巧“旋轉”，妙解題

☉山東省煙臺市教育科學研究院 辛珍文

圖形的旋轉是《義務教育數學課程標準（2011年版）》規定的學習內容，旋轉變換在初中幾何中占據非常重要的地位，它貫穿于三角形、四邊形、圓等幾乎所有重要的幾何內容之中，在近幾年的中考試題中所占的比重不斷上升，是中考的熱點，而且相關試題往往構思巧妙，令人耳目一新，學生在解決這類問題時倍感困難，經常沒有頭緒.本文試圖從三個層次來幫助學生掌握旋轉的特征，以期幫助學生抓住旋轉的規律，從而輕松解決問題.

一、按指令旋轉

例1如圖1，將△ABC繞點C逆時針旋轉90°，作出旋轉后的圖形.

圖2

圖1

解析：如圖2，△A′CB′為所求.

由本題我們可以歸納出圖形旋轉的特征：（1）圖形中每一點都繞著旋轉中心旋轉了同樣大小的角度；（2）對應點到旋轉中心的距離相等；（3）對應角相等；（4）圖形的形狀和大小都沒有發生變化，即旋轉前后的圖形全等.深入研究一下，還可以得到：對應的直線也旋轉了相同的角度，比如，此題中的直線AB和直線A′B′也互相垂直.

二、會識別旋轉

通過例1的練習，對于旋轉中心為圖形的某個頂點的旋轉，學生是很容易識別的，但對于那些旋轉中心不是頂點的，學生識別起來還是有些困難的.比如例2.

例2 如圖3，△A′B′C′是△ABC繞點O按一定角度旋轉后形成的圖形，求作點O.

圖3

圖4

解析：如圖4，因為對應點A、A′到旋轉中心O的距離相等，所以點O在線段AA′的中垂線上，同理點O也在線段CC′的中垂線上.連接AA′、CC′，作AA′、CC′的中垂線，交點即為點O.

通過例2的練習，學生對于旋轉的識圖能力有了進一步的提升，解決像例3和例4這樣的問題，就很容易了.

例3如圖5，菱形ABCD中，E、F分別為BC、CD上的點，且∠B=∠EAF=60°，求證：AE=AF.

圖5

圖6

解析：如圖6，連接AC，證明△ABE≌△ACF（ASA）即可.

事實上，△ACF可以看成是△ABE繞點A逆時針旋轉60°而成的，其實旋轉為我們認識全等提供了一個新的角度，即從動態的角度來重新認識全等.觀察圖2、圖4，我們可以發現旋轉必然會產生“有公共頂點的等線段圖形”（線段和中點、等腰三角形、菱形、正方形等），反之，“有公共頂點的等線段圖形”（線段的中點、等腰三角形、菱形、正方形等）中必然隱藏著旋轉型全等，我們只需找到它們，問題便隨之解決.

例4 如圖7，以△ABC的邊AB、AC為邊分別作正方形ABDE和正方形ACFG，連接EG，試判斷△ABC與△AEG面積之間的關系，并說明理由.

圖7

圖8

解析：如圖8，不難猜想△ABC與△AEG的面積相等，可以考慮讓它們的底邊相同，因此作CM⊥AB交AB于點M，作GN⊥EA交EA的延長線于點N.只需證GN=CM，而這由△AMC≌△ANG即可得到.其實△AMC與△ANG也是一對旋轉型的全等.

三、會構造旋轉

事實上，讓大部分學生感到困難的并不是去發現題目圖形中隱藏著的旋轉，而是何時需要去構造旋轉型全等.上面的解題經驗告訴我們，若題目中出現了“有公共頂點的等線段圖形”，比如，線段的中點、等腰三角形、菱形、正方形等，可能就需要我們主動構造旋轉型全等，特別是當題目中的條件比較分散或條件雖然是集中的但無法解決所求問題時，通過構造旋轉，可以使得題目中的條件重新集中，從而解決問題.

例5如圖9，在等腰△ABC中，AB=AC，D是△ABC內一點，且∠ADB=∠ADC，求證：∠DBC=∠DCB.

解析：雖然題目中相等的元素集中在△ABD和△ACD中，但無法證明△ABD和△ACD全等，所以需要把條件轉移之后再利用，AB=AC提供了將△ABD旋轉的依據.因此，將△ABD繞點A逆時針旋轉到△ACD′，連接D′D.易證∠CDD′=∠CD′D，從而CD=CD′，故CD=BD，即∠DBC=∠DCB.

圖9

圖10

例6如圖10，已知PA=，PB=4，以AB為一邊作正方形ABCD，使P、D兩點落在直線AB的兩側.

（1）當∠APB=45°時，求PD的長；

（2）當∠APB變化，且其他條件不變時，求PD的最大值，以及相應∠APB的大小.

解析：在△APD中，雖然知道PA、AD的長度，但沒有角度，因此無法求解PD.由于AB=AD，所以可以嘗試將△PAD繞點A順時針旋轉90°到△EAB，連接EP，在△EPB中求出EB為2可得PD也為在第（2）問中，依此思路，易求得EB的最大值為6，當且僅當E、P、B三點共線，即當∠APB為135°時，PD取得最大值6.

如果題目中出現了線段的中點，我們可以把某個三角形繞著中點旋轉180°，構造中心對稱型全等（同時形成“附屬產物”平行四邊形），使題目中的條件集中，從而解決問題.我們熟悉的“倍長中線”便是其中的一種特殊情形.

例7如圖11，點D是△ABC的邊AC上一點，且AB=CD，∠BAC=60°，點E是BD的中點，若AE=4，求BC的長.

圖11

圖12

解析：題中的“AB=CD，∠BAC=60°”這兩個條件比較分散，無法使用，考慮到點E是BD的中點，因此延長AE到F，連接FB、FC、FD.這樣一來，△FDE≌△ABE，所以DF=AB=CD.又∠CDF=∠BAC=60°，故△DCF為等邊三角形.所以CF=CD，CF=AB.又BF∥AC，故四邊形ABFC為等腰梯形，所以BC=AF=8.

通過以上例題，我們對旋轉有了逐步深入的認識.我們能夠按照題目的要求，作出相應的旋轉后的圖形，加深了對旋轉的直觀認識，能夠迅速在“有公共頂點的等線段圖形”中識別出我們所需要的旋轉型全等，而有些題目，要求我們主動去構造旋轉型的全等，從而使分散的條件集中起來，溝通已知和所求，達到解決問題的目的.最后提供幾個題目，供有興趣的讀者練習.

練習：

1.如圖13，邊長為3的正方形ABCD繞點C按順時針方向旋轉30°后得到正方形EFCG，EF交AD于點H，那么DH的長為______.

圖13

圖14

2.如圖14，Rt△ABC繞O點旋轉90°得Rt△CED，其中∠ABC=∠E=90°，AC=5，DE=4，則OC的長為______.

3.如圖15，等邊△ABC內有一點D，連接AD、BD、CD，若∠ADC=150°，CD=3，AD=4，求BD的長.

圖15

圖16

4.如圖16，在四邊形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC.求證：BD2=AB2+BC2.

5.如圖17，在△ABC中，AB>AC，點D是BC邊的中點，過D作射線交AB于點E，交CA的延長線于點F，若BE=CF，求證：AE=AF.

圖17

圖18

6.如圖18，在平行四邊形ABCD中，若∠ABC=120°，∠BAD的平分線交直線BC于點E，交直線DC于點F，FG∥CE，FG=CE，分別連接DB、DG，求∠BDG的度數.