案例引導的有限單元法課程教學方法改革與實踐

李元松 王亞軍 王章瓊 周小龍 周春梅

摘要：總結歸納有限單元法課程特點，分析研究生教學現狀，闡述長期以來課程教學效果不佳的原因。基于案例教學法理論，提出以案例引導的有限單元法課程教學方法，并引入3個典型工程案例，說明其實施步驟與方法。最后以近三年的成績，評價該方法的使用效果。通過案例引領學生思考問題，學生通過討論提出解決方法，程序設計再進一步深入驗證結果，從而激發學生對課堂教學和案例學習的興趣，達到有效提高課堂教學效果的目的。

關鍵詞：典型案例;有限元法;教學方法;改革與實踐

中圖分類號：G642.0文獻標志碼：A文章編號：1005-2909（2018）06-0110-07

隨著工程技術研究的不斷深入和建設規模的日益擴大，特別是計算機科學和技術的飛速進步，數值計算在工程技術研究活動中的重要地位凸現，相應地工程結構數值計算方法課程已成為大多數工科專業研究生的必修課程[1-3]。作為工程結構數值方法的代表——有限單元法及其程序設計是一門集應用數學、現代力學及計算機科學于一體，且相互滲透的綜合性工程學科，其理論體系龐大而復雜，涉及到微分方程、矩陣代數、計算方法、彈性理論、結構設計以及計算機編程等多學科理論與技術。學生學習起來異常艱難，對于非力學專業的學生更是如此。

因此，如何在有限課時內讓學生掌握有限元的基本原理與方法，并能自編程序分析與解決實際問題，是有限元教學必須著力思考的問題。筆者根據多年的教學經驗，從實際工程問題的求解出發，提出以案例引導的課程教學方法，通過幾年的實踐收到良好的效果。

一、課程特點及教學現狀

（一）課程特點

1.概念抽象，涉及面廣

有限元法的概念有基本方程、剛度方程、邊界條件、等效節點力、形函數、位移模式、收斂性、等參單元、虛位移、虛功等。這類概念的共同特點是很抽象，難以理解[4-6]。此外，還時常夾雜一些材料、幾何以及邊界條件非線性問題，學生很難對這門學科進行整體把握，因而往往

產生畏難情緒。

2.方法獨特，步驟眾多

現有的教材都是從三大基本方程出發，到矢量、張量的矩陣形式表達，從結構離散，到單元位移模式（以位移法為例）、剛度方程、剛度集成（結構的重新組合）、節點荷載移置、邊界條件處理、方程的求解，最后得出節點位移與特征點的應力。步驟眾多，公式復雜，且演算多以矩陣形式甚至用張量形式表達，初學者無法理解其背后所蘊含的數學基礎與力學原理。

3.工作量大，難以手工驗算

有限單元的最大特點是計算工作量大，比如一個簡支梁，即使充分利用對稱性，較為稀疏的單元網格，最為簡單的三角形單元，至少得20個左右的單元才能反映梁的應力和變形規律，用手工計算幾乎是不可能的。

有限單元法課程的學習，其最終目的是解決實際問題，分析復雜結構的力學性態，必須借助計算機軟件。然而，目前市面上的軟件五花八門，僅土木工程領域流行的商業軟件就有數十種，且每種軟件由于開發團隊的思路不同，均有所差別，系統性極差。再則，說明書往往并非力學專業人員撰寫，解讀起來非常困難。一旦遇到問題，往往很難通過自學解決。

（二）教學現狀

1.“自下而上”的學習， 只見樹木不見森林

由于有限單元法是從工程應用中直接發展起來的，以致現有的教科書與教學方法，都缺乏嚴格的思維邏輯。學生通常一開始就面臨大量的細節，比如整體與局部坐標的變換、節點力和節點載荷的移置、形狀函數的構造與收斂問題等，難以從整體上理解有限元的基本原理， 卻已淹沒在眾多的細節推導， 只見樹木， 不見森林。這種方式導致學習過程中沒有原則可以遵循， 學習者常常困惑于非本質的公式推導，增加了學習負擔。

2.理論與程序脫節

有限元法是應用性很強的一門學科，其計算工作量巨大，必須由程序計算完成足夠的練習，才能掌握其原理與方法。目前，有限元教學中比較重視理論知識的教學， 但對有限元程序并沒有給予足夠的重視。其原因是有學時限制，對教師專業水平的要求高，程序代碼編寫難以掌握，理論知識和程序代碼之間的銜接跟不上等。這些原因導致有限元理論教學和編程教學的嚴重脫節[7-8]。

