基于對立與統一的知識建構 培養學生運算核心素養
——以“同底數冪的乘法（第2課時）”課堂教學為例

☉浙江寧波濱海國際合作學校 范志文

運算是數學的重要內容，在義務教育階段數學課程的各個學段中，運算都占很大比重.運算能力不僅是一種數學的操作能力，更是一種數學思維能力.《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：培養運算能力有助于理解運算的算理，尋求合理、簡潔的運算途徑解決問題；運算能力的形成不是一蹴而就的，而是從簡單到復雜、從具體到抽象，有層次地發展起來的.因此，在實際教學過程中，既不能讓學生的運算能力在已有水平上停滯不前，也不能超越知識內容和其他能力水平孤立地發展運算能力，應該貫穿于師生共同參與數學教學活動的全過程中，在知識的生成建構中潛移默化地培養學生的運算素養.

一、從已知到未知，激發學生學習數學運算的興趣

學生原本就對客觀世界有濃厚的好奇心，數學教學應該努力把學生的這種好奇心引導到探索事物的數量關系上來，把這種好奇心轉化為學習數學的興趣.為此，恰當的情景創設和啟發式教學，帶領學生解決某些帶有挑戰性的問題，讓學生經歷數學運算從已知的法則推導未知的運算建構過程，讓學生看到數學內在本質和自身的魅力，能夠有效激發學生學習新知的興趣和欲望.

以浙教版義務教育教科書七年級下冊第三章第一節“同底數冪的乘法（第2課時）”為例.第一步設計為創設情境、導入新課：

師：（多媒體展示學校大型活動紀念品——卡片式U盤）在生活中大家都用到過U盤，你們知道嗎？U盤的計量單位是GB、MB、KB和B，1KB=210B，1MB=210KB，1GB=210MB.

師：請思考后解決下列問題.

1.你知道1MB等于多少B嗎？

學生獨立思考后回答：1MB＝210×210B=220B.

師生共同復習同底數冪的乘法法則：同底數冪相乘，底數不變，指數相加.

師：210×210可以寫成乘方的形式嗎？

生：可以寫成（210）2.

師：寫成乘方的形式，數學運算形式變得更加簡潔了.下面這個問題請你們用乘方的形式列式，并嘗試運算.

2.你知道1GB等于多少B嗎？

學生經過思考后得到：1GB＝（210）3B=210×210×210B=230B.

師：通過上面兩個問題你有什么發現嗎？如何驗證你的發現？帶著這些問題，這節課我們共同研究“冪的乘方”.（板書課題）

簡析：設計從實際問題引入冪的乘方運算，讓學生了解數學與現實世界的聯系，學生在探索這個問題的過程中，體會到用已知的冪的乘法法則解決問題還不夠簡潔，自然體會到學習未知的冪的乘方運算的必要性，同時有效激發學生的學習興趣.

二、從特殊到一般，發展學生數學運算的邏輯思維

數學運算能力的發展，首先要保證運算的正確，為此要正確理解相關的概念、法則、公式和定理等數學知識，明確意識到實施運算的依據.通過數學運算法則推導過程中一般性和特殊性的相互比較，不斷優化，讓學生感悟到數學運算不僅要正確，而且要靈活、合理、簡潔，發展學生數學運算的邏輯思維能力.

在“同底數冪的乘法（第2課時）”的教學中，第二步設計為探究新知、合作交流：

做一做：計算下列各式，并說明理由.

引導學生探索冪的乘方的法則的歸納過程，交流各自的想法，讓學生充分表達自己的想法和運算過程及運算結果.

師生共同歸納為：

（1）（a3）5=a3·a3·a3·a3·a3（根據乘方的意義）＝（根據同底數冪相乘法則）＝a15=a3×5.

并總結冪的乘方法則：

（am）n=amn（m、n都是正整數）.

冪的乘方，底數不變，指數相乘.

