聚焦核心素養 實施問題導學

☉江蘇省蘇州工業園區第二高級中學 申會文

高中數學課程標準修訂組史寧中用“三會”來概括數學核心素養的精髓，即會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界.隨后修訂組對數學核心素養的構成進行了詳細劃分，認為數學核心素養是具有數學基本特征的、適應個人終身發展和社會發展需要的人的關鍵能力與思維品質，包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析.數學核心素養是學生應具備的、能夠適應終身發展和社會發展需要的、與數學有關的關鍵能力和思維品質，是數學課程目標的集中體現.

問題是數學的“心臟”，問題導學是指以問題為核心，以學生為主體，教師為主導，學生自主探究與合作探究相結合，充分調動各方面的積極因素參與課堂教學，完成教學任務的教學方式.如何通過有效的問題導學，培養學生的數學核心素養，具有十分重要的意義.聚焦數學核心素養的教學活動設計成為數學教學的首要任務，聚焦數學核心素養的教學活動就是根據課程標準的要求，結合學生的實際，利用問題串的形式組織教學，豐富學生的學習方式，激發學生的學習興趣，為終身學習打下良好的基礎.下面以直線與圓的位置關系課堂教學實錄為例，闡明如何聚焦數學核心素養，實施問題導學.

一、課堂實錄

1.溫故知新——建構數學

師：解析幾何的特征是用數來研究形.前面我們學習了直線和圓，直線可以用二元一次方程表示l：Ax+By+C=0（A，B不全為0），圓可以用二元二次方程表示：（x-a）2+（y-b）2=r2.

我們還研究了直線與直線的位置關系，請同學們回憶一下，是如何研究的？

生：將兩直線的方程聯立得方程組據方程組解的個數來判斷直線與直線的位置關系.

師：除了研究直線與直線的位置，還可以研究哪些關系呢？

生齊答：直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系

設計意圖：在創設問題情境時，可以從生活中的具體實例引入，也可以從數學問題本身出發.此處由已經學習過的直線的方程，圓的方程引入，復習回顧研究直線與直線之間位置關系的方法，引出課題，回顧舊知的同時，設置疑問，激發學生的學習興趣和探究的欲望.

師：今天我們就來研究直線與圓的位置關系（引出課題）.初中學過直線與圓的位置關系有哪幾種？

生：有三種位置關系：相離，相切，相交.

師：類比用直線的方程研究對應直線的位置關系的方法，如何用方程來判斷直線與圓的位置關系呢？

生：將直線的方程與圓的方程聯立得方程組根據方程組解的個數判斷直線與圓的位置關系.

師：這是從代數的角度研究直線與圓的位置關系，如何從幾何圖形的角度來研究呢

生：求出圓心到直線的距離d，根據d與半徑r的關系來判斷.d＞r時，直線與圓相離；d=r時，直線與圓相切；d＜r時直線與圓相交.

設計意圖：直線與圓的位置關系學生在初中已學過，先讓學生畫圖，一是讓學生回顧舊知，為新課所用；二是先讓學生對直線與圓的位置關系有一個直觀感受，為后面的理性探究埋下伏筆.

2.例題示范——應用數學

師：說的很好，現在我們可以從代數和幾何兩個角度來研究直線與圓的位置關系，接下來就來看看這個知識我們掌握的怎么樣.

（1）判斷直線與圓的位置關系；

（2）直線與圓是否有公共點？若有，求出公共點坐標.

師：請同學們說說看，本題你是如何處理的？

生1：第一問我是用幾何法判斷的，圓心C到直線l的所以直線與圓相交.第二問我聯立方程所以直線和圓有兩個公共點，坐標是A（0，2）和B

生2：直接用代數的方法判斷的，聯立方程組，不僅能判斷直線與圓的位置關系，還能求出公共點的坐標.師：說的很好.既然直線l與圓相交，你能求出弦長嗎？生2：可以，根據兩點間距離公式得AB=

生1：（幾何性質）由垂徑定理可得

師：直線與圓相交時，弦長問題也有兩種處理方式，一是代數方法：將直線與圓的方程聯立，求出交點的坐標，再根據兩點間距離公式求弦長；二是幾何性質：根據垂徑定理構造直角三角形，由勾股定理得弦長

設計意圖：例1通過研究直線和圓的位置關系，得出相交的結論后進一步探究弦長問題，學生能夠根據掌握的知識順利解決這個具體的問題.在小結時，教師只是總結了代數方法和幾何性質的解題步驟，并沒有對兩種方法進行對比，目的是想將這一過程留給學生在后續的解題過程中自己體會，領悟.

