從一道“數(shù)列”說題談“數(shù)列”高考

福建省尤溪七中 葉明超

高中數(shù)學中數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，在學習過程中需要把它與函數(shù)的思想及性質結合起來學習，其特殊性反映在自變量n取正整數(shù)，故其刻畫的是離散現(xiàn)象的數(shù)學模型，圖像反映的是點集，數(shù)列反映的是自然規(guī)律基本數(shù)學模型，它在過去幾年的高考中一直是考查的重要內容之一，也是后續(xù)高等數(shù)學學習的重要工具，在高考中能考查學生的邏輯推理能力和理性思維能力，以及考查學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力，因此在高考命題中占有重要地位。筆者有幸參加了市教科所組織的一次說題研討活動，題目背景就是一道數(shù)列題，通過對數(shù)列的考綱的研讀及對近些年高考數(shù)列命題的探討，從數(shù)列的試題評析、解法、高考定位探究幾方面談談我對它的看法。

一、試題分析

已知數(shù)列 {an}滿足(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）是否存在互不相等的正整數(shù)m，s，t，使 m，s，t成等差數(shù)列且 am-1，as-1，at-1成等比數(shù)列？如果存在，求出所有符合條件的m，s，t；如果不存在，請說明理由。

這是一道高三文科的試題，主要從以下幾方面考查了數(shù)列的知識：利用數(shù)列遞推式求數(shù)列通項；考查等差、等比數(shù)列的性質、等比數(shù)列的定義的應用；指數(shù)運算及基本不等式的綜合應用；考查學生的能力方面：1.考查分析問題、審題能力；2.考查初等數(shù)學的基本運算求解能力；3.考查數(shù)列知識的綜合應用能力；4.考查了數(shù)列的探究性能力，考查了數(shù)列的重要思想——化歸與轉化思想、函數(shù)與方程的思想。

本題命題的特點：本題考查了數(shù)列知識的基本要求和能力，比較符合近年高考對數(shù)列的考查，注重與其他知識的交匯，符合高考考試說明：“在考查數(shù)列的綜合問題時，常與函數(shù)、不等式、導數(shù)交織在一起，涉及化歸與轉化、分類與整合、必然與或然等數(shù)學思想。”但第二問對于文科學生而言難度就有點大了，如果這是一道理科題比較適合。

二、解法展示

本題的第一問可以從不同角度入手有不同的解法。題目要證明等比數(shù)列，可從等比的定義入手，即“數(shù)列從第二項起，每一項與其前一項的比值等于一個常數(shù)（非零），那么數(shù)列{an}就是等比數(shù)列”。

方法三：待定系數(shù)法，從結論知是一個等比數(shù)列，一定有cn+1=qcn，從而求出公比 q，即設，把代入上式恒等變形后可求得q=，所以數(shù)列是以2為首項，公比

本題的第二問：由第一問可求得數(shù)列{an}的通項公式為，依題意要滿足兩個條件，①m，s，t成等差，即 2s=m+t，②am-1，as-1，at-1 成等比，可轉化為（as-1）2=（am-1）（at-1），代入得，化簡得 2·3s=3m+3t，筆者在說題前，把這個題目在高基本不等式成立的條件是當且僅當m=t時取等號，這與m，s，t互不相等矛盾，故這樣的整數(shù) m，s，t不存在。

三、高考定位探究

2015年全國Ⅰ卷文科考查三角函數(shù)，理科考查了數(shù)列，第17題：Sn為數(shù)列{an}的前 n 項和，已知 an＞0，an2+2an=4Sn+3，（1）求數(shù)列 {an}的通項公式；（2）設bn=三學生進行測試時，發(fā)現(xiàn)很多文科的學生化簡到這里止步了，當然，對于我們一般高中學生而言能化簡到這一步的同學已經很不錯了，之后的步驟如果交給理科學生應該沒有問題，通過觀察已知條件要充分應用m+t=2s，而m，t又在指數(shù)位置，故只能將3m+3t轉化為 3m×3t＝3m+t，因而聯(lián)想到基本不等式具有這個功能。即3m＋3t≥，求數(shù)列{bn}的前n項和。

