過(guò)程教育
——以“平行線的判定（第1課時(shí)）”為例

☉浙江省寧波市北侖區(qū)東海實(shí)驗(yàn)學(xué)校 虞朝霞

一、背景介紹

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》）根據(jù)數(shù)學(xué)具有過(guò)程和結(jié)果的雙重性特征，倡導(dǎo)統(tǒng)籌兼顧過(guò)程與結(jié)果.但在以浙教版《數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)1.3節(jié)“平行線的判定（第1課時(shí)）”為載體的“多人同課異構(gòu)式”的研修活動(dòng)發(fā)現(xiàn)，課堂教學(xué)普遍存在過(guò)程教育不到位的問(wèn)題，主要表現(xiàn)在：獲得“基本事實(shí)”的認(rèn)知過(guò)程短暫和獲得“基本事實(shí)”之后的圖形變換過(guò)程缺失，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)三角尺在畫圖過(guò)程中的作用的認(rèn)識(shí)不夠充分，對(duì)“基本事實(shí)”的理解沒(méi)有達(dá)到一定的“深度”；用判定平行線的方法判定兩條直線平行的分析過(guò)程缺失，也沒(méi)有提供學(xué)生交流多樣化說(shuō)理方法的機(jī)會(huì)，導(dǎo)致沒(méi)有充分發(fā)揮例題的潛在功能.鑒于此，筆者在重復(fù)式觀課與反思基礎(chǔ)上，按過(guò)程教育思想對(duì)該課的教學(xué)進(jìn)行重建與實(shí)踐，改進(jìn)后的課例得到了專家的認(rèn)可.現(xiàn)整理成文，與讀者交流分享.

二、教學(xué)實(shí)錄

環(huán)節(jié)1：經(jīng)歷回顧舊知并提出問(wèn)題的過(guò)程——明確研究問(wèn)題

師：請(qǐng)同學(xué)們回顧一下平行線的概念.

生1：在同一個(gè)平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫作平行線.

師：由于直線無(wú)限延伸，檢驗(yàn)它們是否相交有困難，所以難以直接根據(jù)平行線的概念來(lái)判斷兩條直線是否平行.有沒(méi)有其他判定平行線的方法？本節(jié)課我們就來(lái)探索平行線的判定方法.（揭示課題）

環(huán)節(jié)2：探索平行線的判定方法——同位角相等，兩直線平行

師：請(qǐng)大家依次完成下列任務(wù).（允許小組合作）

（1）畫圖：用三角尺和直尺在白紙上畫兩條平行線.

（2）思考：用數(shù)學(xué)的眼光看畫平行線的過(guò)程，三角尺起到了什么樣的作用？

（教師等待學(xué)生完成任務(wù)）

師：我發(fā)現(xiàn)大家的畫圖方法可以抽象成如圖1、圖2、圖3、圖4所示的四種類型.

圖3

圖4

師：用數(shù)學(xué)的眼光看畫平行線的過(guò)程，三角尺起到了什么樣的作用？

生2：三角尺的作用是使“角”在沿直尺所在的直線定向移動(dòng)過(guò)程中保持相等.

生3：三角尺的作用是保持同位角相等.

師：不錯(cuò).由此你發(fā)現(xiàn)可用什么方法來(lái)判定兩條直線平行？

生4：可用同位角相等來(lái)判定兩條直線平行.

師：好的.這是經(jīng)驗(yàn)的結(jié)果.如圖5，若∠1=∠2，則直線l1∥l2嗎？

圖5

圖6

生4：可以猜想：若∠1=∠2，則直線l1∥l2.

師：一般地，可以形成怎樣的猜想？

生4：兩條直線l1，l2被第三條直線AB所截，若同位角相等，則直線l1∥l2.

師：以后可以證明你的猜想是正確的.這樣判定兩條直線平行有下面的方法：

兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.簡(jiǎn)單地說(shuō)，同位角相等，兩直線平行.即如圖5，若∠1=∠2，則直線l1∥l2.

師：如圖6，將圖5中的直線AB繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)至A′B′且∠3=∠4，則直線l1∥l2嗎？

生5：根據(jù)判定平行線的方法，可知直線l1∥l2.

師：如圖7，若∠3=∠4，則直線l1∥l2嗎？

生6：根據(jù)判定平行線的方法，可知直線l1∥l2.

師：如圖7，若∠5=∠6呢？∠7=∠8呢？

生7：若∠5=∠6，則直線l1∥l2；若∠7=∠8，則直線l1∥l2.

