淺析高中數(shù)學(xué)解題的思維策略

江蘇省啟東市呂四中學(xué) 朱曉燕

數(shù)學(xué)問題解決的思維策略是發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的方法。在解決數(shù)學(xué)問題的過程中采用的思想，它將從未知變?yōu)楹唵危瑥亩焖贉蚀_地解決問題。用解題的思維策略去啟發(fā)學(xué)生“不要只埋頭走路，還要抬頭看路”，下面作者討論了解決實際問題的一些經(jīng)驗。

一、認真審題，緊扣概念，快速分辨

解決數(shù)學(xué)問題的第一步是檢驗問題。弄清已知條件的等價說法，實施相應(yīng)的問題解決策略。數(shù)學(xué)中的定理、公式、性質(zhì)和定律都來自定義和公式。定義是一種邏輯方法，揭示了概念的內(nèi)涵。在解決問題時，我們應(yīng)該首先回到概念和定義，看看我們是否可以通過概念或定義來解決問題。

例1 已知點P（x，y）滿足方程x+y-1 =0，求點P（x，y）的軌跡。

問題解決策略分析：簡化等式。用xy項對二元二次方程的相應(yīng)曲線進行討論，只需要判斷曲線的形狀，并選擇圓形、拋物線、橢圓和雙曲線中的一種，并回到四者的概念或定義，然后問題得到解決。

分析將原始方程變形為x+y=1，即y=x-1，因為它表示原點O（0，0）到點P（x，y）的距離，以及從點P（x，y）到直線x+y-1=0的距離，因此該等式的幾何意義是移動點P（x，y）從固定點O（0，0）到固定直線x+y-1=0的距離是1，所以P點的軌跡是雙曲線。

解決后的思考1：曲線和方程是“形式”和“數(shù)字”的具體表現(xiàn)形式。找到曲線方程，用已知方程來研究曲線。

思考2：橢圓、雙曲線和拋物線是解析幾何中的主要內(nèi)容。在解決具體問題時，盡可能回到定義和概念，以便出現(xiàn)意外的驚喜和解決問題的經(jīng)驗。

二、找準題眼，把握特色，明確思路

數(shù)學(xué)問題不斷變化。善于根據(jù)相關(guān)專業(yè)知識制定靈活的想法和解決問題的解決方案。教師必須注意觀察能力的培養(yǎng)，使學(xué)生不僅可以用常規(guī)方式解決問題，還可以根據(jù)課題的具體特點，使用特殊方法解決問題，從而達到正確解決問題的目的。

例2 已知a，b，c，d都是實數(shù)，求證：

問題解決策略分析：證明不平等的三種最常見的方法是比較方法、綜合方法和分析方法。結(jié)論的右端與平面上的兩個點之間的距離的公式非常相似，左端可以被視為從點到原點的距離公式。

這個問題可用于以下聰明和簡單的證明。證明：不妨設(shè)A（a，b），B（c，d），如圖1所示，則在△OAB中，由三角形三邊之間的關(guān)系知OA+OB≥AB，當且僅當O在AB上時，等號成立，因此

圖1

在解決方案之后重新思考在證明這種不平等的過程中，我們對問題的解決方案通常是使用一些基本方法來證明不平等。我立刻想到了使用分析方法，綜合方法等。使用這些方法這個問題非常麻煩，它不熟悉這個公式，而且進一步說，對基礎(chǔ)知識的掌握并不牢固。

三、聯(lián)想方法，思考糾正，總結(jié)反思

著名的荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾曾指出過這一點：“反思是數(shù)學(xué)思維活動的核心和動力”“通過反思才能使現(xiàn)實世界數(shù)學(xué)化”。著名的數(shù)學(xué)家波利亞也說過“如果沒有反思，他們將錯過理解問題的重要而有效的方面”。通過反思，我們可以加深對問題的理解，優(yōu)化思維過程，揭示問題的本質(zhì)，探索一般規(guī)律；通過反思，我們可以傳達知識之間的相互關(guān)系，從而促進知識的同化和遷移，并產(chǎn)生新的發(fā)現(xiàn)。

它通常只是一個解決任務(wù)的問題，在你完成之后拋出一個問題，或者立即做另一個問題，僅限于解決問題的基本水平。每次我們提出問題時，都要注意思考和總結(jié)。特別是，如果你已經(jīng)完成了問題，你應(yīng)該掌握解決問題的方法，并將其與你當時的想法進行比較，查看你自己的想法或想法的問題，然后再做一次，看看是否有更好的想法和解決問題的方法，實現(xiàn)多種解題方法的貫通。

例3 已知a，b，c，d均為正數(shù)，求證：（ab+cd）·（ac+bd）≥4abcd。

問題解決策略分析：這個問題很容易讓學(xué)生使用基本的不平等證明，但在評論之后，我們引導(dǎo)學(xué)生觀察和反思，并發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)是“幾何平均值不大于算術(shù)平均值”。

即（ab+cd）·（ac+bd）≥4abcd。

解決方案后的反思指導(dǎo)學(xué)生反思可以通過以下方面來完成：（1）思考過程的得失。這些障礙是怎樣克服的？在解題策略上有何啟示？（2）思維問題解決模式。如果標題的條件和結(jié)論得到適當改變，問題將如何改變？有什么規(guī)律？解決這個問題是否還有更佳的方法？對于典型問題，學(xué)習(xí)分析問題并掌握一類問題。以不同的方式，提高解決問題的能力。靈活運用一些數(shù)學(xué)思維方法，這是一個戰(zhàn)略層面，在解決具體問題方面具有指導(dǎo)作用。不要用特定的方法來解決問題，還要運用相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想來統(tǒng)一思想，引導(dǎo)思維。

“知識”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是本質(zhì)。在不斷學(xué)習(xí)和反復(fù)使用知識、方法和思想的過程中，提取了理解數(shù)學(xué)和解決問題的基本思想。學(xué)生必須練習(xí)，自我探索和合作，并獲得特定問題解決活動的經(jīng)驗。提煉想法，形成自己的方法。