以多元函數最值問題，提升學生數學抽象素養

浙江省紹興市諸暨市學勉中學 樓旭慧

普通高中數學的六個核心素養，是指數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析。這些核心素養應貫穿于整個高中數學學習，尤其是對剛進入高中的高一學生而言。

函數是描述客觀世界中變量關系和規律的最為基本的數學工具，是貫穿高中數學課程的主線，用函數理解方程和不等式是數學的基本思想方法，在解決實際問題中發揮著重要作用。《普通高中數學課程標準》指出：“用函數理解方程和不等式是數學的基本思想方法，幫助學生用一元二次函數認識一元二次方程和一元二次不等式，理解函數、方程和不等式之間的聯系，體會數學的整體性。” 近年來，高考對函數的考查不再是簡單的知識疊加型，更側重于數學核心素養的綜合型試題。從歷年的各地高考和數學競賽來看，我們不難發現：對多元函數最值問題的考查趨勢逐年有所增加。這顯然是為了更好地考查學生的數學抽象和直觀想象等數學素養。

其中，數學抽象是數學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎，反映了數學的本質特征，獲得結論貫穿在數學的產生、發展、應用的過程中。在數學抽象核心素養的形成過程中，學生能更好地理解數學概念、方法和體系，理解和把握事物的數學本質，從而逐漸養成一般性思考問題的習慣，提高數據處理的能力，增強基于數學表達問題的意識。

本文以多元函數的最值問題為例，來談談數學抽象核心素養在多元函數最值問題教學中的體現，即體會函數思想在解決方程、不等式問題中的重要作用，幫助學生從函數的角度進一步認識方程和不等式，理解函數、方程和不等式之間的關系，提升數學核心素養。

一、數形結合，必要先行

本題旨在考查學生對函數與不等式聯系的理解，對恒成立問題的轉化；能力范疇旨在考查學生的數學抽象、直觀想象的能力。

本題條件簡潔，學生需要對題中所給的條件、數據進行恰當的分析，尋找突破口，探究本質，抽象出一般規律和結構，用數學符號或數學術語予以表征。

由于學生目前的數學抽象能力不強，因而在教學時，我引導學生：“若該題需要你求值f（2），你認為需要知道哪些條件？”學生能快速反應需要知道系數a，b，c三個量或其關系”。此時，學生頓悟本題的關鍵在于弄清a，b，c三者間的關系以及某元的取值范圍，將多元轉化為少元，直至單元。

由題中的恒成立條件著手，學生容易將其轉化為自己熟悉的最值問題，并通過數形結合、直觀想象，因而可得到：對任意實數x，不等式組恒成立，進一步可化簡得到不等關系：但到此處，學生又遇到阻礙，止步不前。歸其原因，變量過多、不等關系復雜，超出了高一學生的知識范疇。解決此類問題，應結合高一學生的實際學情，通過直觀感受，借助幾何直觀和想象來感知函數的形態和變化，利用圖形分析問題，建立形與數的聯系。直觀想象核心素養的形成過程中，學生能進一步發展提高數形結合的能力，感悟事物的本質，培養創新思維。因而教師應引導學生理解函數本質，數形結合，通過作圖來觀察函數f（x）圖象所在位置。不難畫出圖像，如下圖所示：

觀察函數圖像，直觀想象，借助兩函數的圖像位置關系，建立形與數的聯系，不難發現f（x）由于夾在兩函數之間，即圖像也夾在其之間，故必過它們的交點(1，1)，從而可得到關系式再代入剛才的兩個不等式，得到且有進一步代入可知故有解答完畢。

通過本題的學習，學生能體會多元函數最值問題的數學抽象過程，學會分析題中所給的數據，掌握條件的等價轉化，構建適當的數學模型，數形結合，進而解決問題。

結合學生學情，為鞏固和檢驗學生對該類多元最值問題的掌握，本人在課后設置了如下問題：

練習1：已知二次函數f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），滿足f（-1）=0，對于任意的x∈R，都有并且當x∈(0，2)時有求函數f（x）的解析式。

