從“初等函數的簡單組合”談函數命題中的“核心素養”*

☉江蘇省蘇州實驗中學 章祥俊

☉江蘇省蘇州學府中學校 席月琴

函數綜合題是江蘇高考和江蘇各地模擬考試始終堅持命制的，一般會給出函數解析式的形式且常含參系數，也就是以研究動態函數的變化為主要考查目的.所以題目的類型以動態函數的特性（或一個動態函數與另一個常態函數的特殊關系）為標尺，考查學生數形結合、分類討論、參變分離等綜合分析、解決數學問題的能力，一般以把關題的形式出現在試卷中.本文從“初等函數的簡單組合”談函數綜合題在命制的過程中如何體現數學核心素養.

例1（2015年連云港三模）函數f（x）=ax-x2（a＞1）恰好有三個不同的零點，求實數a的取值范圍.

考試情況：本班46人參加考試，有2人解答正確，正確率僅為4.3%.

考情分析：學生以前曾經通過二次求導的方法，正確解答類似題目：求證函數f（x）=ex-x2（x＞0）沒有零點.也有極少數學生將不等式ex＞x2兩邊同時取對數，轉化為x＞2ln x，然后再研究.但絕大多數學生的“最近思維區”為第一種解法.上述例1的解答中，有44人均采用此解法，但無一人能給出正確解答，主要原因是因為（ex）′=ex，多次求導后形式不變，而（ax）′=axln a，多次求導后形式比較復雜，無法給出正確的解答.

解題分析：x=0顯然不是函數（f x）的零點，并且當x＜0時，函數（f x）顯然有一個零點，所以當x＞0時，函數（f x）有兩個不同的零點.當x＞0時，由ax=x2，等式兩邊同時取對數得x ln a=2ln x，即ln a==0，得x=e.所以函數g（x）在（0，e）上單調增，在（e，+∞）上單調減，所以g（x）的最大值為g（e）以1＜a＜時，函數（f x）有兩個不同的零點.

考題分析：目標函數f（x）=ax-x2（a＞1）其實就是由兩個初等函數y=ax和y=x2簡單組合而成，這樣的組合既保持了原有函數的“原味”，又體現了組合時的“靈動”.因為y=ax與y=logax互為反函數，所以上述解答并非是“無源之水”.數學學科能力是數學學科素養的核心，探討基于數學核心素養的分析問題能力培養具有十分重要的意義.初高中數學教材中有多個初等函數，它們之間是有密切聯系的.在問題解決的過程中，不同的審題視角將導致不同的分析思維.因此在具體的教學實踐過程中，對不同函數資源進行有效組合，還是很有必要的.［1］我們在教學時，要有意識地和學生一起研究這類通過組合而形成的“新”的函數，例如，初等函數y=x，y=ex，y=ln x之間可以簡單組合成一些“新”的函數：y=ex-x，y=ln x-x，y=x ln x，y=x ex，y=通過這種“微專題”的集中研究（過程略，讀者朋友可自行研究），學生可以感受到“新函數”的產生是“有章可循”的.再次遇到諸如這樣的函數（f x）=ex-ln（x+2），就能比較容易地轉化為研究函數g（x）=ex-（x+1）與h（x）=（x+1）-ln（x+2）了（可以通過圖像法找到函數y=ex與y=ln（x+2）的“中間函數”y=x+1）.在教材變革的影響下，研究教材成為教師必須思考的問題.數學核心素養提高的“源頭”在于教材資源的有效整合，在于教師需要意識到課程標準與教材之間存在無限可能的開發和組合空間，并以課程標準為依據對教材進行二次開發和設計.

例2（2015年鹽城模擬）已知函數（f x）=ln x.