圖7

圖8

師：好的.不管圖形的位置怎樣變化，只要有一對(duì)同位角相等，就能判定直線l1∥l2.它體現(xiàn)了“數(shù)量關(guān)系到位置關(guān)系”的過(guò)程.

師：若將圖5變?yōu)閳D8且∠1=∠2=90°，則直線l1與l2是否平行？為什么？

生8：直線l1∥l2.因?yàn)椤?=∠2=90°，又∠1與∠2是直線l1、l2被直線AB所截的一對(duì)同位角，根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”，可得直線l1∥l2.

師：有道理.∠1=∠2=90°，即l1⊥AB，l2⊥AB.由此你發(fā)現(xiàn)了什么？

生9：在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行.

師：為何要加“在同一平面內(nèi)”的限制條件？

生9：例如，墻角中的“這兩條線”垂直于“這條線”，但“這兩條線”不平行.

師：聰明！否定結(jié)論只要舉個(gè)反例即可.這樣判定平行線還有下面的方法：

在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行.即如圖8，若l1⊥AB，l2⊥AB，則直線l1∥l2.

師：它體現(xiàn)了“位置關(guān)系到位置關(guān)系”的過(guò)程.

環(huán)節(jié)3：參與嘗試方法應(yīng)用的活動(dòng)——合作解答有代表性問(wèn)題

師：我們一起來(lái)解答下列問(wèn)題.

問(wèn)題1：如圖9，直線l1，l2被直線l3所截，∠1=45°，∠3=135°.問(wèn)：直線l1與l2是否平行？為什么？

圖9

師：現(xiàn)在判定兩條直線平行有哪幾種可行方法？

生10：平行線的判定方法1和判定方法2.

師：由圖可以猜想：直線l1∥l2.要說(shuō)明直線l1∥l2，只要說(shuō)明什么？

生11：∠1=∠2或∠3=∠4.

師：根據(jù)已知條件能求出∠2或∠4的度數(shù)嗎？

生11：能.∠2=45°，∠4=135°.

師：由此能得出∠1=∠2或∠3=∠4嗎？

生12：∠1=∠2=45°，∠3=∠4=135°.

師：由此可知，直線l1∥l2.請(qǐng)大家把直線l1∥l2的理由規(guī)范地寫出來(lái).

（教師等待學(xué)生完成任務(wù)）

師：誰(shuí)來(lái)匯報(bào)說(shuō)理的過(guò)程？

生13：因?yàn)椤?+∠3=180°，所以∠2=180°-∠3=180°-135°=45°.又∠1＝45°，所以∠1=∠2.因?yàn)椤?與∠2是直線l1，l2被直線l3所截的一對(duì)同位角，所以直線l1∥l2.（同位角相等，兩直線平行）

生14：因?yàn)椤?+∠4=180°，所以∠4=180°-∠1=180°-45°=135°.又∠3＝135°，所以∠3=∠4.因?yàn)椤?與∠4是直線l1，l2被直線l3所截的一對(duì)同位角，所以直線l1∥l2.（同位角相等，兩直線平行）

師：說(shuō)得真好！如圖9，若內(nèi)錯(cuò)角相等，則直線l1∥l2嗎？若同旁內(nèi)角互補(bǔ)，則直線l1∥l2嗎？

生15：直線l1∥l2.因?yàn)檫@兩個(gè)條件都可以推出同位角相等.

師：好的.我們要養(yǎng)成解題之前分析和解題之后反思的習(xí)慣.

問(wèn)題2：如圖10，已知直線l1，l2被直線AB所截，AC⊥l2于點(diǎn)C.若∠1=50°，∠2=40°，則直線l1與l2平行嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖10

師：由圖可以猜想：直線l1∥l2.要說(shuō)明直線l1∥l2，只要說(shuō)明什么？

生16：∠1+∠2=90°或∠ABC=∠1.

師：根據(jù)已知條件能求出∠1+∠2或∠ABC的度數(shù)嗎？

生16：能.因?yàn)椤?=50°，∠2=40°，所以∠1+∠2=50°+40°=90°.因?yàn)椤螧AC=∠2=40°，又∠ACB=90°，所以∠ABC=90°-40°=50°.

