尋找球心
——四面體外接球問題的關鍵

☉河南省許昌高中教研處 趙小強

縱觀高考題中空間幾何體外接球問題，出現最多的就是四面體的外接球問題了.各類問題最終聚焦在球的半徑的計算上，但計算半徑的前提卻都要回答一個問題——球心在哪兒？不同的問題尋找球心的方法也不盡相同，下面我們就一起去看看四面體外接球球心的尋找攻略吧.

一、四面體是正三棱錐

例1 已知正三棱錐P-ABC，PA=a，AB=b，求正三棱錐的外接球的半徑R.

解：過P作PH⊥平面ABC，垂足為H，則H是△ABC的重心（中心），則P-ABC的外接球球心O一定在直線PH上.

（1）如圖1，當O在線段PH上，連接HC，OC，則OP=OC=R.

圖1

（3）如圖2，當O在PH延長線上時，

綜上，正三棱錐的外接球半徑為

圖2

特別地，當a=b時，即四面體PABC為正四面體時，

二、四面體是三組對棱分別相等的四面體

例2 已知四面體ABCD中，AB=CD=a，AD=BC=b，AC=BD=c，求四面體ABCD的外接球的半徑R.

解：由于三組對棱分別相等，可以考慮把此四面體置入一個長方體中，如圖3所示.

則長方體的外接球與四面體的外接球是同一個球（球可以由不共面的四點確定）.

設長方體的長、寬、高分別為m，n，p.

圖3

三、四面體含有兩個共斜邊的直角三角形

例3 已知四面體ABCD，∠BAD=∠BCD=90°，求四面體ABCD的外接球半徑R.

解 ：在Rt△BAD中，因為∠BAD=90°，Rt△BCD中，∠BCD=90°，所以BD為公共斜邊，由直角三角形的性質，BD中點O到A，B，C，D四點距離相等，即O為四面體ABCD的外接球球心，所以

四、四面體存在兩個面相互垂直

這種問題又可細分為兩種情況，第一種情況為有一條棱垂直于四面體的一個面.第二種情況為僅有兩個面垂直，而不存在棱與面垂直.

例4 四面體ABCD，AD⊥平面BCD，AD=a，BC=b，CD=c，BD=d，求其外接球的半徑R.

解：由于AD⊥平面BCD，所以把四面體ABCD補成直三棱柱AEF-DBC（如圖4），設M，N分別為△AEF，△BCD的外心，則球心O位于MN連線中點，連接OC，NC，構造Rt△ONC，則R=OC，NC為△BCD外接圓半徑r.

ON=，在△BCD中運用余弦定理及正弦定理可求出r.

圖4

特別地，①當△BCD滿足∠BDC=90°時，可得AD，BD，CD兩兩垂直，于是可把四面體ABCD視為長方體一部分，從而轉化為長寬高分別為d，c，a的長方體的外接球問題可得

②當△BCD滿足∠BCD=90°或∠DBC=90°時，轉化為第三類問題，從而可得

例5 四面體ABCD，平面ABD⊥平面BCD.AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，BD=e，求此四面體的外接球半徑R.

解：設△BCD的外心為M，△ABD的外心為N，BD的中點為P，根據球的幾何性質，球心O必然在過M且垂直于平面BCD的直線與過N且垂直于面ABD的直線交點處.

設△ABD外接圓半徑為r1，△BCD半徑為r2.

以上，我們列舉了幾種特殊情形的四面體尋找外接球球心的方法.事實上，任何一個四面體均有外接球，而外接球球心都是在過相鄰兩面的外心且垂直于相應面的垂線的交點，也都是可以求出的，但由于運算量太大，在命題時缺乏實際價值，我們一般不去考慮.H