思路貫通，茅塞頓開

沙國祥

思路思路，學生解題，最惱的是沒有思路.

既是路，則需貫通.知識之間，問題之間，如若孤島相隔，即使你掌握的知識、會解的題目很多，也常思路阻塞，甚至無從下手.如同貌似強大的敵軍，一旦各路兵馬互不接應：或失去聯絡，或被我神兵插入，陷入各自為戰、首尾不顧狀態，離失敗就不遠了.

解題，無非是打通條件和結論，在知識之間鋪就聯系的通道.比如勾股定理，就是在條件“已知三角形是直角三角形”和結論“斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和”之間，鋪路架橋.不過，條件和結論乍看似乎風馬牛不相及，尋得思路并非易事.由于邊的平方即意味著以此邊為邊長的正方形的面積，故證明勾股定理的思路大多是面積法.有此想法，利用直角三角形的特征，則任你切割拼補，十八般武藝，三百多種證法，大抵離不開“面積不變”這條路、這個魂.

學習圓錐曲線，同樣要拽住知識之間的連線，才能貫通解題思路.

如何將思路貫通？常見的是縱橫聯系.縱，為時間軸，與已學的知識接上頭；橫，為空間軸，將割裂的知識點、知識塊連上線，如此打破時空隔閡，路路連通，縱橫交錯，思路自然就有了.

比如，學習橢圓，就可以和以前學過的圓相聯系.如，橢圓看起來是“扁的”，是否可以由圓在一個方向上均勻壓縮而得呢？

半徑為a，圓心在原點的圓的方程是x2＋y2＝a2，沿y軸方向縱向壓縮（即橫坐標保持不變，縱坐標變為原來的倍），設得到的新曲線上任意一點的坐標為（x′，y′），則有代入圓的方程x2＋y2＝a2，得

這就是橢圓的標準方程.

這樣一來，求長半軸長為a，短半軸長為b的橢圓的面積，也可以視為由圓的面積縮小而得如果用微積分求橢圓的面積，還得費不少周折呢！

再如，我們知道中心在原點、焦點在x軸上的雙曲線標準方程為但初中學到的雙曲線，則是指函數的圖象，化成xy＝k的形式，也和相去甚遠.其實，這是由于坐標系選擇的不同，導致方程的形式迥然不同.

我們來比較一下，雙曲線xy＝k有這樣的特性：雙曲線上任意一點（x，y）到x軸、y軸（雙曲線的漸近線）的距離之積為定值；反過來，雙曲線xy＝k也可以看成到x軸、y軸的距離之積為定值、且位于第一、三（或二、四）象限的動點的軌跡.那么，雙曲線是否也可以視為到直線（雙曲線漸近線方程）的距離之積等于定值k（且與x軸相交）的點的軌跡呢？

設（x，y）是滿足條件的動點，則有只要取0，即得

說了橢圓、雙曲線，我們也別忘了拋物線哦！

初中我們就學過拋物線了，與它相應的二次函數y＝ax2＋bx＋c（a≠0），可以看做一個二次方程，但，這可不是一個標準的拋物線方程！通過配方：我們可以知道它的頂點位于令得方程y′＝ax′2，即可化為現在所學的標準方程（相當于坐標系的原點移到拋物線的頂點處）.這樣聯系起來，初中、高中的拋物線就是一回事.

有一道關于拋物線的習題：

過拋物線的焦點作一條直線，與拋物線交于兩點A，B，分別過A，B引拋物線準線的垂線，垂足依次為C，D，求證：A，O，D在一條直線上，B，O，C也在一條直線上.

這道題，用解析法可以這樣證：

設拋物線的標準方程為y2＝2px，計算AO和DO的斜率，再利用焦點弦端點坐標的性質y1y2＝-p2，思路打通.

但這樣計算得到的結論，總給人一種“巧合”的感覺.

有興趣的同學不妨深入探討本題與下面這道幾何題之間的聯系：

如圖，AC∥BD，AD與BC交于點O，AF＝AC，BF＝BD，點E在DC上，且EF∥BD.求證：（1）E，O，F三點在一條直線上；（2）OE＝OF.

圖1

（提示：（1）由AC∥BD得又AF＝AC，BF＝BD，故所以OF∥BD；（2）證

因此，學習圓錐曲線，我們可以將其與已經學過的或其他數學分支的知識（函數、平面幾何等）聯系貫通，甚至可以與其他學科的知識牽起手來.如，圓錐曲線具有極佳的光學、聲學性質，用解析幾何甚至平面幾何的知識，均可以證明這些性質.

如此，知識相連，思路貫通，你成為解題高手，便不再是夢想.