挖掘圖形特點，探尋數學規律
——以幾何規律探究題為例

☉江蘇省常熟市王莊中學 王裕龍

規律探究題是近幾年中考的熱點問題，其中的幾何規律探究題是較為常見的一類，主要考查學生的圖形觀察力和探究推廣能力，通常涵蓋了正方形、三角形、矩形、函數、直角坐標等知識，題型復雜，變化多樣，對于學生的推理能力要求較高，掌握合理的解題思路是高效求解的關鍵.

一、真題解析，試題點評

1.真題呈現

題目 （2017年浙江省舟山市中考卷第15題）如圖1所示，把n個邊長為1的正方形拼接成一排，求得

圖1

（1）試計算tan∠BA4C的值；

（2）按此規律推導，寫出tan∠BAnC的值（用含n的代數式表示）.

2.試題解析

分析：（1）求tan∠BA4C的值，過點C可作BA4的垂線CH，垂足為H，則利用面積法可求CH，利用勾股定理即可求A4H.（2）對于tan∠BAnC，采用規律總結的方式，分析上述幾個正切值，將n作為正切序號，總結等號右邊的規律即可.

解：（1）作CH⊥BA4，垂足為H，如圖2，則利用勾股定理求得所以

圖2

（2）依上述正切式子可知，等號右邊分母存在如下規律：1=12-1+1，3=22-2+1，7=32-3+1，13=42-4+1，所以可推得tan

3.試題點評

本題目為幾何規律題，主要考查正切、直角三角形、勾股定理等知識，數形結合、模型思想滲透于試題之中.求解過程以正切值在直角三角形中表示作為突破口，并從中挖掘正切值的變化規律，對圖形的直觀感知是解題的關鍵，垂線的應用實現了求解的具體化，對基本圖形的探究及對相關數據的簡單推理、適度拓展實現了問題從特殊到一般化推進.對于幾何規律題，圖形識別、性質把握是基礎，細化計算是重要途徑，合理猜想、歸納總結則是解決問題的一般方法.

二、試題銜接，思路剖析

幾何規律探究題作為中考的常見題型往往呈現出多樣化，經常將直角三角形、一次函數、直角坐標系融合在一起進行綜合考查，解答該類題目不僅需要充足的知識儲備，還需要采用合理的解題思路.首先需要從文本入手，利用原始條件分析圖形，然后通過數形結合的方式來提取有效信息，在此基礎上開展的適度延伸、規律聯想才會相對可靠，輔以一定的數據驗證則可保證答案的準確性.

試題1：（2015年達州市中考卷第16題）在直角坐標系中，直線y=x+1與y軸交于點A，按圖3方式作正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，點A1，A2，A3，…在直線y=x+1上，點C1，C2，C3，…在x軸上，圖中陰影部分三角形的面積從左到右依次記為S1，S2，S3，…，Sn，求Sn的值（用含n的代數式表示，n為正整數）.

圖3

分析：本題目涉及函數的幾何規律題，首先可根據直線解析式y=x+1求出OA1=1，即第一個正方形的邊長為1，求得A2B1=A1B1=1，則第二個正方形的邊長為2，求得A3B2=A2B2=2，則第三個正方形的邊長為22，求得A4B3=A3B3=22，得出規律，根據三角形的面積公式即可求出Sn的值.

解：直線y=x+1，當x=0時，y=1；當y=0時，x=-1，所以OA1=1，OD=1，∠ODA1=∠A2A1B1=45°，則A2B1=A1B1=1，所以因，所以，所以同理可得，所以

試題2：如圖4所示，在平面直角坐標系中，A、B兩點分別在x軸和y軸上，OA=1連接AB，過AB的中點C1分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別是A1、B1，連接A1B1，再過A1B1的中點C2作x軸和y軸的垂線，照此規律依次作下去，求點Cn的坐標.