師：由此能否得出直線l1∥l2？

生17：能.因?yàn)椤?=∠ABC，所以直線l1∥l2.（同位角相等，兩直線平行）

生18：因?yàn)椤?＋∠2=90°，即l1⊥AC，又l2⊥AC，所以直線l1∥l2.（在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行）

生19：因?yàn)椤?＋∠2=90°=∠3，所以直線l1∥l2.（同位角相等，兩直線平行）

師：請(qǐng)大家把直線l1∥l2的理由規(guī)范地寫出來(lái).

（教師等待學(xué)生完成任務(wù)）

師：誰(shuí)來(lái)匯報(bào)說(shuō)理的過(guò)程？

生20：因?yàn)椤?=50°，∠2=40°，所以∠1+∠2=50°+40°=90°，所以l1⊥AC.又l2⊥AC，根據(jù)“在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”，可得直線l1∥l2.

生21：因?yàn)椤?=40°，所以∠BAC=40°.因?yàn)椤螦CB=90°，所以∠ABC=50°.因?yàn)椤?=50°，所以∠1=∠ABC.因?yàn)椤?與∠ABC是直線l1，l2被直線AB所截的一對(duì)同位角，根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”，可得直線l1∥l2.

生22：因?yàn)椤?＋∠2=90°，又l2⊥AC，即∠3=90°，所以∠1＋∠2=∠3，所以l1∥l2.（同位角相等，兩直線平行）

師：好的.學(xué)習(xí)幾何需要推理，我們要逐步熟悉上述這樣的推理語(yǔ)言.

接下來(lái)，要求學(xué)生完成課本中的練習(xí)題，并待學(xué)生完成任務(wù)后進(jìn)行交互反饋與評(píng)價(jià).

環(huán)節(jié)4：參與回顧與思考的活動(dòng)——合作進(jìn)行反思與總結(jié)

師：本節(jié)課研究了哪些內(nèi)容？

生23：本節(jié)課研究了判定平行線的方法及其應(yīng)用.

師：獲得“同位角相等，兩直線平行”經(jīng)歷了哪幾個(gè)步驟？

生24：畫圖→思考→猜想→表達(dá).

師：好的.特殊到一般的探索策略和畫圖、猜想等探索方法，以后會(huì)經(jīng)常用到.

師：用判定平行線的方法判定兩條直線平行經(jīng)歷了哪幾個(gè)步驟？

生25：判斷→分析→說(shuō)理.

師：好的.分析基礎(chǔ)上書寫求解（或推理）過(guò)程是解決問(wèn)題的基本經(jīng)驗(yàn).

師：大家在學(xué)習(xí)過(guò)程中有何感觸？

生26：通過(guò)畫圖也能發(fā)現(xiàn)幾何結(jié)論，否定結(jié)論只要舉個(gè)反例就可以了.

生27：說(shuō)明結(jié)論成立要有理論依據(jù)，有時(shí)說(shuō)明結(jié)論成立有多種方法.

生28：解題之前要分析，解題之后要反思.

師：太棒了！這些感悟或經(jīng)驗(yàn)對(duì)后繼學(xué)習(xí)有指導(dǎo)作用.大家認(rèn)為還可以繼續(xù)研究什么？

生29：還可以從內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系來(lái)研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系.

師：有道理.下節(jié)課我們繼續(xù)來(lái)探索平行線的判定方法.

三、教學(xué)說(shuō)明

過(guò)程教育不是片面強(qiáng)調(diào)過(guò)程，而是根據(jù)數(shù)學(xué)結(jié)果的地位與作用，以及獲得數(shù)學(xué)結(jié)果（或解決問(wèn)題）的過(guò)程和所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法的價(jià)值來(lái)確定過(guò)程與結(jié)果的平衡點(diǎn).其基本要求是：教學(xué)內(nèi)容全面——不僅包括數(shù)學(xué)結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果形成、應(yīng)用的過(guò)程和所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.認(rèn)知過(guò)程完整——根據(jù)數(shù)學(xué)結(jié)果的類型針對(duì)性地設(shè)計(jì)教學(xué)并引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整的認(rèn)知過(guò)程.教學(xué)方法和諧——以合適的題材為載體，從學(xué)生已有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，運(yùn)用教師價(jià)值引導(dǎo)與學(xué)生自主建構(gòu)相結(jié)合的適度開(kāi)放的方式（特別要留給學(xué)生自主思考與實(shí)踐的時(shí)間和合作交流的機(jī)會(huì)），并用激勵(lì)的方法來(lái)評(píng)價(jià)學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中的表現(xiàn).［1］

