利用分類討論法解答初中數學問題

☉山東萊蕪市雪野旅游區雪野鎮中心中學 魏衍彬

縱觀國內近幾年的中考數學學科試卷，可以發現其中有很大一部分試題考查學生分析和解決問題的思維能力，其中有關分類討論的數學試題比較多.但是由于部分初中生缺乏分類討論思想或思維能力不強，使得解題過程中常常出現解題結果不完整，失分比較嚴重.因此，如何才能強化學生對分類討論思想的認識和應用是當前初中數學教學的重點.

一、分類討論法概述

1.分類討論法及其作用.

分類討論法的核心在于“分類”和“討論”，即先根據實際的數學知識將相關問題根據事物性質進行分類，但是需要注意的是，要明確分類的原因和標準，確保可以從事物本質層面對相關問題進行劃分，然后在不同分類條件下進行針對性討論.從本質上來講，分類討論法實際上就是一種基于“化整為零，化零為整”的數學方法.作為一種重要的數學解題方法，分類討論方法是學生解決數學問題的一個重要工具.在初中數學題求解中，強化初中生對于分類討論法的理解、認識和應用具有重要意義.

2.分類討論法的規則.

為了確保分類討論法應用的準確性，確保分類的合理性，必須明確其需要遵從的一些基本規則，具體主要包括如下幾個方面：

（1）同一性規則.在對數學題進行分類的過程中，需要按照同一標準和規制來進行，不可在分類時采用不同的幾個分類依據和標準進行，否則容易造成錯誤分類，影響結果的準確性.比如，部分初中生在對三角形進行分類時，主要分成直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形、等腰三角形和不等邊三角形，這種對三角形的分類標準是錯誤的，主要是由于其中等腰三角形既可以劃歸到銳角三角形分類中，也可以劃歸到鈍角三角形分類中，或者銳角三角形也可以歸到等腰三角形或不等腰三角形分類中.可見，上述這種分類采用了兩種不同的分類標準，混亂的劃分影響了分類的準確性.

（2）互斥性規則.在對數學問題進行分類的過程中，各個分類的子項之間要保持互斥性或互不相容.換言之，在進行分類后，各個類別中的事物僅歸屬于該類別，不可再歸屬于其他分類.例如，某班級總計有10名學生參加了田徑和籃球兩項比賽，其中7人參加了田徑比賽，6人參加了籃球比賽，此時如果將這10人分成田徑比賽和籃球比賽兩類，就會造成分類錯誤，這主要是由于其中必然有3人同時參加了兩種比賽.

（3）相稱性規則.在進行分類的過程中，需要確保劃分后子項外延的總和保持與母項外延之間的對等性，即不可在分類的時候，造成部分缺項情況的出現.例如，部分學生在對有理數進行劃分時，常常將其分成正、負兩個方面，但是這種分類不滿足分類的相稱性規則，這主要是由于缺少了零這個“項”，使得分類后的子項總和小于原有母項的范疇.

（4）多層次性規則.在對初中數學題進行分類時，有一次和多次分類的差別，其中一次分類主要是被討論的對象進行一次分類；多次分類則主要是將分類之后的各個子項當作次級母項后，繼續進行分類，這種反復的層次分類可以逐步將復雜的問題簡單化，直至求解后為止.比如，“二分法”這種分類方法實際上就是一種常見的分類方法，其主要是按照對象有無某性質來進行分類，之后將討論的各個子項進一步劃分，直至最后分類結果可以便捷求解為止.

3.分類討論法應用的基本步驟.

在初中數學題目求解的過程中，為了確保分類討論法應用的質量，除了明確分類討論法的基本分類規則，還要注意明確其基本的應用步驟，確保可以按照同一衡量標準推進分析，做到不遺漏、不重復，增強問題討論的全面性和系統化.從整體上看，分類討論法應用的基本步驟主要包括如下幾個環節：其一，先明確需要進行分類討論的對象，確定所要分類討論對象的取值范圍；其二，選擇恰當的分類標準和規則，對分類討論對象進行合理分類；其三，根據不同的分類，進行逐類討論，求解不同類別下的問題；其四，進行歸納、總結，得出結論，確保討論的全面性和完善性.需要注意的是，需要充分重視各個分類討論的步驟，確保分類的全面性和科學性，以及討論的嚴謹性和合理性.

二、分類討論法在初中數學題求解中的應用

1.在含絕對值的數學題求解中的應用.

在初中數學題中，常見的一類題就是帶有絕對值符號的題，這時候通常無法直接采用一般的數學方法進行求解，而是需要利用絕對值的定義，將絕對值符號去掉，將其內部項分成正數、負數和零三類分別進行討論，針對不同的類別采用不同的數學計算方法，確保分類討論方法應用的質量.

例1化簡：|x-2|+|x+3|.

分析：該題是一道典型的考查分類討論思想的題.由于兩個代數式均帶有絕對值符號，所以需要考慮x在不同取值條件下，絕對值符號去掉時的對應等式情況，這時必須采用分類討論法，根據不同的x的取值范圍分別進行化簡.