該練習與例題在解題思路上有相似之處，有了上一題的解答經驗，學生容易入手。結合例題，分析題中所給條件，類比方法，模仿解題，該練習能夠進一步提高學生數學抽象的能力，再次體會直觀想象、數形結合對研究函數問題的重要性。

二、代換消元，化繁為簡

由上一問題的啟發，本人對二次函數的多元最值問題進行深入探究。多元最值問題解決的另一常見方法，即是通過代換消元，化歸為單變元問題，化繁為簡，促進學生形成數學抽象、直觀想象的數學核心素養。

題中條件同樣簡單明了，類比上一問題，分析題中所給數據“對任意的x∈R，有恒成立”，由該恒成立條件入手，學生容易利用二次函數圖像，直觀感知，數形結合，從而可以初步得到a，b，c三者間的不等關系和所求式子但與上一例題不同之處在于，本題中得到的并沒有等式關系，而是不等關系，加上該式中仍有三個未知元，相較問題1有一定的難度，需要重新思考多變元問題的解決方法。但多變元問題的總體思想是一致的，即通過消元，達到少元直至單元解決問題。因此，本題中變元間只有不等關系，無等量關系，但不影響通過代換消元來處理a，b，c三者間的不等關系。在觀察中學生不難發現，相較而言，變元c會結構單一，容易轉換，于是有故可得原式此時，學生觀察式子結果容易想到等價換元，構造新關系，建立新的數學模型，便有了如下解答：令再利用勾勾函數與基本不等式知識，得到當且僅當時，即b=4a時，原式取到最小值3，最終解決問題。

該練習的設置，是為學生鞏固、提高對代換消元法來分析、處理二次函數多元最值問題。它與例題在數據的分析、處理上，所體現的數學思想和方法以及所要求的核心素養基本一致。故在此不再作具體展開。

三、主次變元，逐一解決

除以上常見的代換消元法來解決二次函數中多元最值問題以外，還有一類在多元問題中也時常遇到。如：

具體分析本題所給的數據，與前面兩個問題比較，可以看到本題中有x，a，b三個變元，且相互之間似乎又找不到直接的聯系。這樣，就很難再用上述代換消元的方法解決問題。學生在解這類題時遇到的主要困難在于題目中不僅有多變元，且題中的存在、恒成立條件對每個變元都有要求，如若同時考慮三個變元，就會舉步維艱。既然三個變元無法同時解決，就拆分逐一處理，故必須引導學生將三個變元進行拆開，分別當作問題的主元，其余先當作次元或常數來處理，再將存在、恒成立問題轉化為最值問題，求出其對應的最值。可先將變元x看作問題的主元，即先考慮條件“存在實數使得不等式此時得到的成立”，學生比較容易將問題轉化為是關于a，b的二元函數，再依次類比，分別再把a，b看作主元，轉化為其最小值大于等于m的問題，從而解決問題。

學生解答本題時，容易利用換元將其轉化為二次函數的絕對值最值問題，即則原命題等價于再記則原命題等價于再記從而原命題等價于

①當a=0時，

② 當a＜0時，此時

本題原本條件簡潔，但結構復雜，學生較難入手。處理題中數據，將問題中的多元進行主次轉換，逐一拆分，把問題轉化成幾個小的、同時又是學生掌握得較好的最值問題，再一一去解決，就會容易得多。此后的二次函數最值問題，則可結合函數圖像，直觀想象，恰當地分類討論，數形結合便可解得

多元函數的最值問題有很多解決方法。函數問題的分析和解決，能使學生體會到數形結合、直觀想象的重要作用，進一步提高對數據的分析、處理能力，培養學生的數學思維。不同問題的類比辨析，尋找共同之處，探究方法，學生的學習能力和核心素養都有所提高，這便是學習數學的意義和價值所在。