析離基本圖形，抽取解題思路

☉江蘇如皋市下原鎮下原初中 許波琴

一、例題及其教學分析

1.例題及解法分析.

題目：如圖1，在△ABC中，∠ABC=90°，邊AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E，連接BE，BE是△DEC外接圓的切線.

（1）求∠C；

（2）若CD=2，求BE.

圖1

圖2

分析：解答題（1），可以根據“BE是△DEC外接圓的切線”聯想到作輔助線OE，得到∠BEO=90°，再由直角三角形的性質得到，最后，利用三角形外角的性質計算即可；解答題（2），可以根據直角三角形的性質求出BD的長，利用勾股定理列式計算即可.

具體解題過程如下：

解：（1）如圖2，連接OE.

由BE是△DEC外接圓的切線，得∠BEO=90°.由∠ABC=90°，E是AC的中點，得

2.教學分析.

本題是以圓為背景的解答題，主要考查垂直平分線的定義、切線的性質、圓內接直角三角形、三角形的內角和、勾股定理和含30°角的直角三角形等知識.筆者將本題作為教學例題，編入了圓的單元復習中，意在讓學生以此題的解答，將圓中的核心知識與初中階段其他幾何核心知識關聯起來，形成解答與圓有關問題的基本思路，形成基于直角三角形的知識網絡.

則∠EBC=∠ECB.

由OE=OC，得∠OEC=∠OCE.

則∠BOE=2∠OCE，即∠BOE=2∠EBC.

則∠EBC=30°.

則∠C=30°.

（2）由CD=2，得OE=OD=OC=1.

由∠EBC=30°，∠BEO=90°，得BO=2OE=2.

二、教學過程及簡析

1.教學過程簡錄.

教師先投影例題的題干及問題（1），讓學生按幾何題的常規分析思路探索解題思路.大約5分鐘后，有不少學生舉手示意已找到思路，教師立即組織學生進行全班交流.

師：請一位同學說說你是如何分析這道題的.

生1：首先是讀題標注，把文本中的信息標注到圖旁，然后剝離圖形，聯想由條件可能會得出的結論.最后是前后關聯，把最終要得到的結論與我能想到的結論關聯起來.

師：很好！這是我們常用的分析幾何題的思路.你們都按這個思路進行的嗎？

生（齊）：是的！

師：接下來，請一位同學具體說說這幅圖中究竟含有哪些基本圖形，根據你所析離出來的基本圖形又能有哪些基本結論.

生2：線段垂直平分線，（學生到黑板上作圖，下同）題目很直接給出了“邊AC的垂直平分線交BC于D”，所以，圖中的DE就是AC的垂直平分線，至少我能直接得出兩組結論

師：對！由文本信息完全可抽出這一基本圖形.你會據此圖（指向圖3）產生怎樣的聯想？

生3：連接AD.

師：為什么？

圖3

圖4

生4：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，所以，連接AD后，就可以得到AD=CD了！

師：好的！圖1中還有其他基本圖嗎？

生5：切線構造的直角三角形，如圖4，取DC的中點O，連接OE，根據“BE是△DEC外接圓的切線”可得∠DEB=90°.

師：你確定所取的DC的中點O就是圓心嗎？

生5一愣，班上其他學生開始竊竊私語.

師：應用切線的性質的前提是這里的OE應為半徑，也就是O為圓心.

生6：是圓心！

師：為什么？

生7：∠DEB=90°，根據“90°的圓周角所對的弦是直徑”，所以，DC就是△DEC的外接圓的直徑，當然中點O也就是半徑了.

師：嗯！這么一補充，我們的推理又完善了.不錯，抽取基本圖形，一定要關注圖形存在的條件是否完備.如果全了，那就是基本圖形，如果不全，就要考慮是否可以證全了.再說說其他基本圖形吧！

生8：還有“直角三角形斜邊上的中線”，如圖5，由于AE=CE，這里的BE就變成了Rt△ABC斜邊上的中線，所以，AE=BE=CE.

師：很好！根據三條線段相等，又可以得出哪些結論呢？

圖5

圖6

生9：∠EBC=∠C，∠A=∠ABE.

師：還有其他基本圖形嗎？

生10：角平分線性質定理模型.

師：在哪兒呢？

生11：四邊形ABDE，如圖6.如果連接AD，就是初二研究的“角平分線的性質”基本圖形.圖中的結論是“如果AD平分∠BAE，DE⊥AC，∠ABD=90°，所以，DB=DE”.

師：你別說，還真是那回事！（教師指指黑板上作出的圖形）根據這么多圖形，你能想辦法求出∠C的度數嗎？

生12：能！∠C=30°.

師：怎么求？

學生口陳述求∠C的過程，此處略去.

師：如果給定這里的CD=2，其他條件都不變，你能根據這些基本圖形求出哪些線段的長？先自主探索，然后在小組中交流.