本題主要考查數(shù)列的通項公式的求解方法中的已知Sn表達式求an的過程、考查裂項相消法求數(shù)列的和，（1）由已知an2+2an=4Sn+3①，可遞推出 an＋12+2an＋1=4Sn＋1+3②，由②式 -①式可得 an＋12-an2+2（an＋1-an）=4an＋1，移項相消后得 an＋1-an=2，通過已知等式令n=1可求得a1=3，所以an=2n，其前n項和Tn＝

2016年全國Ⅰ卷理科考查三角函數(shù)，文科考查了數(shù)列，第17題：已知{an}是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足b1＝求數(shù)列{an}的通項公式；（2）求數(shù)列{bn}的前n項和。

本題主要考查等差數(shù)列的通項公式的求解方法，依題意令n=1，可求得a1=2，根據等差數(shù)列通項公式an=a1+（n-1）d，即an=3n-1，考查數(shù)列基本量的計算能力。（2）把an=3n-1代入已知式子，可得bn+1=，所以數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，按等比數(shù)列的前n項公式即可求得。本試題由于是文科的考題，因此相對比較基礎。

2017年全國Ⅰ卷理科仍然考查三角函數(shù)，文科繼續(xù)考查了數(shù)列，第17題：記Sn為等比數(shù)列 {an}的前n項和，已知S2=2，S3=-6，（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）求 Sn，并判斷 Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差數(shù)列。

本題仍注重對數(shù)列基本量的計算求解能力及通項公式和前n項和公式，利用等差中項公式判斷是否為等差數(shù)列的應用。屬于考查比較基礎的題型，大部分考分能完成試題的解答。

四、復習定位反思

《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》指出，數(shù)列有著廣泛的應用，在高三復習教學中就注重培養(yǎng)學生從實際問題中抽象出數(shù)列模型的能力，在數(shù)列的復習中應充分保證基本技能的訓練，讓學生通過一定的練習訓練掌握數(shù)列基本量的計算，從近幾年的全國卷數(shù)列高考來看，其命題特點注重基本知識和基本方法的考查，適度綜合與函數(shù)等知識交匯。

從高考題量分布來看，2016和2017兩年文科均考查了數(shù)列的大題，難度都不大，都屬于基礎題型，主要考查等差等比的性質、數(shù)列的通項公式、前n項和問題、等差等比的判定，2015年理科考查了數(shù)列的大題，由于2016年高考理科沒有考查數(shù)列的大題，很多高三老師都在猜測2017年高考理科考數(shù)列的大題的可能性很大，把精力放在數(shù)列的訓練上而忽視了三角，因而，在復習策略上要正確對待，不要盲目猜測，給學生錯誤的導向作用，只要我們的老師能按《標準》認真落實，注重一些數(shù)學思想方法的培養(yǎng)，數(shù)列解題時常會用到方程思想（求基本量時要有求解基本方程的能力）、化歸與轉化思想（把非等差、等比數(shù)列求和問題轉化為等差、等比數(shù)列求和）、分類討論思想（已知sn求an中常要對n是否等于1討論）、遞推思想（遞推式本就對于一切n均成立，故常常對式中的n進行遞推）、函數(shù)思想(數(shù)列本身就是一種特殊的函數(shù)，其僅僅是變量n的取值特殊，其他的性質與函數(shù)一樣，故數(shù)列一些問題的求解可通過函數(shù)思想來解決)。

經歷了全國高考到省自主命題，在全國教學改革的形式下又一次回到全國卷，既熟悉又陌生，在新課程的實施中，我們要準確把握全國卷的命題特點，對于我們來說會遇到許多問題和困惑，對于每個從事教學的老師來說，都是一次新的挑戰(zhàn)。我們要認真學習新課標，研究新高考，將現(xiàn)代先進的教學理念與傳統(tǒng)的教學思想相結合，勇于在實踐中反思，在反思中實踐，在實踐與反思中成長。