職前與在職小學數學教師HCK的比較研究

龐雅麗

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職前與在職小學數學教師HCK的比較研究

龐雅麗1，2

（1．上海師范大學 教育學院，上海 200234；2．Texas A & M University 教育學院，美國 德克薩斯州）

從知識的起源、知識的橫向聯系、知識的縱向聯系、知識的本質4個維度考查職前與在職小學數學教師的HCK（橫縱向內容知識）這類學科知識的掌握情況．研究發現，被試的HCK不夠豐富；不同教齡的教師的HCK水平無顯著差異；修過小學數學知識理論類課程的職前教師的HCK水平顯著高于10年內教齡的在職教師．基于研究結果，對職前和在職小學數學教師教育提出一些建議．

MKT；HCK；小學數學教師

1 問題提出

從20世紀80年代起，不斷有研究表明，數學教師的知識和技能影響著教師的備課、反思、評價等課外教學實踐以及課堂上的師生互動，進而影響到學生的數學學習過程及其學習結果[1-5]．同時，數學教師的知識還影響著數學教育改革的實施情況，如何促進數學教師知識的發展成為一項富有挑戰性的任務[6-7]．有中美比較研究表明，中國中小學數學教師具有較強的學科內容知識，其學科教學知識的提高主要得益于教學與在職專業發展[8-9]．

然而，隨著研究方法的更新和研究的更精致化，研究者們逐漸發現，中國數學教師的學科知識并不如想象中的樂觀，存在數學知識系統不夠完善、對數學知識的本質不夠清楚、在一些概念表征和數學思維的認識上存在偏差等問題[10-12]．那么，在當前師范教育改革的形勢下，數學教學所需要的學科知識是否可以通過職前教育獲得？在研究如何提高在職數學教師知識的同時，研究者們也日益關注職前數學教師的知識儲備．近年來，關于職前教師應該具備怎樣的學科知識以便為入職做準備也逐漸成為教師教育工作者討論的焦點[13-16]．

在關于“數學教師需要怎樣的數學知識”的研究中，美國密西根大學的Ball研究團隊提出的MKT（Mathematical Knowledge for Teaching）模型獲得了較為廣泛的關注[17]．中國亦有研究者采用這一框架對數學教師知識進行探索和研究[18-22]．但已有研究中，絕大部分關注的是初中或高中數學教學所需的數學知識，對小學數學的研究較為缺乏．實際上，Ball研究團隊提出MKT模型的初衷正是為了理清小學數學教學所需要的數學知識，這一模型對MKT的兩大子成分SMK（學科內容知識）和PCK（學科教學知識）進行了更為細致的刻畫，其中，將SMK細化為CCK（一般內容知識）、SCK（專門內容知識）、HCK（橫縱向內容知識）．

教師首先要懂得要教給學生的知識（CCK），這毋庸置疑．Ball團隊指出，數學教學需要的學科知識還有兩大特點，拆解性和聯系性[23]．數學的重要特點之一是它能夠將信息壓縮成抽象的形式，以抽象的符號形式表征概念，也正是由于這種壓縮和抽象帶來的簡化性，才有可能對概念進行進一步的操作．然而，教師需要能夠將數學知識進行拆解，即，要知其所以然，這正是SCK的范疇．聯系性是指，教師不僅要建立數學不同分支不同內容間的橫向聯系，而且要建立同一主題在不同階段的縱向聯系，了解隨著時間的推移數學是如何發生發展變化的．這屬于HCK的范疇．

較為遺憾的是，Ball團隊后來進行的實證研究中并沒有涉及HCK．事實上，縱覽近年來關于小學數學教師學科知識的研究，大多關注的也是CCK和SCK．那么，一個自然的問題就是，在職與職前小學數學教師對HCK這類學科知識的掌握情況是怎樣的？這類學科知識會隨著教學經驗的豐富而增長么？這類學科知識有可能通過職前教育獲得么？因此，具體研究問題如下：

（1）在職小學數學教師的HCK水平如何？不同教齡教師的HCK水平是否存在差異？

（2）職前小學數學教師的HCK水平如何？哪些方面有待提高？

（3）職前與在職小學數學教師的HCK水平是否存在差異？

2 研究設計與方法

采用測試調查的方法，測試卷的編制借鑒了Ball研究團隊深入一線的方法．研究者利用兩年來數十次到上海多所小學聽課、評課、參與教學設計等機會，收集了小學數學教師在學科知識方面犯的錯誤、模糊的認識、存在的疑問，從中提取了屬于HCK范疇的學科知識問題，編制了“小學數學教師HCK測試卷”，共17題．基于HCK的內涵，將其細化為知識的起源、知識的橫向聯系、知識的縱向聯系、知識的本質4個子維度．測試題在各子維度的分布見表1．

在測試題編制過程中，考慮到就小學階段的數學學科內容知識而言，HCK難于CCK和SCK，若采用開放式主觀測試題，在職被試可能存在抗拒作答的心理，從而導致回收到大量無效數據，故研究全部采用客觀題對被試進行測試．研究者與另兩位數學教育工作者就各題目所考察的知識點和所屬類別先獨立編碼，后集中商討，最終一致性達到100%．

