多維互動對話，助推學生思維發展*
——以《基本不等式》為例

☉江蘇省太倉高級中學 陸 麗

用數學的眼光觀察世界，用數學的思維分析世界，用數學的語言表達世界，這是數學素養的一種體現.核心素養觀下的高中課堂教學我們需要引導學生學會學習、學會分析、學會思考.在課堂教學中教師如何引導學生圍繞某個研究性課題積極參與、體驗成功、獲取發展呢？課堂教學其實從本質上說是一種“溝通”的活動，是一種通過“提問”的方式進行對話的活動.《普通高中數學課程標準》明確要求發展學生的理性思維（特別是邏輯思維），使學生學會有邏輯地、創造性地思考，學會使用數學語言表達與交流，成為善于認識和解決問題的人才.因此學生核心素養的落實與養成要求必須變革傳統的填鴨式、灌輸式的教學方式，走向對話教學.筆者結合自己的教學實際，探索出以催生高效課堂為目標、助推學生思維發展為核心、培養學生終身發展為根本的教學模式——多維互動對話式教學模式，與同行共同探討.

一、多維互動對話式教學模式的主要內涵

多維互動對話，即教學中，教師與學生、學生與學生、教師與自我、學生與自我、教師與文本（情境）、學生與文本（情境）等多個對象之間在互相尊重、平等的基礎上進行的知識、話語、思想、情感等方面的交流溝通方式.

“多維互動對話式教學”的內涵是在開放、動態的課堂教學環境下，在教師、學生、文本（情境）之間平等和諧的多維對話與協作前提下的高中數學課堂活動組織形式，是真正蘊含數學教育價值的教學形式.它根據學生身心特點，以學生思維發展為本，研究如何培養學生積極主動地參與課堂，使學生能針對現學內容，以活動為載體，在各類活動中進行對比、聯想、交流、辯論、反思，以達到驅動課堂，提高課堂教學的有效性，促進學生核心素養發展.

“多維互動對話式教學”課堂模式旨在課堂教學中通過開展多維度的“思維對話”，讓學生主動參與、動手實踐、親身體驗、表達與交流，展現學生對數學語言的運用、對數學問題的思考、對問題的數學表達、對問題的困惑與不同理解.它有利于促進課堂上學生學習方式、教師教學方式的轉變以及實現數學課三維目標的有效統一.

二、多維互動對話式教學模式的教學實施方略

蘇霍姆林斯基說過：特別重要的一點是要使學生感到自己是一個研究者、思考者，而不是消極的知識“掌握者”.多維互動對話式教學模式是在教師創設的“文本（情境）”環境下，在教師、學生、文本（情境）之間平等和諧的多維對話與協作前提下，讓學生成為學習過程中的“研究者”.學生主動參與文本（情境）的研究，通過師生、生生、師與自我、生與自我、師與文本（情境）、生與文本（情境）等多個對象之間的交流溝通，親身經歷知識的形成與發展、抽象與概括的全過程，實現知識方法的有效內化和思維能力的有效發展.落實到操作層面，如何在數學課堂教學中實施多維互動對話式教學呢？在多維互動對話式教學中如何適時把握契機助推學生思維發展？筆者以蘇教版必修5《基本不等式》的課堂教學為例，談一談自己的做法與體會.

1.創設情境，開啟對話

文本（情境）：請拿出兩張正方形的紙片，假設兩個正方形的面積分別為a、b，并分別沿它們的對角線折成兩個等腰直角三角形.如果將這兩個等腰直角三角形拼接和折疊，你能構造出一個面積為的矩形嗎？

師：就此情境，同學們有什么看法？相互之間可以交流一下.

（小組之間相互交流，展開文本與自我、生與生對話）

生1：因為兩個正方形的邊長分別為要使構造出的矩形面積為只需構造的矩形兩邊邊長分別為即兩邊分別等于兩個直角三角形的直角邊，多余部分折疊（.展示操作過程：圖1→圖2→圖3.圖3的陰影區域即為所構造的矩形）

圖1

圖2

圖3

師：很好！大家的折法都一樣嗎？

生2：生1選取的兩個正方形邊長不同，而我選取的是兩個邊長相等的正方形，這樣我也可以構造出面積為的矩形（.展示操作過程：圖4→圖5→圖6，圖6的陰影區域即為所構造的矩形）

圖4

圖5

圖6

師：非常棒！大家能否用一個關系式來反映這個實驗中的相等或不等關系呢？

生3：在拼接和折疊前兩個等腰直角三角形的面積之和為，而拼接和折疊后得到的矩形面積為因此這個矩形的面積小于等于兩個直角三角形的面

積之和，其中a＞0，b＞0.

師：什么情況下等號成立呢？

（引導學生自我對話）

師：它其實可以用四個字來描述：當且僅當也即當且僅當a=b時取“=”.

【教學體會】從學生比較感興趣的動手折紙操作問題入手，讓學生抽象歸納出基本不等式，一方面，激發學生的學習興趣和求知欲，另一方面，實現對基本不等式幾何背景的初步了解，提升學生的數學抽象概括能力.從對話教學的角度看，及時發問、適時追問，培育了學生的問題意識，開啟了師生、生生、文本與自我、生與自我的對話.

2.公式建構，深入對話

師：我們把稱為a，b的幾何平均數稱為a，b的算術平均數.剛才動手操作的結論能否用文字語言來描述？

生5：兩個正數的幾何平均數不大于它們的算術平均數，當且僅當兩個正數相等時兩者相等.