例2 自點A（-1，4）作圓C：（x-2）2+（y-3）2=1的切線l，求切線l的方程.

師：如何求切線的方程呢？

生3：設直線l的斜率為k，則l的方程是y-4=k（x+1），即kx-y+k+4=0.因為直線與圓相切，所以解得k1=.從而得l的方程是y=4或3x+4y-13=0.

生4：這樣做不嚴謹，設斜率的時候首先要考慮斜率不存在的情況.斜率不存在時，l：x=-1.此時d=3≠r，舍去.

師：生3從幾何的角度處理直線與圓相切問題，生4補充的很好，考慮問題要嚴謹.有沒有同學從代數的角度研究的呢？

生：代數法運算太繁了！

師：我們不妨試試.將方程聯立得消元化簡得（1+k2）x2+2（k2+k-2）+k2+2k+4=0.由直線與圓相切得，該方程有且只有一個根，有Δ=4（k2+k-2）2-4（k2+1）（k2+2k+4）=-8k2-6k=0，解得k1=0由此可見，本題代數方法也可以解決，只是運算略繁.

師：將點A（-1，4）改為（1，1）時，結果如何呢？

生5：此時斜率不存在的情況，正好符合題意.

師：改成（2，2）呢？

生6：此時點A在圓上，切線就是y=2.

設計意圖：在處理直線與圓相切問題時依然是兩條腿走路，但是大部分學生選擇了幾何方法，覺得代數方法運算太負責，教師并沒有一帶而過，而是選擇親自帶著學生一起算.一是注重對學生核心素養——運算能力的培養和發展；二是將這節課不僅定位在直線與圓，而是放眼于整個解析幾何，因為在直線與圓錐曲線的位置關系處理中，這是一種常規且有效的方法.后面通過改變點的位置，讓學生進一步體會求直線方程的易錯點，要根據點與圓的位置關系先判斷直線有幾條，在具體的運算中要考慮斜率不存在是否符合題意，增強對解題的規范性與嚴謹性的訓練.

3.回顧小結——提煉數學思想

師：由此我們發現在處理過一點作直線與圓相切的問題，需要注意些什么呢？

生7：首先我們要判斷這個點的位置，如果點在圓上，切線只有一條；如果點在圓外，有兩條切線.設直線的斜率時首先要考慮斜率不存在的情況是否滿足題意.

師：這位同學總結的非常好.本節課我們研究了三個問題：（1）直線與圓位置關系的判斷方法：一代數角度，討論方程組解的個數；二幾何角度，討論d與r的關系.（2）直線與圓相交時的弦長問題，代數角度聯立方程求出交點坐標.幾何角度，根據垂徑定理構造直角三角形解決問題.（3）直線與圓相切問題，切線方程也可以從兩個角度處理.總的來說就是兩個方法（代數幾何），兩個知識點（弦長切線長），兩個注意點（斜率存在不存在）.

二、一點思考

這節課從直線的位置關系到直線與圓的位置關系的類比引入，符合學生的最近發展區，是過程性教學中一種典型的教學方式，給人一種潤物細無聲的感覺.例題的設計很用心，例1先判斷直線與圓的位置關系，如果相交再求出交點的坐標，讓學生體會代數方法和幾何方法的區別.例2求切線方程時，改變點的坐標，在學生容易忽略的斜率不存在的情況下變式，訓練學生的思維嚴謹性.變式2將點變到了圓上，培養學生的觀察能力，滲透數學的學科核心素養.在學生普遍感覺用代數法處理切線問題計算比較繁瑣的情況下，教師沒有知難而退，而是選擇迎難而上，帶領學生用代數法解決了切線問題，重視計算能力的訓練，培養學生堅強的意志品質，滲透數學核心素養.同時著眼點并不是僅僅放在本節課堂上，而是放眼整個解析幾何，代數法是一類行之有效的方法.在數學運用的過程中，利用變式不僅可以節省很多的時間，更是思維上的一種轉變與跳躍，通過慢慢給臺階，讓學生在不知不覺中提升高度.每個例題后回顧方法，讓學生體會到數學用于實踐，實踐提升方法的過程.過程性教學在實施上，教師應該對本節課的重難點問題進行分解，達到逐步提高的過程，同時教師應將眼光放的更長遠，教會學生學習，培養學生終身學習的習慣和能力.F