基于過程教育的“銳角三角函數（第1課時）”課例及說明

☉浙江省寧波市江北區實驗中學 楊紅芬

一、背景介紹

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標》）根據數學具有過程和結果的雙重性特征，倡導統籌兼顧過程與結果.但以浙教版《數學》九年級下冊1.1節“銳角三角函數（第1課時）”為載體的“多人同課異構式”的研修活動發現，課堂教學普遍存在過程教育不到位的問題，主要表現在：有些教師沒有按歸納方式定義的概念來針對性地設計教學，有些教師的教學沒有側重點——有對幾個概念平均使力的現象，大多數教師在用概念解決問題的教學中缺乏變式與拓展，導致沒有全面發揮涉及內容的育人功能.鑒于此，筆者在重復式觀課與反思基礎上，對該課的教學進行了重建與實踐，改進后的課例得到了專家的認可.現整理成文，與讀者交流分享.

二、教學實錄

環節1：經歷回顧舊知并提出問題的過程——明確研究問題

師：我們知道，直角三角形有三邊之間的關系（勾股定理）和兩個銳角之間的關系（兩銳角互余）.我們也知道，含有30°、45°、60°的直角三角形有邊之間的關系.例如，30°所對的直角邊等于斜邊的一半.現在請大家解決下列問題.

問題1：如圖1，在△ABC中，已知∠A=30°，AB=4，∠C=90°.問：BC=？AC=？

圖1

師：你是怎樣計算的？

生1：先用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出BC，再用勾股定理求出AC.

師：好的.若∠A=45°呢？∠A=60°呢？

師：好的.若∠A=30°，BC=1呢？

師：這說明，在Rt△ABC中，當∠A=30°或45°或60°時，已知一邊能求出其他兩邊.

問題2：如圖2，若一根4m長的竹竿AB斜靠在墻上，則竹竿的傾斜程度可用竹竿與地平面所成角的度數來刻畫.如果端點B離地面的高度BC長為1m，除測量外，怎樣求角α的度數？

圖2

師：看來還無法解決這個問題.本節課我們就來研究解決這樣問題的方法.（揭示課題）

環節2：參與定義銳角三角函數的活動——形成銳角三角函數概念

師：現在請大家計算并思考下列各題.

（1）如圖3，∠A=30°，BC⊥AC于點C.若AB=3，則=？若AB=2呢？由此，你發現了什么？

（2）如圖4，∠A=45°，BC⊥AC于點C.若AB=3，則=？若AB=2呢？由此，你發現了什么？

圖3

圖4

圖5

（3）如圖5，∠A=60°，BC⊥AC于點C.若AB=3，則=？若AB=2呢？由此，你發現了什么？

（約3分鐘后）

師：誰來回答第（1）小題？

師：好的.一般地，如圖6，當∠A=α時，B1是AB上的任意一點，則嗎？

圖6

11成比例.

師：好的.你用相似三角形性質來說明.這樣，如圖6，對于每一個確定的銳角α，在角的一邊上任取一點B，作BC⊥AC于點C，比值都是一個確定的值.

師：好的.為以后研究和敘述方便的需要，我們給這樣的函數一個名稱：如圖6，我們把比值叫作∠α的正弦（sine），記作sinα，即sinα=例如，當∠α=30°時，有sinα=sin30°=；當∠α=45°時，有sinα=sin45

師：這里sinα，cosα，tanα都是一個完整的符號，單獨的“sin”沒有意義.其中α前面的“∠”一般省略不寫.銳角α的正弦、余弦和正切統稱α的三角函數.

師：如圖7，若∠A是Rt△ABC的一個銳角，則sinA，cosA，tanA分別是什么？

圖7

師：好的.根據圖7，能說說sinα，cosα的取值范圍嗎？

生10：因為直角三角形的邊長都是正數，所以sinα＞0，cosα＞0.又因為直角三角形的直角邊長小于斜邊長，所以sinα＜1，cosα＜1.從而0＜sinα＜1，0＜cosα＜1.

師：有道理.tanα的取值范圍是什么？

生11：由圖7可知，tanα＞0.

師：不錯.銳角三角函數的概念揭示了直角三角形中的邊角關系，運用它能解決與直角三角形有關的度量問題.

環節3：參與嘗試概念應用的活動——合作解決有代表性問題

師：現在請大家解決下列問題.問題3：如圖8，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3. 問：∠A的正弦值、余弦值和正切值分別是什么？

生12：因為AB=5，BC=3，所以根據勾股定理，得AC=所以sinA=

圖8

師：不錯.∠B的正弦值、余弦值和正切值分別是什么？

師：好的.由此，大家發現了什么？

生14：sinA=cosB，cosA=sinB，tanA×tanB=1.

生15：（sinA）2+（cosA）2=1.

師：太有才了！大家課后可以繼續探索，這些關系是成立的.

師：如圖8，在Rt△ABC中，∠C=90°.若sinA=能求

師：這種設法體現了化歸思想，以后會經常用到.如圖8，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，tanA=能求BC和AC嗎？

師：你的解法也體現了化歸思想.大家通過解答上述問題，獲得了哪些經驗？

生18：解題后要繼續提出新問題.