“平行線的判定（第1課時(shí)）”的教學(xué)內(nèi)容不僅包括平行線的判定方法，也包括平行線判定方法的形成、應(yīng)用的過(guò)程和所蘊(yùn)含的歸納思想、演繹思想、推理語(yǔ)言、說(shuō)理的表述格式等.證明“同位角相等，兩直線平行”對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)有難度，浙教版教材把它看作基本事實(shí)，所以其教學(xué)性質(zhì)是原理教學(xué).平行線的判定方法是基礎(chǔ)知識(shí)，用平行線的判定方法判定兩條直線平行及簡(jiǎn)單的說(shuō)理是需要學(xué)生掌握的基本技能；經(jīng)驗(yàn)到理論和一般到特殊的研究方法在教學(xué)實(shí)踐中具有普適性.實(shí)踐告訴我們，獲得平行線判定方法的過(guò)程和用平行線判定方法判定兩條直線平行及簡(jiǎn)單說(shuō)理的過(guò)程有能力發(fā)展點(diǎn)、個(gè)性和創(chuàng)新精神培養(yǎng)點(diǎn)，其所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想、推理語(yǔ)言、說(shuō)理的表述格式等對(duì)發(fā)展學(xué)生的智力有積極影響.《課標(biāo)》中課程內(nèi)容對(duì)該課提出的教學(xué)要求是“掌握基本事實(shí)：同位角相等，兩直線平行”.在教師適度引導(dǎo)下，學(xué)生獲得判定兩直線平行的方法，雖然用判定方法判定兩條直線平行的難度不大，但是判定兩條直線平行之后的說(shuō)理（有條理的推理與表達(dá)）對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定的難度.

本課例根據(jù)平行線判定方法的教學(xué)性質(zhì)及其地位與作用和所蘊(yùn)含的教育價(jià)值，針對(duì)性地設(shè)計(jì)了“提出問(wèn)題（暗示研究的必要性）→畫圖思考（用直尺和三角尺畫平行線并思考三角尺在畫圖過(guò)程中的作用）→歸納猜想（由特殊猜想一般）→表達(dá)方法（用文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)猜想得到的結(jié)果）→演繹欣賞（生成判定方法2）→解決問(wèn)題（用獲得的判定方法判定兩條直線平行并說(shuō)理）→反思內(nèi)化（欣賞判定方法，感悟研究過(guò)程和所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）”的教學(xué)過(guò)程，運(yùn)用了“把教學(xué)的側(cè)重點(diǎn)放在‘畫圖思考’‘解決問(wèn)題（特別是說(shuō)理）’上，并以教材提供的題材為載體，從學(xué)生已有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，采用教師價(jià)值引導(dǎo)與學(xué)生自主建構(gòu)相結(jié)合的適度開(kāi)放的方式和用激勵(lì)的方法來(lái)評(píng)價(jià)學(xué)生表現(xiàn)”的教學(xué)方法，以使學(xué)生對(duì)“基本事實(shí)”的認(rèn)識(shí)能達(dá)到一定的“深度”，并能感悟三角尺在畫圖過(guò)程中的作用，能感悟其研究過(guò)程和所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，積累說(shuō)理（推理與表述）經(jīng)驗(yàn)等.

浙江省數(shù)學(xué)特級(jí)教師鄔云德老師認(rèn)為，該課例遵循了數(shù)學(xué)原理教學(xué)的基本規(guī)范，體現(xiàn)了過(guò)程教育和以學(xué)為中心的思想，統(tǒng)籌兼顧了過(guò)程與結(jié)果，可以實(shí)現(xiàn)“能發(fā)現(xiàn)并會(huì)陳述判定平行線的方法，會(huì)用判定平行線的方法判定兩條直線平行并會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理和表述，能感悟特殊到一般的探索策略和畫圖、觀察、猜想的探索方法，能在數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中有個(gè)性化表現(xiàn)”的教學(xué)目標(biāo)，它對(duì)幫助教師理解與實(shí)踐過(guò)程教育有積極的影響.

教學(xué)實(shí)踐表明，這樣的整體性教學(xué)和有深度的教學(xué)，能“激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣”“引發(fā)學(xué)生積極思考”“培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣”“使學(xué)生掌握恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法”.［2］

1.鄔云德.旨在統(tǒng)籌兼顧過(guò)程與結(jié)果的過(guò)程教育理論［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（11）.

2.史寧中.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）教師學(xué)習(xí)指導(dǎo)（初中數(shù)學(xué)）［M］.北京：北京科海電子出版社，2011.H