表1 測試卷在HCK各子類別的題目分布

研究者選取上海某高校小學教育專業理科班2013級與2014級共122名師范生作為職前教師的樣本，隨機選取上海J區和F區小學數學教師共98名作為在職教師的樣本，其中J區位于上海市區，F區位于上海郊區，J區的教學質量和師資水平均高于F區．在測試前，職前被試已修過高等數學類課程和一般教育類課程，2013級修過一門小學數學知識理論類課程《小學數學研究》，2014級則未修過這門課，此外職前被試沒有修過任何其它的數學教育類課程．測試于2016年春季學期初完成，收回有效答卷220份，回收率100%．

3 研究結果與討論

3.1 在職小學數學教師的HCK測試結果

3.1.1 在職小學數學教師的HCK整體測試結果

在職教師的HCK測試結果見表2．各子維度及總的平均得分率均不超過60%，表現尚可的是H4（知識的本質），表現最弱的是H3（知識的縱向聯系）．

表2 在職教師在HCK測試中的得分情況

進一步考查H3維度的測試題，其涉及的知識主要是在數概念發展的不同階段，其命數法和記數法、運算法則、運算的封閉性、運算的互逆性是如何發展變化的．其中第6題和第9題的正確率均不足30%．數與運算是小學數學最基本、所占比例最大的內容，教師需要了解數集擴充的歷史順序和邏輯順序，才能對小學數學中涉及到的自然數、整數、分數、小數的起源、數概念的發展、不同數集中運算的不斷發展變化有更豐富的認識．顯然，在職被試在這方面的知識儲備還不足以高屋建瓴地看待小學數學中的數與運算，從而更好地組織教學，指導學生的學習．

3.1.2 不同教齡的教師HCK水平的差異性

將在職被試按照教齡分為兩組，教齡不足10年的為組1，教齡滿10年及以上的為組2，兩組在職教師在HCK各維度的表現見表3．組2的整體HCK水平高于組1，尤其表現在H1（知識的起源）和H2（知識的橫向聯系）兩個子維度上．而在H3維度，組2反而低于組1．

表3 不同教齡的教師在HCK測試中的平均得分情況

對兩個教齡組別的被試的平均得分進行單因素方差分析，結果見表4和表5．

表4 不同教齡組別教師測試成績的方差齊性檢驗結果

Levene’s Test for Equality of Variance的各顯著性值均大于0.05，說明各組數據的方差是齊性的．組1的HCK測試成績（=8.85，=1.76）與組2（=9.37，=1.77）之間無統計意義上的顯著差異（=2.143，=0.146 > 0.05）．但就各子維度而言，組2的H1和H2得分均顯著高于組1（H1:=4.341，=0.04 < 0.05；H2:=4.323，=0.04 < 0.05），在H3和H4維度上兩者無統計意義上的顯著差異．

表5 不同教齡教師的測試均值成績的ANOVA結果

隨著教齡的增長，教學經驗日益豐富，教師可能會更加關注“知識的起源”和“知識間的橫向聯系”，以便更合理地進行教學設計，這兩個維度上的知識會有較明顯的增長．但教齡增長并不會導致教師獲得更多的“知識的縱向聯系”，從研究結果看，甚至出現了教齡越長，這類知識越弱的情形．這一方面可能是由于10年以上教齡的教師大多是中師畢業，即便后來進修本科，但在學科知識的儲備上較為不足；另一方面也說明這類學科知識很難通過在職教學經歷自然獲得．教齡對教師關于“知識的本質”的認識，則基本沒有影響．從整體上來看，隨著教齡的增長，教師的HCK整體水平會有所提高，但并不顯著．

3.2 職前小學數學教師的HCK測試結果

職前教師的HCK測試結果見表6．平均得分率最高的是H1維度（知識的起源），其余子維度及總的平均得分率均不超過60%，其中得分最低的是H2（知識的橫向聯系）．

表6 職前教師在HCK測試中的得分情況

進一步考查H2維度的測試題，其涉及的知識主要有自然數與集合之間、不同運算之間、不同幾何體的度量之間的聯系．其中，第4題的正確率僅為12%，將近九成的職前被試認為“乘法是加法的簡便運算”，而忽略了這僅僅在自然數范圍內成立．H2維度的低得分率表明，職前被試頭腦中的數學知識之間的橫向聯系是非常薄弱的、片面的、亟待提高的．

3.3 職前與在職小學數學教師HCK水平的差異性

對職前和在職被試的HCK測試平均成績進行獨立樣本檢驗，表7顯示，兩組數據無顯著差異．

考慮到職前被試分別來自2013級與2014級，在測試之前，2014級尚未修過任何數學教育類的課程，而2013級則已修過一門．對2013級職前被試和教齡在10年以內的在職被試進行獨立樣本檢驗，表8的輸出結果顯示，2013級職前被試的HCK平均分（=9.50，=1.75）顯著高于10年內教齡的在職教師（=8.83，=1.75）（=-2.043，=0.043 < 0.05），尤其表現在H1（2013級：=3.45；10年內教齡教師：=2.6）和H3（2013級：=2.19；10年內教齡教師：=1.91）兩個子維度．在其余兩個子維度，職前2013級被試略低于10年內教齡在職被試．