3.灌輸式教學，學習缺乏自主性

有限元方法的學習特別需要學生的積極參與。現有的教學模式只注重有限元基本理論的講解與計算推導分析[9-10]，而對于大多數非力學專業的研究生來說，有限元方法的理論起點較高，教師要花費大量時間在課堂上灌輸理論，但效果并不太理想。如果課程的設計能夠充分調動學生的積極性和參與意識， 讓學生多上機實踐， 主動去探求有限元理論及其編程的技巧，必將對學生產生積極的影響。

4.生源復雜，基礎參差不齊

有限單元法課程是一門對理論和實踐均有較高要求的課程，如果預修課程不合理，對這門課程的學習是極其不利的。本科階段，有的學生學過結構力學，但沒有彈性力學與數值方法的基礎，對連續域或邊值問題無法理解;有的學生學了彈性力學，但對程序設計完全沒有概念，這就要求結合學生的知識結構組織教學材料，而不能僅從教師易于講授的角度組織教學內容。

二、案例教學的基礎理論

案例教學是指教育者本著理論與實際相結合的宗旨，根據教學目的和教學內容，以典型案例為教學素材，將學習者置身于一個真實的情境中，通過多種方式促使學習者理解和掌握各種相關的專業知識和技能，以構建學習者分析問題和解決問題實踐操作能力的一種教學方法和形式[11-14]。案例教學有三個顯著特征[15]：示范性、實踐性和互動性。一般案例教學的程序分為三個階段：一是案例研究階段。這一階段教學者結合專業，分析識別精選工程案例，并提出問題;學生需要思考案例關系與問題，形成對案例問題的看法和觀點，并提出自己的解決方法。二是案例討論階段。案例討論階段主要是師生以及學生之間圍繞案例問題展開討論。對教師而言最重要的就是尊重“差異”和重在“啟發”，學生則是“質疑”和“聯想”。三是案例總結階段。案例總結階段包括教師綜合性總結和學生方面的反思。綜合性總結是教師對前面兩個階段的工作進行整合和內化，而學生則是在一系列的反思中建構自己的認識和思想。

三、案例引導分析

（一） 案例引入原則

以案例為主線的一體化教學中，案例是教學目標實現的關鍵，在進行案例的選擇與設計時主要應考慮：以滿足教學需要為前提;以實用、夠用為原則;以應用能力培養為核心;難度應符合學生的認知能力。

（二）案例分析

案例1：如圖1所示，一榀多層框架結構的設計計算。框架結構的分析計算是土木工程專業學生課程設計或畢業設計必須完成的學習任務。碩士階段對其手工計算有一定程度的了解與認識。用有限單元法求解，首先必須將力學模型轉化為計算模型，即將結構離散、節點編號、單元編號建立整體坐標系。利用梁單元的轉角位移方程進行單元剛度分析，形成單元剛度方程，這部分內容易于理解與掌握。問題是單元剛度矩陣集成總體剛度矩陣時，學生始終難以準確理解單元剛度矩陣的元素如何置入總體剛度的相應位置。在此將問題的解決方法分為6個步驟進行分析。

六是思考單元組裝成結構的條件：節點力的平衡與位移連續。將所有單元位移產生的節點力求和，其實質就是單元貢獻矩陣的求和。

這樣一來，將看似復雜的高次超靜定結構，轉換為若干結點力的平衡問題。根據結構力學中的轉角位移方程，求出結點力與結點位移之間的關系式，即單元剛度方程，然后分析每個桿件在單元位移作用下產生的結點力。根據結點力的平衡與變形連續條件，形成結構的總體剛度方程，用定位向量法實現，既能深刻體會單元剛度矩陣的力學意義，又能將復雜的結果以文字或圖形的形式表現，為程序設計奠定了邏輯基礎。

案例2：如圖3所示，矩形截面簡支梁的設計計算（考慮對稱，取右側一半）。主要解決形函數設定與分片連續問題，實體結構—理解微分方程的求解問題。按彈性理論，彈性體位移是數學的連續可導函數，通過一定規則離散后，每個單元的位移模式由計算者自己設定。這種設定的依據是什么，精度、收斂性如何保證等問題都是困擾初學者的理論問題。要準確理解上述問題，需從以下幾方面加以分析討論。

這一演算過程，從物理學角度考察，將連續體內部應力應變之間的關系，轉換為三角形單元節點之間力與位移之間的關系;從數學角度看，將連續型變量轉換為離散型變量，將變量之間的微分關系轉換為代數關系，運算邏輯上不存在問題。

根據能量原理推導結構剛度方程的過程中，假設不發生能量損失或轉換，將整個區域連續的彈性體問題，轉換為分片連續的彈性塊體，塊與塊之間以節點連接，節點外力在對應結點位移所做的功與彈性體的變形能相等，從而保證節點位移就是真實的位移。從數學角度，將位移滿足的控制微分方程，轉換為代數形式的剛度方程，不存在理解困難。