生19：解題后要善于觀察、猜想.

生20：已知比值，可用“設k法”，將未知的邊轉化為“已知”.

師：不錯.解題后的反思，能加深對給定問題的認識和積累解題經驗.

（接下來，要求學生完成課本中的練習題，并待學生完成任務后進行交互反饋與評價）

環節4：參與回顧與思考的活動——合作進行反思與總結

師：本節課研究了哪些內容？

生21：本節課研究了銳角三角函數概念及其應用.

師：獲得銳角的正弦經歷了哪幾個步驟？

生22：計算比值→歸納概括→定義表示.

師：好的.“操作觀察、歸納概括、定義表示”是概念學習的基本經驗.

師：求特殊角的三角函數值有何經驗？

生23：由于“比值”與動點的位置無關，所以求“比值”可用取特殊值的方法.

師：這是有價值的經驗，請大家課后依據此經驗求sin60°、cos60°和tan60°.

師：大家認為對于銳角三角函數還可以繼續研究什么？

生24：像研究一次函數一樣，還可以研究銳角三角函數的圖像、性質及其應用.

師：有道理.銳角三角函數的圖像與性質，以及生25所說的這些函數待高中階段研究，初中階段只研究銳角的正弦、余弦和正切的概念，旨在解決與直角三角形有關的度量問題.

生26：怎樣解決問題2？

三、教學說明

過程教育是指旨在促進學生全面、和諧發展的需要，關注數學結果形成、應用的過程和獲得數學結果（或解決問題）之后反思過程的育人活動.它不是偏面強調過程，而是根據數學結果的地位與作用，以及獲得數學結果（或解決問題）的過程和所蘊含的數學思想方法的價值確定過程與結果的平衡點.其基本要求是：教學內容全面，認知過程完整，教學方法和諧.［1］

“銳角三角函數（第1課時）”的教學內容不僅包括銳角三角函數概念，也包括銳角三角函數概念的形成、應用的過程和所蘊含的數學思想、數學活動經驗.銳角三角函數的教學性質是概念教學，由于該概念比較抽象，并且概念的形成過程有較大的教育價值，所以該概念宜采用歸納的方式定義.銳角三角函數是認識直角三角形的繼續，也是認識函數的繼續，它是進一步學習三角函數的基礎，是解決與直角三角形有關的度量問題的重要工具；其具體到抽象和特殊到一般的研究方法在教學實踐中具有普適性.實踐告訴我們，定義銳角三角函數的過程和蘊含的變化與對應思想、歸納思想、演繹思想、符號表示思想、類比思想等，用銳角三角函數解決簡單問題的過程和蘊含的數形結合思想、化歸思想等，這些對發展學生的智力、能力和個性有積極的作用.《課標》中課程內容對該課提出的教學要求是“利用相似的直角三角形，探索并認識銳角三角函數（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函數值，能用銳角三角函數解直角三角形”.在教師適度引導下，學生求30°，45°，60°角的三角函數值和用銳角三角函數解直角三角形的難度不大，但探索并認識銳角三角函數對學生來說有一定的難度.

本課例根據銳角三角函數的教學性質及其地位與作用和所蘊含的教育價值，用“歸納”的方式定義銳角的正弦，用類比的方式給出銳角的余弦和正切，針對性地設計了“提出問題→定義銳角的正弦（操作觀察→歸納概括→表達概念）→用類比的方法定義銳角的余弦和正切→解釋直角三角形中的邊角關系→解決問題→反思內化”的教學過程，并把教學的側重點放在定義銳角的正弦和“解決問題”上，以突出銳角的正弦，感悟研究的過程和所蘊含的數學思想、積累解決直角三角形中邊角關系問題的經驗.教學采用了“以教材提供的題材為載體，從學生已有的知識與經驗出發，運用教師價值引導與學生自主建構相結合的適度開放的方式，引導學生經歷完整的認知過程”的方法，以“激發學生的學習興趣”“引發學生積極思考”“培養學生良好的數學學習習慣”“使學生掌握恰當的數學學習方法”.［2］

浙江省數學特級教師鄔云德老師認為，該課例遵循了概念（用歸納形式定義的概念）教學的基本規范，體現了過程教育和以學為中心的思想，可以實現“能結合圖形陳述銳角三角函數概念，會用符號表示銳角三角函數，能知道銳角三角函數值的取值范圍，能感悟銳角三角函數概念的形成過程和所蘊含的抽象思想、變化與對應思想、歸納思想、類比思想等；會用銳角三角函數定義求銳角三角函數值”的教學目標，它對發展學生數學核心素養和幫助教師理解與實踐基于過程教育的概念（用歸納形式定義的概念）教學方法有積極的影響.

1.鄔云德.旨在統籌兼顧過程與結果的過程教育理論［J］.中學數學（下），2017（11）.

2.史寧中.義務教育課程標準（2011年版）教師學習指導（初中數學）［M］.北京：北京科海電子出版社，2011.H