表7 職前與在職教師HCK平均成績的獨立樣本t檢驗結果

表8 職前2013級與在職10年內教師測試成績的獨立樣本t檢驗結果

2013級職前被試在“知識的起源”和“知識的縱向聯系”兩個維度上的較好表現，可能與所修過的一門小學數學知識理論類課程《小學數學研究》有關．該課程系統地講述了小學數學中涉及的主要的數學概念、數學法則、數學公式等的來龍去脈．在一名教師從教的前10年是其職業生涯中的重要成長期，HCK的缺失會影響教師對數學的整體把握，進而影響教師的數學教學以至其專業發展．而研究表明，這類學科知識是有可能通過職前教育獲得的．

4 研究結論及啟示

4.1 職前與在職小學數學教師的HCK均不夠豐富

職前教師對數學概念的起源有較清晰的認識，但對知識間的橫向聯系的理解極為欠缺．在職教師能較好地理解數學概念的本質，但對知識的縱向聯系的認識比較欠缺．

因此，在職前小學教師教育課程中，應注重數學知識間的橫向聯系，將看似孤立的知識點聯結成一張彼此關聯的知識網，提高職前教師的學科素養．在職培訓則需加強數學知識間的縱向聯系，特別是某些重要概念的起源、發生、發展及變化，了解一定的數學史可幫助提升教師這方面的學科知識．有研究者曾以中學階段無理數為例，研究了數學史對提升HCK的作用[24]．開展基于數學史提升小學數學教師的HCK類學科知識的行動研究將非常有意義．

4.2 不同教齡教師的整體HCK水平沒有顯著差異

10年以內教齡的教師與10年以上教齡的教師在整體HCK水平上沒有統計意義上的顯著差異．但具體到各子維度，研究發現，隨著教齡增長，教師關于知識的起源和知識間的橫向聯系這兩類學科知識會有顯著增長，但對知識間的縱向聯系的理解反而呈下降態勢．這一結果再次佐證了在職培訓中需加強知識間的縱向聯系的必要性．

隨著教齡增長，教師的教學經驗日益豐富，有研究表明，對教學實踐的反思可提升教師的PCK[25]，但其SMK未必會隨著教學實踐而自然增長．研究顯示，教師的HCK中的某些子成分（知識的本質、知識間的縱向聯系）并不會隨著教齡的增長而自然增長，因此，在職培訓應避免一把抓，而應聚焦教師的薄弱環節，設計相應的培訓方案，有針對性地提升教師的HCK．

4.3 修過小學數學知識理論類課程的職前教師HCK水平顯著高于10年內教齡的教師

職前被試與在職被試的HCK水平無顯著差異．但當考查修過小學數學知識理論類課程《小學數學研究》的2013級被試這一群體時，研究發現，這些職前教師的HCK水平顯著高于10年內教齡的在職教師．在職教師或許從在職培訓中也可零星獲得一些小學數學理論知識，但缺乏系統性，效果并不佳．

這從一定程度上表明，HCK可以通過職前獲得，從而為師范生入職后的專業發展提供深厚的學科基礎．有學者提出，基于MKT視角，構建小學教育專業面向HCK的課程《小學數學研究》和《數學史》[26]，這里的研究為這一設想實施的可行性提供了證據．如何更好地將提升HCK水平與現有職前數學教育類課程進行整合，是值得數學教師教育工作者當下思考的問題．

致謝：感謝美國Texas A&M University李業平教授對本文寫作的指導．

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Comparative Study of Horizon Content Knowledge between Pre-Service and In-Service Elementary Mathematics Teachers

PANG Ya-li1, 2

(1. Shanghai Normal University College of Education, Shanghai 200234, China; 2. Texas A & M University College of Education, Texas, U. S. A.)

Horizon content knowledge (HCK) of pre-service and in-service elementary mathematics teachers was investigated according to four dimensions as follows: the origin of knowledge, the horizontal connection of knowledge, the longitudinal connection of knowledge, and the essence of knowledge. The findings suggested that participants’ HCK was not rich enough. There was no significant difference in HCK among teachers of different teaching ages. The HCK level of pre-service teachers who had learned elementary mathematics theory course was significantly higher than that of in-service teachers who had been teaching for no more than ten years. Some suggestions about pre-service and in-service elementary mathematics teacher education were provided based on this study.

MKT; HCK; elementary mathematics teachers

[責任編校：周學智]

2017–11–01

上海市高校青年教師培養資助計劃項目——職前小學數學教師MKT的發展研究（B913113001017）

龐雅麗（1980—），女，山西孝義人，講師，博士，主要從事小學數學教與學、數學教師教育研究．

G622

A

1004–9894（2018）01–0058–04

龐雅麗．職前與在職小學數學教師HCK的比較研究[J]．數學教育學報，2018，27（1）：58-61．