三是位移函數的收斂性條件，嚴格數學證明較為困難，只能做一些理解性的解釋。任何連續可導函數，都可以在某一區域展開成泰勒級數，當取線性項時，就是三角形常量單元的線性位移函數的取值基礎。位移函數滿足如下條件，就可保證收斂：（1）包含反映剛體平動的常數項;（2）包含反映常應變的線性位移項;（3）位移在單元內連續，在相鄰邊界上協調。前兩條是必要條件，第（3）條為充分條件。

通過虛功原理推導單元剛度方程，理解變量之間的微分關系，如何轉換成代數關系;根據能量守恒定律，最小勢能原理建立結構的剛度方程，有效解釋分片連續問題與彈性連續域問題等效的力學意義;任何連續可導函數均可展開為泰勒級數，取線性項時，即為三角形常量單元的位移函數。單元內質點的位移分變形位移與剛體位移，只有包含常數項，才能真實反映剛體平動。位移中的線性項是用于反映常量應變的，否則就不能反映物體均勻變形，與實際情況不符。

案例3：如圖1所示平面桿系結構，用自編程序進行計算（以FORTRAN6.5為例）。有限元法的練習必須用程序計算完成。程序設計一方面讓學生掌握有限元的步驟，培養鍛煉學生的程序設計能力，了解軟件計算思維邏輯與模型數值化方法，原始數據的輸入與計算結果的輸出，這些知識的學習反過來又加深對有限元理論的理解。平面框架計算程序設計也從三方面進行討論。

一是參數的分類。（1）控制參數：單元個數、節點個數、節點荷載個數、非節點荷載個數、邊界約束條件數;（2）幾何與材料參數：節點坐標、截面面積、彈性模量、泊松比等;（3）計算參數：單元剛度矩陣、總體剛度矩陣、節點位移、單元應力等。

參數分單變量與變量數組，對于控制參數，可用單整型變量表達，如NE，NJ分別表示單元個數與節點個數。對于重復出現或物理邏輯同時出現的量，用數組表達較為合適，比如COORD（500，2），表示節點坐標，const（500，3）為單元常量數組，分別存貯單元的彈性模量、泊松比與單元的厚度。JR（NR，4）表示支座約束信息，1，2，3，4分量分別表示支座結點號，u，v，θ方向的約束信息，“1”表示約束，“0”表示自由。計算參數多用實數組表達，比如P（300）表示節點位移，sigma（300，3）表示單元應力等。

三是程序調試與數據的輸入和輸出。

對于初學者而言，以數據文件的形式表達易于理解。一般將原始文件與結果文件分為兩個文本文件，如in.dat，out.dat。按編程語言的規則與程序設計的讀數順序，將原始數據寫入in.dat文件即可，結果文件的格式由程序設計完成，計算結束，打開out.dat文件即可查看所求問題的解。

有限單元法的學習必須進行程序計算，才能準確掌握其思維邏輯。進行結構的離散化與數值化，既是對有限元法計算步驟的練習，也是對計算模型的深入理解與分析。計算結果輸出，才能理解與驗證算法的正確性與有效性，從而加深對有限元原理的理解與記憶。

四、效果評價

在傳統教學模式下，學生因前置課程基礎知識不足，難以理解抽象的理論推導，把握不了有限單元法的思維邏輯，產生消極情緒，影響教學效果。進行案例教學改革后，取得了較好的教學效果。

（1）明確認識有限元課程的重要性與必要性，激發學生對有限單元法課程的興趣，學生在“提出問題”與“尋求解答”的交互中完成了由“被動學習”到“主動學習”的轉變。

（2）將有限元步驟程序化，通過程序調試與對錯誤的修正，加深對有限元理論的理解與認識。

（3）能計算傳統手算無法給出結果的大中型問題，學生有一種成就感，反過來促使學生投入更多時間與精力，在“案例”與“理論”交叉學習的過程中完成從基本理論到實際應用的轉換。

（4）對碩士論文與就業方向產生積極的引領作用。近幾年的碩士研究生論文，多數學生都使用數值分析工具建模分析，學生畢業擇業優先考慮結構設計、施工仿真模擬方面的工作，對專業崗位工作充滿信心。

五、結語

通過案例這條主線貫穿有限元理論教學和實踐教學環節，加強基本理論、程序設計和結構分析三個教學層次的縱向聯系，實現了桿系結構、彈性實體結構、數值方法、程序設計、工程結構設計與施工過程仿真分析一體化教學。通過案例闡述理論，有利于教師的“教”和學生的“學”，有利于改變學生學習過程中應用所學理論知識解決實際工程問題能力較差的狀況，有利于學生綜合應用能力的培養和整體結構分析思維的建立。

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