暴露數學思維過程的課堂教學研究
——透過培養學生數學核心素養的視點

☉淮北師范大學數學科學學院 張 昆

☉江 蘇 揚 州 中 學 張乃達

數學新課程理念認為，數學知識來源于主體思維活動的結果，因而數學教學就是教師引導學生數學思維活動的教學，在這種理念指導下，在數學課堂教學中，自然要竭盡所能地促進學生將發生數學思維活動的原創性過程暴露出來.數學教學實踐也已經證明，真實的數學思維過程是數學教學中最有意義、最能實現數學課程資源教育價值的策略與手段，借助于數學課程資源啟發學生探究發現活動的思維過程，是學生必備的核心素養之一.因此，在數學課堂教學中，促進學生暴露自己關于發生數學認識的思維過程具有重要意義，也是我們教師需要考慮與努力的一個重要的方向性目標.

一、掩蓋思維活動過程在現實數學教學實踐中的具體體現及其原因與危害

在數學課堂教學中，遮蔽或掩蓋數學活動中的思維過程是數學教學中的不良傾向的共同本質.例如，滿堂灌、注入式的要害就在于根本不承認思維活動過程的教育價值；題海戰術則是使用增加知識量的方法來替代思維能力的不足，從而避開發展數學思維這一艱巨的課堂教學任務；至于在數學公開課中所表現出來的廣泛的形式主義的傾向，則是遮蔽數學思維活動過程的表現.一般來說，掩蓋數學思維過程的具體表現主要有如下幾種：其一，忽視概念的萌生過程；其二，忽視結論的發現過程；其三，忽視方法的形成過程；其四，忽視問題的提出過程；其五，忽視規律的揭示過程.

產生掩蓋思維活動過程的原因出自于兩個方面.其一，數學教師自己思想認識上的偏差.有些教師害怕學生提問而導致教師“掛黑板”（特別是在公開課上），于是，在課堂上（特別是在公開課上）不敢讓學生（特別是數學比較差的）回答問題，害怕自己被學生問住，故而，不敢讓學生提出問題.其二，由于課堂教學時間是最可貴的，教師在課堂教學中稍有不慎就可能打亂教學預案設計好的時間安排，暴露學生思維活動過程的教學往往致使教師在課堂上不能精確地掌控教學時間，從而導致拖堂.［1］

因此，不少教師的課堂教學方式猶如一潭死水，死氣沉沉，掀不起半點漣漪，整個課堂教學過程看不到思維的火花，甚至根本不存在積極的數學思維.這種教師在教學活動過程中不敢暴露甚至于盡其可能掩蓋數學思維活動過程的現象，致使數學課堂教學成了一場場精心編導的演出，學生就像木偶戲中的“木偶”一樣，一個個被教師牽動著在做著被動的活動，使數學課程資源發揮不了自身的教育價值，教師在課堂教學預設時所設定的目標也就形同虛設了.

二、課程教學中暴露思維活動過程示例

充分暴露數學思維活動過程的課堂教學，是對良好的教學方式、方法的概括與總結，也是許多先進的教學方法的出發點.如發現式教學把培養學生的探究式思維方式作為教學根本目標，透過模擬數學家在科學研究中的發現過程來保證在課堂上充分暴露思維活動的目的；單元教學法則為打破傳統教學中課時劃分的局限，在突出數學知識結構的同時，為探究思維活動的展開提供了廣闊空間，為暴露數學思維的宏觀過程創造了條件；啟發式教學則通過數學教師的主導，發揮學生的主體地位，啟發學生在課堂上進行積極的思維活動，從而達到暴露思維活動過程的目的.如果不了解這些良好的教學方法產生的指導思想，局限于對某些教學方法的程序的僵死的模仿，有時就會不自覺地在教學中掩蓋學生的思維活動過程.

理在用中方知妙，再好的理論不能被廣大數學教師轉化為實踐的動力，理論就是不結果實的花兒，是沒有生命力可言的.數學知識的形式往往是從概念（定義）出發，過渡到定理，教科書的安排常常也是如此，從概念到定理再到例、習題，教師長時間受此熏陶，對此已經司空見慣、習以為常了.如此，在課堂教學活動中，教師往往只是執行教科書的安排，致使在數學概念的課堂教學中，暴露思維活動過程大打折扣.

