中作為基礎題的選擇題1至5題，填空題中的9至11題，以文科為起點，難度顯然有所降低.作為傳統的創新題之一，文理第8題相同，比較2016年以前的高考第8題，對于文科生來講難度增大了，對于理科生來講，難度有所降低.這是近兩年的最大改變.我們可以預想：將來必然是“文科為起點，理科為落點”的命題方式，在這樣的大背景下，我們的教學應該怎么做，需要思考，需要實踐.

2.從能力立意到素養導向

隨著新課標的實施，高考命題的理念已經從能力立意轉向素養導向.任子朝先生在文［2］指出：“素養導向的高考命題注重基礎知識的理解與鞏固，注重科學素養的提升，科學思維方法的掌握，科學態度的形成，注重解決生活中的實際問題.素養導向的高考命題引導中學教學尊重學生的主體地位，激發學生學習的主觀能動性，幫助學生養成良好的學習習慣，從而為國家培養全面而有個性的社會主義建設人才.”

所以教學實踐中應該注重學生科學思維的養成，培養學生用嚴謹的科學思維、嚴肅的科學態度去思考問題；要注重培養學生的探究能力，利用探究型、開放型的問題拓展學生的思維空間.數學教學不僅要關注知識的掌握和能力的形成，而且要關注“人的發展”.教師要不斷加強學習、提高認識，重新審視自己是否理解數學，是否理解數學教學，是否理解高三復習的育人高度和價值追求.唯有如此，教師才能把握好自己的教育教學.

四、對高考復習的幾點思考

1.夯實“四基”，以不變應萬變

一方面，文理試題將走向統一，基礎題的份量勢必增大；另一方面，北京高考試題通過“深化概念、規避題型、創新設計”等手段來增加區分度.所以高考復習務必注重基礎，這里的基礎是指：基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗.

比如數學概念的復習，絕不能簡單采取“羅列概念—幾點注意—例題選講”的形式，而要重新審視概念的形成過程，強化對概念的本質理解，以問題驅動提升學生對概念的理解層次，在解決問題中獲取對概念的感悟與升華；要以結構化、邏輯化的原則構建概念間的聯系，因為孤立的知識點不易理解、不易記憶，也不能形成有效的技能.比如斜率的概念，要深度思考斜率概念的形成過程，深度思考為什么用傾斜角的正切值來定義斜率，而不用正弦值？也要建立斜率與函數的單調性的聯系，斜率與導數的聯系，還要引導學生搞清楚斜率在物理、化學中有哪些體現？這樣的復習才是有效的，才可以達到以不變應萬變的效果.

2.關注思維，實現解題教學的最大效益

高考試題的設計是以數學知識為載體，從學科的整體意義和思想價值高度來立意的，進而考查學生對數學思想和方法的理解程度，以及理性思維的水平.

高三的大量課堂是在進行解題教學.存在的最大問題是“題型覆蓋”和“解法羅列”，大容量的數學習題擠占了落實數學思維的空間，容易形成模式化、程序化的定勢思維.教學實踐表明，高考成績與做題多少不成正比.所以解題教學的根本之道是幫助學生提高思維水平.為此應該做到如下幾點：（1）要準確把握學生的思維習慣、認知基礎，并以此作為解題策略的生成點；（2）要回避“告訴式”的教學方式，要善于引導學生形成有效的解題思路和進行有效的變通；（3）要鼓勵學生敢于質疑，大膽嘗試，教師要善于挖掘學生觀點中的合理成分，順勢而為，自然和諧地生成學生的解法.正所謂“教之道在于度，學之道在于悟”.

3.正視運算，讓學生想得出來、算得出來

北京高考試題的特點是題干簡練，背景公平.考題沒有晦澀難懂的語言敘述，大多數考生在審題這一環節上基本不存在障礙，這樣有利于減緩考生的心理壓力.考生容易下手解題，大多數題目關鍵在于運算.

數學解題離不開運算，但目前不可回避的一個問題是學生的運算能力普遍有所降低.運算能力包括分析運算條件、探究運算方向、選擇運算方法、確定運算程序等一系列過程中的思維能力，也包括在實施運算過程中遇到運算障礙而調整運算的能力.課堂教學要把運算落到實處，要讓學生想得出來并且算得出來.比如，高考解析幾何試題，對于運算量的大小、運算長度的設置、運算障礙的設置都是經過慎重考慮的，在整個試卷里是合理配套的，因而也是考生應該具備的，不可回避的.所以平時的訓練要到位，要落到實處，教師不能一味引導學生規避運算，要鼓勵學生敢于運算、善于運算，提高克服障礙的勇氣和信心，要樹立運算是演繹推理的觀念.