師：講的好！我們知道由實驗的特殊情況得到的結論只是一種猜想，它的正確性還需要進一步嚴格證明，同學們如何證明這一結論呢？

（教師給學生自我對話的機會，促進學生的思維發展）

生6：我們可將不等式兩邊進行作差與0比較.

生7：我們可抓住要證的目標分析.要證只要證只要證，即證0≤（*）.因為（*）式成立，當且僅當a=b時取等號，所以（當且僅當a=b時取等號）.

生8：我是直接利用條件和事實推得目標的.因為對于兩個正數a，b有（（當且僅當，即a=b時取等號），所以即2當且僅當a=b時取等號）.

師：大家能否總結一下這三位同學的方法？

（學生之間討論，展開文本與自我、生與生對話）

生9：生6運用了比較法證明不等式，它解題的一般步驟是：作差→變形→與零比較→結論，需注意看清等號成立的條件.

生10：生7從要證明的結論出發，逐步尋求使它成立的條件，直到最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件為止.

生11：生8利用已知條件和某些數學定義、定理、公理等，經過一系列的推理，最后推導出所要證明的結論成立.

師：我們把生7證明不等式的方法叫做分析法，生8證明不等式的方法叫做綜合法.誰能來總結下分析法與綜合法的聯系與區別呢？

生12：聯系：將分析法倒過來書寫就是綜合法.區別：①基本原理不同：分析法——執果索因，綜合法——由因導果；②書寫格式不同.

師：弗里德里希·馮·恩格斯說過：“沒有分析就沒有綜合”.因此，我們要學會用分析法分析，綜合法來書寫.這樣我們就說明了由實驗得到的不等關系對任意正實數a，b都是成立的.請問a，b的范圍能擴大嗎？

生13：a，b的范圍可擴大到a≥0，b≥0. 即如果a≥0，（當且僅當a=b時取“=”）.

【教學體會】問題是思維的源泉，是對話的焦點，是對話的核心.課堂上教師用極具親和力的語言創造了一個民主、寬松、愉快的學習氛圍，通過提醒、點問、追問引導主體參與、揭示本質、經歷過程，學生勇于發表見解、善于合作交流、樂于展示成果，充分體現了教師對學生主體的尊重.教師在組織學生去探究分析法和綜合法之間的關系，并規范證明的過程，使得學生體會從特殊到一般發現數學、學習數學的方法，提升學生的邏輯推理、數學運算等數學核心素養.

3.理解公式，反思對話

師：如圖7所示，以a+b為直徑作一個半圓，圓心為O.能否在半圓中找到表示的線段，并借助圖形比較出它們的大小？

圖7

生14：過點C作CD⊥AB交半圓于點D，連接AD、BD、OD，則∠ADB=90°，OD=由射影定理可得DC2=AC·BC，解得DC=

生15：由圓內半弦長不大于半徑，有DC≤OD，即

（教師幾何畫板演示，學生自我體會）

【教學體會】教師通過提問、點問、追問，啟發學生，調控學生的思維，激發學生的學習熱情.本節課中的基本不等式是通過圖形中面積間的不等關系抽象獲得的，為了讓學生對基本不等式的幾何背景有更豐富的認識，教師設計了探究基本不等式幾何解釋的活動.在此過程中，通過問題引導幫助學生運用數形結合的基本思想，強化其從運動、變化的角度思考問題和解決問題的意識.

4.鞏固練習，升華對話

例題 判斷下列不等式是否成立：

（學生思考片刻后，師生共同分析基本不等式的結構特征和運用它解題的注意點）

生16：基本不等式揭示了兩個非負數的和與積之間的關系，其常見變形形式為a+b≥2（ a≥0，b≥0）（當且僅當a=b時取“=”）.

生17：運用基本不等式的注意點是：①使用前提：非負數或非負代數式；②結構特征：一邊是和，一邊是積；③思維方法：整體代換（賦值）.如（2）中

師：本節課的數學結論發現的一般過程是什么？基本不等式的內容是什么？在證明過程中我們運用了哪些方法？運用基本不等式可以解決哪些問題？需要注意哪些環節？

（學生用自己的語言表達出自己的想法）

【教學體會】課堂對話的整個過程是開放的，師生圍繞知識各抒己見，達成共識.通過對話，讓學生從知識層面談理解，從方法層面談提升，從思想層面談認識.如此對話，知識的建構就越發豐滿，領悟就越發深刻，教學就越發有效.在數學運用環節教師選擇了適當難度的辨析題，主要讓學生去分析不等式的結構特征，并能靈活運用基本不等式及變形公式解題，同時注重基本不等式成立的條件，培育了學生的轉化能力、推理論證能力及運算能力，提升學生的數學核心素養.在課堂總結環節，通過教師小結式的提問，引導學生對基本不等式的理解再升華.

巴西著名學者費萊雷曾說過：“沒有了對話，就沒有了交流；沒有了交流，也就沒有真正的教育.”在新一輪基礎教育課程改革中，圍繞培養學生數學核心素養這一目標，以“多維互動對話式教學”為手段，在互相尊重、平等的基礎上進行知識、話語、思想、情感等方面的交流溝通，課堂成為對話與探究的舞臺，學生的思維活動由表層數學知識轉向數學思想方法的形成過程，實現學生數學思維的有效發展，使課堂成為學生終身發展的生長節點.

1.顏福進.課堂對話，為學生播撒思考的種子［J］.數學之友，2017（1）.

2.陳唐明.數學微課題研學 助推學生思維靈性發展［J］.教學與管理，2013（3）.F