因式分解中的易錯點及應對策略

李 莉

（江蘇省昆山市玉山中學，江蘇 昆山）

多項式因式分解是初中數學的重要知識點，是解決數學問題的基本工具，在方程、函數等問題中有著廣泛的應用。但在學習中學生經常是“掌握不難，做對不易”。在該知識的教學中，筆者總結了學生容易發生的幾類典型錯誤，針對這些錯誤，提出了應對策略。

一、不理解因式分解的定義

錯例 1：x2-9+6x=（x+3）（x-3）+6x。犯此類錯誤的同學，很明顯，沒有理解因式分解的定義（把一個多項式分解成幾個整式的積的形式，叫做多項式的因式分解）。

應對策略：首先，教師應讓學生理解因式分解的定義，區分整式乘法和多項式的因式分解，要求學生檢查分解的結果是否符合“幾個整式的積的形式”，不能出現像例1中“+6x”這樣的“尾巴”。

二、忽略公因式，錯提公因式

錯例 2：4x2-16=（2x+4）（2x-4）（正解：4x2-16=4（x2-4）=4（x-2）（x+2）），看似正確的因式分解，實則錯誤。這樣的題目，學生拿到手往往先想到用公式法或者十字相乘法分解，做完還很滿意，其實無論何種因式分解，第一步都應該是提取公因式，提取完后，結果的括號內才不會出現公因式。

錯例 3：9a2-81a2b2=a2（9-81b2）=a2（3-9a）（3+9a）（正解：9a2-81a2b2=9a2（1-9b2）=9a2（1-3a）（1+3a））。在本例中，學生提公因式僅考慮相同字母而忽略了系數，導致錯誤的發生。這類錯誤在因式分解問題中經常出現。

應對策略：教師應強調，對于多項式的因式分解，首先想到的應是提取公因式，然后再考慮其他方法。對于公因式的提取，學生應“一看系數”“二看相同字母或者代數式”“三看相同字母或代數式的指數”，三個方面缺一不可。在完成一個因式分解問題后，學生也應該檢查結果是否分解徹底，特別是括號里是否還有公因式的存在。

三、因式分解公式運用不靈活

錯例 4：4x2-y2=（4x+y）（4x-y）（正解：4x2-y2=（2x+y）（2x-y）），

錯例5：x2-2x+4=（x-2）2（不能在實數范圍內因式分解）。

此類錯誤的原因是學生對乘法公式的掌握不牢固，很多同學記憶公式基于自己原有的認知。比如，他們認為（a+b）2就理所當然地等于a2+b2。

應對策略：在公式的教授中可以借助一些口訣，如完全平方公式可以用口訣“首平方，尾平方，兩倍首尾在中央”，讓學生理解記憶公式的特征。學生出現錯誤時，教師也要不斷地、反復地糾正和強調。如此，學生才能改變原有的認知，將公式建構到自己的知識結構中去。只有掌握了公式學生方能靈活運用公式。

四、“十字相乘”錯相乘

錯例 6：x2-x-6=（x+3）（x-2）（正解：x2-x-6=（x-3）（x+2））。

錯例 7：（x+2）（x+3）+x2-4=2x2+5x+2=（2x+2）（x+1）=2 （x+1）2，（正解：（x+2）（x+3）+x2-4=2x2+5x+2=（2x+1）（x+2））。

十字相乘法是多項式因式分解中應用最為廣泛的，但也是最為靈活的一種方法，怎樣分解既要結合三個項每項系數的數值，還要注意它們的符號，往往類似的系數有不同的拆法。錯例6中學生就是沒有注意到一次項系數的符號。錯例7雖然二次項和常數項分拆正確了，在最后書寫的時候，由于習慣性思維又導致書寫有誤。

