借“開放探索”專題之力，促初中數學自主復習之效*

☉廣東廣州市培正中學 湯 儉

初中數學復習時間緊迫，內容繁多，知識覆蓋面廣，怎樣的自主復習才有效呢？近年來，數學開放探索題在一些中考試題中漸次出現，這類試題題意新穎，構思獨特，對思維能力要求較高，它對初中自主復習所產生的積極作用，已愈來愈引起教育工作者的興趣與重視.

一、開放探索題的含義及其特征

所謂開放探索型問題，是沒有明確的條件或結論，沒有固定的形式和方法，需要自己確定所需求的結論、條件或方法的一類問題.

正因為開放探索型問題中的條件或結論的不確定性，使得解題的方法與答案呈多樣性，這就需要學生在解題過程中有更多的獨立和主動思考與探求；要求學生對結論主動做出大膽合理猜想，方能在解題方法上出奇制勝，別出心裁，因而會更有效地激發學生自主復習的主動性和持久性.所以，在初中數學自主復習時，進行開放探索專題復習，相信會大大提高自主復習的有效性.

二、以開放探索專題復習為切入點，探究初中數學自主復習有效學習策略

1.設計條件開放探索型問題，拓展自主復習的寬度.

條件開放探究題是指問題的條件不完備或滿足結論的條件不唯一的題型.

解題策略：從結論出發，執果索因，逆向推理，逐步探求結論成立的條件，或把可能產生結論的條件一一列出，逐個分析.

復習關鍵：在此環節的專題復習中，要注重引導學生的知識聯想，把知識點串聯起來，實現由量到質的飛躍，達到厚薄間的轉化，讓學生在聯想比較中加強其他知識的綜合復習，這既便于記憶，又便于了解它們的內在關聯，拓展復習的寬度，提高自主復習的有效性.

例1如圖1，OA是△ABC的中線，要使⊙O與AB邊相切于點D，與AC邊相切，應增加條件________（任寫一個），并證明.

圖1

【分析】本例屬于條件開放型問題，答案不唯一，可以是∠B=∠C，AB=AC，∠BAO=∠CAO，AO⊥BC等.證明略.

感悟提高：本題考查相切判定的方法，可添加的條件較多，要注意題目中OA是△ABC的中線這一條件.通過本題的復習，可以把圓的切線性質和切線判定方法一并復習和對比分析，找出基本方法（如連半徑，得垂直；作垂直，證半徑），從而提高復習效率.

2.設計結論開放探索型問題，加大自主復習的廣度.

結論開放探究題即在給定的條件下，結論不唯一的題型.

解題策略：從題目條件入手，通過由因執果，通過推理或聯想、類比、猜測等方式，獲得所求的結論，其中需要運用分類討論思想，從各個知識不同的側面入手，進行探索、驗證，尋找問題的結論.

復習關鍵：在復習此類題型時，要注意對例題的條件進行細致有序的分析和推理、聯想，有意識地對例題進行一系列改編，達到在挖掘原題的內涵和外延的基礎上，在探索中鞏固知識、在運動中尋找規律的目的，實現復習的知識從量變到質變，從而提高自主復習的知識廣度.

例2 點E、F在△ABC的邊AB所在的直線上，且AE=BF，FH∥EG∥AC，FH、EG分別交邊BC所在的直線于點H、G.

（1）如果點E、F在邊AB上，那么線段EG、FH、AC的長度關系是_________；

（2）如果點E在邊AB上，點F在AB的延長線上，那么線段EG、FH、AC的長度關系是___________；

（3）如果點E在AB的反向延長線上，點F在AB的延長線上，那么線段EG、FH、AC的長度關系是_________；

對（1）（2）⑶三種情況的結論，請任選一個給予證明.

【分析】這是一道探索、確定結論的開放型試題，解決這類問題的方法是根據條件，結合已學的知識、數學思想方法，通過分析、歸納逐步得出結論，或通過觀察、實驗、猜想、論證的方法求解.

感悟提高：本題考查全等三角形、平行四邊形的判定及性質，以及平行線、分線段成比例或相似三角形的性質.在解答結論開放型探究題時，需要通過觀察、比較、分析、綜合及猜想，展開發散性思維，充分運用已學過的數學知識和數學方法，經過歸納、類比、聯想等推理的手段，得出正確的結論.

三、設計組合開放探索型問題，挖掘自主復習的深度

組合開放型問題又稱為條件、結論全開放型問題，一般沒有明確的條件和結論，需要運用信息發現規律并解答.

解題策略：在解答時，必須認真觀察與思考，將已知的信息集中分析，挖掘問題成立的條件或特定條件下的結論，多方面、多角度、多層次探索條件和結論，并進行證明或判斷.在自主復習中，教師既能幫助學生梳理知識脈絡，分析知識點間的聯系，又能加強知識應用和能力訓練，提高學生的解題能力.

復習關鍵：在復習此類題型時，要注意引導學生從不同的角度，采用不同的數學模型，因此在復習時要善于引導學生將習題歸類，解決同類問題中的本質性的東西，總結出解這類問題的方法和規律，并對解題思路進行優化與比較，從而挖掘思維的深度，提高自主復習的效果.

例3 如圖2，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一條直線上，下面有四個條件，請你在其中選擇三個作為題設，余下的一個作為結論，寫出一個真命題，并加以證明：①AB=DE；②AC=DF；③∠ABC=∠DEF；④BE=CF.

圖2

【分析】本例屬于組合開放型問題，解答本例時要注意組合的新命題必須是真命題.

感悟提高：本題屬于組合開放探索型問題，熟練掌握全等三角形的證明方法是解答本題的關鍵突破口.同時，這道題的解題入口寬，解題方法較多，學生較易找到解題的切入口，但如何用簡潔的方法來解答，這就體現出不同學生的不同思維層次，可見此題是一道既考查基本方法又體現靈活性的題目，對提高學生思維的靈活性和深刻性起到了積極的效果.

通過開放探索題的課堂教學實踐，我深深體會到：數學開放探索題專題復習是傳統中考復習的一種有益補充，更提高了學生主動進行自主復習的積極性和有效性，它為學生高層次的思維發展提供了一種可能性；它為學生的發展提供了開放、探索的課堂氛圍；在教師的專題指導下，讓每個學生都能按照自己的思維節奏自由自在地復習，學生能自覺地對已學的知識進行歸納和總結，以形成系統、完整的體系；并能主動強化已經學習的技能、方法和提煉數學思想方法，從而更好地提高自主復習的有效性.

四、一些感悟

1.在開放探索專題復習時，應當允許學生存在一定的自主復習的“路徑差”.

2.在開放探索專題復習時，應當給學生充分的自主思考時間和活動空間.

3.在開放探索專題復習時，應當選擇好聯系生活實際的開放題，題量和難度要合適.

4.適度開展數學開放題教學.

1.劉益天.數學開放探索性問題的教學策略［J］.中學數學（下），2012（7）.

2.譚霄.淺談中考中的開放探索題［J］.數學學習，2010（5）.

3.陳紹明.一道條件開放題的探索與研究［J］.中學生數學，2007（4）.