解：先根據|x-2|和|x+3|二者來確定x的兩個關鍵邊界為-3和2，之后根據這兩個邊界值來分別進行討論，具體如下.

假定x≤-3，那么|x-2|+|x+3|=-1-2x；

假定-3

假定x≥2，那么|x-2|+|x+3|=2x+1.

例2 如果|m-n|=n-m，且|m|=4，|n|=3，則（m+n）2=_______.

分析：該題已經給出了取絕對值后參數n和m的大小，由|m-n|=n-m可得出n≥m.這時可以分別對m=±4和n=±3在不同搭配條件下的取值情況進行討論.

解：當n=3時，參數m的取值必然為-4，此時（m+n）2=1.

當n=-3時，參數m的取值必然為-4，此時（m+n）2=49.

由此可知，該題的正確答案為1或49.

2.在考查數學公式、定理或性質的等數學題求解中的應用.

在初中數學題中，有一部分數學題主要考查數學公式、定理或性質，這時在不同條件下可能會得到不同結果，所以針對考查這些數學公式、定理或性質的題，也需要適當進行分類討論.具體地，需要依據數學公式的條件進行合理分類討論.需要注意的是，針對該種涉及數學公式或性質的數學問題的分類討論，必須充分明確相關數學性質或公式的實際應用條件或限制條件，確?？梢栽诜诸愑懻摃r做到嚴密，避免因為忽視數學公式或性質的應用條件而造成分類討論時出現錯誤.

例3已知參數a、b和c滿足那么參數k的值為多少？

分析：該題主要考查等比數列的性質.針對該題的求解，必須充分理解等比數列的性質在使用時的一些限制，具體就是要確保a+b+c≠0，但是該題中卻沒有給出這個條件，所以實際的求解過程中需要對a+b+c≠0和a+b+c=0這兩種情況進行分類討論，否則容易因為考慮不周全而影響最終求解結果的全面性.

解：根據題干信息可得：a=k（b+c），b=k（c+a），c=k（a+b），所以可以變形得到下式：（a+b+c）=k（a+b+c+a+b+c）.

分類二：假定a+b+c=0，那么可知b+c=-a，所以k=

例4已知函數y=ax2+x+1（a為常數）的圖像和x軸僅有一個交點，試求參數a的值.

分析：考慮到待求參數a位于關鍵的位置，其值的選取會決定函數y是一次函數還是二次函數，所以在實際的求解過程中需要對參數a是否為0進行討論.

解：假定參數a=0，那么該函數為y=x+1，這個函數與x軸的交點為（-1，0）.

假定a≠0，那么函數為二次函數，此時Δ=1-4a.由于函數圖像和x軸有且僅有一個交點，所以令Δ等于0，可得此時函數和x軸有一個交點（-2，0）.

3.在已知條件不明確的數學題求解中的應用.

在初中數學題中，涉及許多給定的題干條件信息不明確，或者題目本身表述不太清楚，這時會因條件的不確定而產生不同的求解結果，所以為了確保求解的準確性，要注意采用分類討論思想進行求解.比如，在平面上任選三個點，最多能確定多少條直線？這時根據選點位置的不同，可以確定為1條或3條，這種就是因為圖形位置不確定所引發的需要進行分類討論的數學問題.實際上，在初中數學眾多題中，有一大部分數學問題是因為條件不確定需要進行分類討論.

例5現在已知某直角三角形的兩條邊長分別為3和4，試求該三角形第三條邊的邊長.

分析：該題看似簡單，考慮到許多初中生非常熟悉的勾股定理，“勾三股四弦五”，這些學生可能會因為思維定式而將3和4分別確定為直角三角形的兩個直角邊，這樣勢必會造成求解結果不全面的問題.

分類一：如果給定的兩條邊長分別為直角邊，那么第三條邊長為5；

分類二：如果給定的兩條邊長一個為斜邊4，一個為直角邊3，那么第三條邊長為

例6已知相交的兩圓的半徑尺寸分別為4cm和5cm，公共弦長尺寸為6cm，試求這兩個相交圓的圓心距.

分析：該題同樣無法確定兩圓的具體位置.考慮到圓本身的對稱性，兩個圓的公共弦不僅可以在圓心同旁位置處，也可以處于兩圓心之間，所以實際求解過程中需要根據不同的位置進行分類討論.

解：分類一：如果兩個圓的公共弦處于兩個圓的圓心之間，那么這兩個圓的圓心距為4+

分類二：如果兩個圓的公共弦處于兩個圓的圓心同旁位置處，那么這兩個圓的圓心距為

總之，分類討論法是初中數學題求解中非常重要的一種解題方法，其可以化解某些比較繁雜的數學問題，降低解題難度.但是為了確保分類討論法應用的質量，必須立足于數學分類討論法應用的基本流程，結合數學性質和公式應用條件等合理制定應用方案，確保解題的系統性和全面性.