（1）求函數（f x）的圖像在x=1處的切線方程；

（2）若函數有兩個不同的零點，求實數k的取值范圍；（3）是否存在實數k，使得）都有函數的圖像在函數圖像的下方？若存在，求出最大整數k的值；若不存在，請說明理由（.參考數據：ln2=0.6931

考試情況：甲、乙兩個班級分別有學生45、46人，第（3）小問得到滿分的人數分別為甲班12人和乙班39人.（本文只分析第（3）小問）

考情分析：兩個班級的情況為什么有如此大的區別？前一個班級（甲班）的學生在得到k＜ex-x ln x后，對函數y=ex-x ln x的研究大多使用的是多次求導的方法，理由說不清楚.而后一個班級（乙班）的學生對函數y=ex-x ln x求導后，將對導函數y=ex-ln x-1的研究轉化為研究函數y1=exx和y2=x-ln x-1，學生研究這兩個函數（前文例1中已作研究）是非常容易的.產生如此巨大差別的根本原因在于：甲班的學生沒有通過微專題的形式研究“初等函數的簡單組合”，而乙班的學生對這個微專題是認真研究過的，所以他們在看到本題中的函數是由反比例函數、指數函數、對數函數等初等函數組合而形成時，很快就想到了他們曾經研究過的那些“新”函數.

解題分析：由題意得，恒成立，即k＜ex-x ln x.構造函數h（x）=ex-x ln x），則h′（x）=ex-ln x-1.令F（x）=ex-x，G（x）=x-ln x-1，易得F（x）=）上單調增，所以是一個運算技巧，學生需要適當的掌握這種技巧）.G（x）上單調減，在（1，+∞）上單調增，所以G（x）≥G（1）=0，因此h（′x）＞1＞0，所以h（x）在）上單調增，又所以滿足題意的最大整數k的值為2.

考題分析：對函數y=ex-x ln x的研究若使用多次求導的方法，主要有這樣幾點學生沒能表述清楚：（1）h（″x）=上為什么存在零點；（2）h″（x）=ex-上為什么只有一個零點；（3）h″（x）=上的零點（零點不易求解時）問題的處理.產生以上情況的原因在于h（″x）=是由初等函數y=ex和組合而成，它們的圖像都是曲線形式，求導后的導函數圖像還是曲線的形式.而函數F（x）=ex-x，G（x）=x-ln x-1是由初等函數y=ex和y=x，y=ln x和y=x-1組合而成，對于這種形式的“初等函數的簡單組合”學生是比較容易研究的.數學核心素養是具有數學基本特征、適應個人終身發展和社會發展需要的必備品格與關鍵能力，是數學課程目標的集中體現，它是在數學學習過程中逐步形成的，通過函數的組合教學實現解一題并通一類，是數學教學的終極目標.［2］在探究函數組合教學的過程中，有效地加強函數之間的聯系，實現橫向交叉和縱向交錯，從而形成廣闊的審題視角，培養思維的靈活性.

細細回味，我們遇到的很多函數“難題”，拆分之后都可以發現，這些“難題”是由“原味”的初等函數“靈動”的組合而成.例如：（2013年江蘇高考第20題）設函數f（x）=ln x-ax，g（x）=ex-ax，其中a為實數.（1）若f（x）在（1，+∞）上是單調減函數，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范圍；（2）若g（x）在（-1，+∞）上是單調增函數，試求f（x）的零點個數，并證明你的結論.又如：（2017年泰州、泰興、靖江三校聯考第13題）已知不等式x ex-1≥ln x+kx對x∈（0，+∞）恒成立，求實數k的最大值.（讀者朋友可自行研究）

初等函數的“原味組合”就是在函數考查中突出檢驗學生對函數的感知、體驗和積累，強化其對基礎知識和基本技能的學習和訓練，積極引導學生自主品嘗“原汁原味”的知識盛宴的過程.在當今各種教育教學理論“亂花漸欲迷人眼”的環境下，“原味組合”教學提醒我們要保持一種清醒和理性，保持教學的本真和本色.遵循這種“原味組合”的原則，就是培養學生數學核心素養的具體表現，它既能從縱向上追溯教材知識體系的認知與梳理，也能在橫向上加強各個函數之間的聯想與聯系，讓學生在感受函數多種組合過程中學習數學、掌握數學，這種處理方式，將盡可能地減少數學結構變化給很多學生學習數學帶來的畏懼感，真實提升他們的核心素養.

1.王耀，陳兆華.核心素養指導下的數學解題實踐與反思［J］.中學數學月刊，2017（4）.

2.唐永.剖析邏輯漏洞 提升核心素養［J］.中學數學月刊，2017（4）.F