學生自主探究，3分鐘后，他們在小組中進行了熱烈交流.然后教師給出問題（2）：若CD=2，求BE.請學生自主求解.

2.簡析.

這里展示的是本題教學的核心片段.案例中，教師非常重視基本圖形的剝離和相關結論的分析，而師生間的內在默契彰顯了學生的訓練有素.教師提出的解題要求，強調了“幾何問題的常規分析方法”，生1據此給出的方法是大家一致認同的基本方法，也是教師所期盼的分析方法.教師的期盼變成現實，這完全源于長期的范式訓練.接下來的交流，教師沒有直奔解題思路或解題過程去，而是指向了“你們分析并剝離出的基本圖形”，要求學生說出基本圖形，并分析基于基本圖形可以獲得的結論.從教學的過程和結果看，教師對基本圖形的深挖的成效是顯著的.在教師環環相扣的追問下，學生對基本圖形及其結論的探索不斷完善與深入，為后續解題思路的得出和解題過程的呈現夯實了基礎.在與例題相關的基本圖形析離過程中，教師還將文中的圖3至圖6都畫在黑板上，這些從復雜圖形中抽取出的基本圖形，讓本題的圖形分析形成了網絡，其核心是直角三角形，附著其上的既有直角三角形的相關性質，也有與直角三角形高度相關的其他圖形的性質.這些圖形及其所包含的幾何結論，對問題解決的重要性我們是不需要質疑的，而其生成過程或許比結論的應用來得更具實效.在這樣的教學過程中，學生的自主探索、師生的互動交流及最后的自主解答，都緊扣生成于幾何概念或定理之上的基本圖形展開，與學生已有的認知路徑完全吻合，取得較好的教學成效也就十分正常了.

三、幾點思考

1.堅持析圖訓練，培養應用能力.

對基本圖形的學習與應用應是一項長期工程，一線教師所要做的就是始終如一地將其貫穿于自己的幾何教學中.見圖析圖，聯想結論，力求在師生互動交流中形成學生“剝離圖形，應用圖形獲得思路”的能力.筆者認為，這種長期堅持的析圖訓練，對教師有著較高的要求.首先，教師要能把握住訓練的時機，在教學中始終將對復雜圖形的分析放在教學的核心時段上；其次，要以始終如一的方式引導學生進行思路分析與解法交流，決不能三心二意，不斷變化.比如，一道幾何題拿到手之后，學生該“先做什么，后做什么”，都應有著明確的規定，當他們面對一個復雜的幾何圖形時，該如何剖析，從哪些角度去抽取基本圖形，這些都應從幾何教學之初就應確立“規矩”，而且要讓確定的“規矩”在長期反復的磨煉下逐步完善，并得到全體學生的認同，最終成為每個學生都能“說得清，道得明”的思路分析范式.通過這種固化的持久訓練，個體對基本圖形的分析與應用能力才可能有明顯提升，成為個體的數學素養.

2.重視“四基”教學，夯實應用基礎.

“四基”是指數學的基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗，它們是“四能”（發現和提出問題、分析和解決問題的能力）生成的基礎.很顯然，“四基”教學對于數學教學是十分重要的.面對本文中所述的幾何教學，筆者認為它與代數教學的最大差別在于教學內容增加了圖形語言.學生需要在原有文字語言、符號語言之外，花大量的精力去認知、記憶、識別圖形.所以，在幾何概念、定理教學時，我們務必在認知起點處，幫助學生將文字語言、圖形語言和符號語言一一對應起來，讓他們充分體會到這三種幾何語言之間的內在聯系，為后續應用夯實基礎.“四基”教學，起點很重要.我們應從一開始就讓學生充分經歷基本圖形的生成過程，然后才是更廣范圍內的建構與拓展.所以，在定理或概念首次呈現時，我們就應把三種語言狀態下的知識同步展示，讓他們體會到它們之間轉化的可能、必要與有效.

3.強化數學關聯，形成應用慣性.

基本圖形一般是指基于一個定理或概念之上的圖形，但有時我們會把關聯較為密切的兩個或兩個以上的圖形鏈接在一起，形成一些較為復雜的復合基本圖形，或者我們會把基于多個不同教學時段從同一幅圖形中生成的結論組合在一起，形成一個基于同一圖形的較為綜合的知識網絡，這些圖形或知識的“集合體”一旦形成，將會成為今后學生分析問題與解決問題的重要數學模型.當然，想要形成這樣的模型，絕非一兩天的突擊訓練就能實現的.筆者認為，一方面要加強數學知識的聯想教學，培養學生看圖猜想的能力和意識；另一方面，要在訓練中及時關聯相關知識網絡，并不斷強化學生的應用體驗，以保證每名學生都能形成基于個體認知網絡之上的提取與應用的思維慣性，達成基本圖形教學成效最大化.