白子彥
(五臺縣槐蔭中學(xué)校,山西 忻州)
自實施新課改以來,創(chuàng)新意識就是高考數(shù)學(xué)考查的能力之一,伴隨著課程改革的腳步,新課標Ⅱ卷中的創(chuàng)新立意的試題如縷縷清風(fēng),拂面而來,它們題意鮮明,背景豐富,寓意深厚,解法靈活多樣,構(gòu)成了新課標Ⅱ卷的一道靚麗的風(fēng)景線,特別是理科第17題,這是一道集數(shù)列的遞推公式、等比數(shù)列的定義、通項公式、及非特殊數(shù)列求和等問題于一體的綜合性試題,研究好題如沐春風(fēng),此題看似平淡,卻精彩紛呈,看似常規(guī),卻彰顯能力,是一道值得研究的好題,下面從試題命制背景、解題思維形成的幾種途徑、變式提升入手進行探究。
命題給出答案如下所示:
(Ⅰ)由an+1=3an+1得所以是首項為公比為3的等比數(shù)列,因而{an}通項公式為
該題的解決,將 3n-1 縮為 2·3n-1,即 3n-1≥2·3n-1,進而得到不等式的證明,但這個不等式是如何想到的呢?由于過程過于簡捷,又給放縮法增添了一層神秘的色彩。因此闡述這個不等式是如何放縮而來的是有必要的。
人民教育出版的普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學(xué)(必修)中,主編寄語中有這樣一段話:如何才能學(xué)好數(shù)學(xué)呢?我們首先應(yīng)當對數(shù)學(xué)有一個正確的認識①數(shù)學(xué)是自然的,②數(shù)學(xué)是清楚的。筆者對這句話的理解是:數(shù)學(xué)本身是自然的,我們用數(shù)學(xué)知識分析和解決問題時,也應(yīng)力求解題思想的自然流露和解題過程的自然流淌。水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物,不僅合情合理,甚至很有人情味。筆者是這樣思考的:不等式左邊是數(shù)列前n項和,由(Ⅰ)知又見數(shù)列既不是等差和等比數(shù)列,也不是記憶中能夠求和的雜數(shù)列。
方法:構(gòu)證等比數(shù)列證明。
研究高考試題的背景,就是要深挖題源,研而不倦。高考試題的背景是通過不同知識載體來實現(xiàn)和依托不同方式呈現(xiàn)的,只有我們弄清問題的本質(zhì),才能有正確的求解思路和方法。這道數(shù)列題的第二問本質(zhì)就是借助等比數(shù)列的求和公式來命題的,因而在解題思路上應(yīng)將其轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的求和來解決。
教材是高考題產(chǎn)生之源,立足教材,著眼數(shù)學(xué)問題的自然產(chǎn)生,緊扣教材,關(guān)注數(shù)學(xué)問題的自然解決,因此作業(yè)教師,在引導(dǎo)學(xué)生探究多種解法的同時,要讓學(xué)生領(lǐng)會原有的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法。若能生成數(shù)學(xué)創(chuàng)新就更完美了,這樣方能有效提高學(xué)生的思維能力和解題能力,使學(xué)生開拓解題思路,促進數(shù)學(xué)的高效學(xué)習(xí)。