圖4

分析：本題目為涉及坐標系的幾何規律題，考查矩形、相似三角形、點的坐標等知識，首先需要從圖形條件以及文本條件中求出點C1，C2的坐標，△AOB是直角三角形，根據已知條件可求得AB的長，過AB的中點C1作出x軸和y軸的垂線，則C1A和C1B是△AOB的中位線，則可求得C1B1和C1A1的長，進一步延伸可求得C2B2和C2A2，則點C1和C2的坐標可求，且存在關聯性，進而可猜想CnBn和CnAn，從而可確定點Cn的坐標.

解：△AOB為直角三角形，因OA=1則AB=2，C1A和C1B是△AOB的中位線，所以進一步推知則點Cn的坐標由CnBn、CnAn的長確定，根據規律可知則Cn的坐標為

上述兩題均為涉及直角坐標系的幾何規律題，求解時依托直角坐標系來定位幾何元素，結合幾何性質進行特定分析，由此開展的規律聯想更為精確.試題1利用一次函數，結合直角坐標系求解正方形的邊長，利用幾何知識求三角形的面積，探求規律，從中總結出Sn的值；試題2則是利用直角三角形及中位線定理來求解相關點的坐標，并從圖形中總結出相關邊的數量關系，進而實現求解.對基本圖形的充分把握是解題的基礎，合理利用幾何性質，關注求解過程中的幾何關系可實現最終的規律推演.

三、解后反思，教學思考

1.回歸教材，扎實基礎

上述幾何規律題涉及了直角三角形、矩形、正方形、勾股定理、中位線定理等幾何知識，問題的求解均是通過對基本幾何問題的逐個解決來實現的，基礎知識的合理利用依然是解決綜合問題的關鍵，尤其是對于中考知識點高度融合的新題型.因此在中考的備考階段需要注重對基礎知識和核心內容的學習，學習習題的通性、通法，克服題海戰術的功利性策略，回歸到最原始、最有效的教材學習中，通過對教材的典型和具有代表性的習題講解，幫助學生強化知識，利用對接課本的方式，讓學生對于數學概念產生本質上的理解.

2.注重關聯，信息提取

規律探究題是以基礎數據的規律變化為主，數據的變化暗含在幾何中，幾何元素之間通常存在著一定的關聯性，例如點的坐標、邊長、角度之間的關系，充分挖掘幾何信息，把握幾何關聯性是解題的關鍵，在此基礎上開展的拓展推演才更為合理.在教學中，教師需要引導學生關注幾何圖形的關聯性，可以設置一定的障礙來鍛煉學生提取信息的能力，通過特定的情景來培養學生情景判斷、圖形分析的能力，讓學生逐步掌握規律探尋的方法.

3.多重思維，拓展創新

培養學生的歸納總結、創新探究能力是規律探究題的命題出發點，解決規律探究題的過程實際上就是信息匯總、結論猜想的過程，需要學生對數據進行篩選，除去其中不相關的信息，在此基礎上進行數據融合，大膽猜想，創新是其中不可或缺的思想品質.對于中學生的創新意識教學，需要從思維層面開展，讓學生摒棄死記硬背、單純套公式的學習方式，可以設置合理的問題情境，激發學生的創新點，讓學生多角度思維，培養學生思維的靈活性，也可以采取探究的教學模式，用科學的方式指導學生的學習，充分發掘學生的創新潛能.

四、寫在最后

幾何規律探究題是中考難度較高的題型，對于該類題型需要充分理解文本信息和圖形信息，把握幾何元素的特殊關系，通過對特例的拓展分析來發現其中暗含的規律.在教學中而應該回歸教材，注重基礎知識的講解，強化學生的基礎知識；同時設置特定的情形來引導學生關注幾何圖形的關聯性，讓學生逐步掌握規律探究的方法；培養學生思維的靈活性和全面性，發掘學生的創新潛能，培養學生獨立探究的能力.

1.邰群燕.從2016年全國中考題看規律類問題從何入手［J］.中學數學（下），2016（11）.

2.陳家武.對一道課本規律題的探索歸納和推廣［J］.中學數學（下），2017（4）.

3.衛拴科.如何引導初一學生發現和探索數學規律［J］.數學教學通訊，2016（26）.

4.陳善信.初中數學基礎訓練的有效策略探析［J］.數學教學通訊，2017（26）.H