應對策略：在平時的教學中，教師要注意一題多變，讓學生體會相同系數不同拆法，還要強調最后書寫時十字兩側的項務必橫著組合，決不可斜著組合。

五、因式分解結果不徹底

錯例 8：x4-1=（x2+1）（x2-1）（正解：x4-1=（x2+1）（x2-1）=（x2+1）（x-1）（x+1）），錯例 9：（3a2+2a-8）2-（a2-2a-8）2=［（3a2+2a-8）-（a2-2a-8）］［（3a2+2a-8）+（a2-2a-8）］=（2a2+4a）（4a2-16）］（正解：（3a2+2a-8）2-（a2-2a-8）2=（2a2+4a）（4a2-16）=8a（a+2）2（a-2））。

因式分解不徹底，是多數學生的通病。究其原因主要是學生的檢驗意識不強，因式分解的各種方法運用不靈活。

應對策略：教師應加強學生檢驗思想的培養，強調做完題目后，回頭看看是否分解徹底，是否最簡。學生一旦養成做題后檢驗的習慣，那么他們就不會出現上述錯誤，他們的運算能力也會有一個較高的提升，數學素養也會相應得到提高。

六、代換思想運用不靈活

錯例 10：（x2-1）2+9+6（1-x2）=x4+1-2x2+9+6-6x2=x4-8x2+16正解：（x2-1）2+9+6（1-x2）=（x2-1）2-6（x2-1）+9=（x2-4）2=（x+2）2（x-2）2。

缺乏整體思想的學生往往只見樹木不見樹林，遇見高次方的復雜多項式就束手無策了,不能轉化為基本問題來考慮。

應對策略：教師應加強學生代換思想的培養，平時要多注意接觸類似的題目，提升學生的整體識別能力，加強代換思想的應用。

七、因式分解與化簡求值混淆

錯例 11：化簡（x-2y）（x+2y）-（x+2y）2=（x+2y）（x-2y-x-2y）=-4y（x+2y）（正解：（x-2y）（x+2y）-（x+2y）2=x2-4y2-x2-4y2-4xy=-8y2-4xy）。

應對策略：教師要培養學生的審題能力，要讓學生看清楚題目的要求，因式分解和化簡是不一樣的，強調因式分解是把一個多項式寫成幾個整式的積的形式，而化簡是運用整式運算方法將復雜的式子化為簡單的式子的過程。

八、實際問題中應用不靈活

因式分解的運用，對學生的要求較高，學生只有熟練掌握了因式分解的相關知識，才能將因式分解運用于實際，才能運用自如。筆者在授課中，遇到這樣一道題目：若a、b、c為△ABC的三邊長，試判斷（a2+b2-c2）2-4a2b2的值是正數還是負數。大部分學生遇到該題，首先是恐懼、害怕，而后是放棄，根本沒想到運用因式分解的知識解決問題。此時，教師應多鼓勵學生，讓他們結合問題去尋找思路，與已學知識掛鉤。在教師的啟發下，學生發現可以用因式分解的方法解決：（a2+b2-c2）2-4a2b2=（a2+b2-c2-2ab）（a2+b2-c2+2ab）=（a-b-c）（a-b+c）（a+b-c）（a+b+c），因為 a、b、c 為△ABC 的三邊長，所以 b+c＞a，a+c＞b，a+b＞c，a+b+c＞0，所以（a-b-c）（a-b+c）（a+b-c）（a+b+c）＞0，所以，（a2+b2-c2）2-4a2b2＞0。

所以，（a2+b2-c2）2-4a2b2是正數。師生共同努力下完成了該題，此時，學生對于因式分解的理解拓寬到了應用的層面，教師可以再找一些類似的題目讓學生練習，使他們體會因式分解的活學活用。

以上八種情況是筆者在教授“多項式的因式分解”過程中，歸納出的學生易犯錯誤以及應對策略。實際教學中，學生可能還會犯不同于以上的其他錯誤。作為數學教師，只要我們肯觀察，肯思考，肯踐行，一定能降低學生的易犯錯誤，提高他們的數學解題能力。