巧借三角換元 妙解高考試題

☉江蘇省張家港市塘橋高級中學 周 浩

換元思想是一種經典的數學思想方法，而三角換元是其中最重要的一種.經常借助三角換元，把題中的相關代數、向量、幾何等問題轉化為三角問題，選擇一些合適的三角函數（或三角函數式）去代換關系式中的變數，由自變量的范圍限制角的范圍，利用三角函數中的相關知識，將所求問題化歸為三角問題，用來解決相關問題中的最值問題或取值范圍問題等，是實現解題目標的一種非常有效的轉化策略.特別在高考中，經常采用三角換元來解決相應的問題.

一、代數式中的三角換元

例1 （2017年北京卷）已知x≥0，y≥0，且x+y=1，則x2+y2的取值范圍是______.

分析：結合條件x+y=1加以三角換元，通過代數式x2+y2的三角變換，利用三角函數的相關公式的轉化，結合三角函數的圖像與性質來確定其取值范圍問題.

點評：解決本題的方法較多，各有特色，各有所長.而根據三角關系式sin2α+cos2α=1，很自然地聯想到引入三角元素，采用三角換元，結合三角函數的相關知識來解決問題.

二、向量中的三角換元

例2 （2017年浙江卷）已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，則|a+b|+|a-b|的最小值是______，最大值是______.

分析：結合條件|a|=1，很自然聯系起a=（cosα，sinα），進而借助三角換元思想，把相應的平面向量的相關知識轉化為三角函數知識，結合三角函數的圖像與性質來確定平面向量中的最值問題.

解析：設a=（cosα，sinα），b=（2，0），則a+b=（cosα+2，sinα），a-b=（cosα-2，sinα），

點評：在解決平面向量問題時，往往通過構造平面直角坐標系，根據向量的條件引入三角元素，通過三角換元，結合向量的坐標運算與模運算等來轉化為三角關系式問題，結合三角函數的圖像與性質來確定最值問題.

三、解析幾何中的三角換元

例3（2017年江蘇卷）在平面直角坐標系xOy中，A（-12，0），B（0，6），點P在圓O：x2+y2=50上.若P—→A·P—→B≤20，則點P的橫坐標的取值范圍是______.

分析：根據點P在圓上的條件引入三角元素，設出相應的三角參數坐標，結合平面向量的坐標表示與數量積公式建立不等關系，并結合同角三角函數基本關系式來確定cosα的取值范圍，進而數形結合來確定點P的橫坐標的取值范圍.

點評：在解析幾何中，往往結合直線的方程、圓的方程、圓錐曲線的方程等引入三角元素，結合相應方程的三角參數，把解析幾何問題轉化為三角函數問題，也是解決一些解析幾何中的最值問題比較常見的一種思維方式.

四、實際應用中的三角換元

例4（2017年全國卷Ⅱ）在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.曲線C1的極坐標方程為ρcosθ=4.

（1）M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM·||OP|=16，求點P的軌跡C2的直角坐標方程；

（2）設點A的極坐標為），點B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值.

分析：（1）通過化曲線C1的直角坐標方程，設出點P，M的坐標，通過條件建立關系式，化簡即可得點P的軌跡C2的直角坐標方程；（2）根據點B在圓C上引入三角元素，通過三角換元，結合三角形的面積公式轉化為三角關系式，進而確定△OAB面積的最大值.

解析：（1）設P的直角坐標為（x，y），曲線C1的直角坐標方程為x=4.因為O，P，M三點共線，則點M的坐標為

因為x＞0，化簡整理可得x2+y2-4x=0（x≠0），

因此C2的直角坐標方程為（x-2）2+y2=4（x≠0）.

（2）在直角坐標系中，點A的坐標為，則直線OA的方程為設點B的坐標為（x，y），則點B到直線OA的距離為

又|OA|=2，則△OAB面積

又點B在圓C：（x-2）2+y2=4（x≠0） 上，可設B（2+2cosα，2sinα），

所以△OAB面積的最大值為

點評：在解決一些相關應用問題中，經常通過借助三角換元思想，依據題設的特殊性，適當引入角參數，由自變量的范圍限制角的范圍，利用同角關系和三角變化等，將相應的應用問題化歸為三角問題來解決，達到目的.

其實，三角換元的優點在于通過對題中條件或結構的有規律的“模式識別”，充分利用題目中的有效信息，積極思考，自主構建合適合理的解題方法，加強對數學化歸與轉化思想的理解和認識.因此，在教學實踐過程中，教師應注重引導學生對問題結構特征的分析和把握，發展學生的認識力，培養學生的創造力，這樣對學生的全面解題能力的發展將大有裨益.H