簡析：做一做的目的，是讓學生通過對特殊到一般的計算、觀察、猜想、驗證，歸納冪的乘方的運算法則，并運用乘方的意義加以說明.在此過程中，學生進一步體會了冪的乘方的意義，發展了歸納、符號演算等推理能力和有條理的表達能力.推導法則時，顯示理由，讓學生感受數學的嚴謹，發展學生的邏輯思維能力.同時探索的方式從特殊到一般，符合學生的認知規律，利于總結和掌握冪的乘方的法則，這也是本節課的重點.

三、從實踐到理論，發展學生數學運算的辨析思維

學習和掌握“冪的乘方”的運算，在反復排練、相互交流的過程中，不僅會逐步形成運算技能，還會引發對“怎樣算”“怎樣算好”“為什么要這樣算”等一系列問題的思考.這是由實踐到算理的辨析，使運算從操作的層面提升到思維的層面，這是運算能力發展的重要內容.在“同底數冪的乘法（第2課時）”的教學中，第三步設計為應用法則、辨析算理：

1.答一答：計算下列各式，結果用冪的形式表示.

對比冪的乘方法則和同底數冪的乘法法則.

2.例題講解：

計算下列各式，結果用冪的形式表示.

3.改一改：下面的計算對嗎？如果不對，應怎樣改正？

4.測一測：課內檢測（P63課內練習3）.

簡析：學生剛剛接觸新的運算法則時，往往會感到十分生疏，或者說對它的感覺仍舊停留在“霧里看花”的狀態，怎樣撥開迷霧見真相？這需要一個過程，也就是對新知識從熟悉到熟練的過程，要達到這個目的，一定要精選基本習題，所以在處理例題與隨堂練習時，一定要由淺入深，層次分明，無論是基本的習題，還是變化的習題，都要以理解透徹、運用自如為最終目標.讓學生既有成功的體驗，又有挑戰自我的欲望.故在這里設計了答一答、講一講、改一改、測一測四個環節.通過豐富的教學內容和活動，在逐步熟悉的基礎上，不斷感悟算理，提升在運算中運用法則、優化方法的辨析能力.

四、從正向到逆向，發展學生數學運算的推理思維

數學運算也是一種推理，在實施運算分析和解決問題的過程中，“由因導果”和“執果索因”的推理模式也是經常要用到的，表現為有效探索運算的條件與結論，已知與未知的相互聯系及相互轉化，思維方向是互逆的，更是相輔相成的.

在“同底數冪的乘法（第2課時）”的教學中，第四步設計為鞏固運用、拓展提升：

1.試一試：一組應用.

（2）若a3n=3，求a9n的值.

（3）若am=2，an=5，求a3m+2n的值.

簡析：課本上的知識都是獨立的，互相關聯的內容和習題較少，而學習的目的不應是單獨的模仿，根據多個知識交叉和綜合點所涉及的問題處理也是在學習過程中應該逐漸摸索并掌握的，經歷探索實際上對所學的單獨的知識又是一個提升的過程.同時，由于思維定式的消極作用，逆向思維難度較大，在實施運算的過程中，在分析運算條件、探究運算方向、設計運算程序等各個環節引導學生進行周密的思考，發展學生的推理能力，這是數學運算思維達到一個新的高度的重要標志，是運算能力的培養與發展的高級階段.

2.回顧小結，談一談這節課你有哪些收獲和困惑.

簡析：開放式小結并不只是課堂知識點的回顧，主要是由學生進行總結和互相補充，突出學生的主體地位，培養學生的歸納概括能力.

五、寫在最后

發展“學生核心素養”理念的提出，標志著課程教學正從“三維目標”的教學逐步轉向“素養為本”的教學，“同底數冪的乘法（第2課時）”的教學案例源于筆者在“基于學科核心素養”教研活動中的一節區級示范課，雖然這節課得到參會教師的一致好評，然而由于筆者水平有限，該案例設計是否合理，觀點是否科學，或還可以怎樣改進，都值得進一步探討，希望各位老師多提寶貴意見.

1.中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2012.