（一）暴露萌生概念的數學思維活動過程.

數學概念教學中，教師必須仔細思考，精心設計預案，在課堂上執行預案的過程中，應隨著學生思維活動的具體情況，及時、合理地加以調整.我們看萌生“二元一次方程組的解”這個例子.

例1兔子野雞三十九，一百只腳地上走，問你辛苦狩獵人，多少野雞多少兔（.我國古代《孫子算經》上的問題）

師：大家首先預習教科書［2］P99～106，看看可否找到解決這個問題的方法.

生1：可以通過列方程組的方法解決問題.設兔為x只、雞為y只，由題意，可列出如下的方程組：

師：如何求這個方程組的解？

生2：首先化簡方程②，將方程②的兩邊都除以2，即②÷2，得2x+y=50 ③.

師：接下來怎么辦？

生3：由于方程①與②中的x與y分別表示這個具體問題中的兔的個數與雞的個數，于是，x與y雖然在兩個方程中，實際上是指同一個數，所以可以將方程③的左右兩邊同時減去方程①的左右兩邊，即：③-①，得x＝11.

答：雞28只，兔11只.

教科書上就是首先定義了“二元一次方程組的解”，但是，教科書在呈現教學內容時，如同例1一樣，在說明為什么可以使用加減消元法時，沒有運用“二元一次方程組的解”這個概念，確實，采用雞兔的具體腳數的事實，來說明加減消元法的使用是正確的原因，這大大損傷了發揮“二元一次方程組”課程資源的教學價值.對于學習者而言，如此教學沒有進入他們的核心素養，因為，這只是借助于“實物”的具體數量在“實用性”思維層次上進行的思考活動，而不是基于數學“抽象”在“理性”思維層次上的思考活動.為了解決這個問題，我們出示抽象的方程組：

例2解方程組

師：如何解這個方程組？

生5：由⑤得x=3-2y ⑥.

把⑥代入④，得2（3-2y）+3y=-7，則-y=-13，y=13.

把y=13代入⑥，化簡得x=-23.

師“：把⑥代入④”為什么可以實現呢？

生6：這是“代入消元法”所規定的.

師：聽清楚我的問題，我所問的正是“代入消元法”為什么可以實現？

生：……

師：在“雞兔同籠”問題中，是怎樣實現“代入消元法”與“加減消元法”的？

生7：那里，所設的x與y是分別指那個問題中的兔數與雞數，于是，兩個方程中的x是同一個數，y也是指同一個數，因此，可以使用“代入消元法”與“加減消元法”.例2這個方程組卻沒有說明方程④與方程⑤中的x與y分別指同一個數……

師：生7的分析非常有道理.因此，使用“代入消元法”與“加減消元法”求解這個方程組的解就成問題了.怎么辦？

生：……

師：書到用時方恨少，事非經過不知難.大家閱讀“3.3消元解方程組［1］”這一頁（第95頁）的教學內容，看看可否解決這個問題.

生8：我看到了“使二元一次方程組中的每個方程都成立的兩個未知數的值，叫作二元一次方程的解”.由于這種定義的規定，我們知道，方程組中兩個方程的相同的未知數的值是相同的，因而，可以使用“代入消元法”與“加減消元法”求方程組的解.

筆者的課堂教學過程，活生生體現了“二元一次方程組的解”這個概念的萌生過程，伴隨著這一過程，學生可以體會到從“實用性”思維過渡到“理性思維”的心路歷程.其實，解決數學問題具有兩個不同的層次，一個是事實性的層次，以“實用性”思維為支點，一個是抽象性層次，以“理性”思維為支點，因此，“二元一次方程組的解”這個核心概念萌生構成了“代入消元法”與“加減消元法”的邏輯起點，也是培養學生理性思維的關鍵性環節.理性思維是一個人必不可少的素養之一，是重要的核心素養，因而是數學課堂資源的重要教育價值所在.從“實用性”思維上升到“理性”思維是教學教育的一項非常重要的任務，如果數學教師對此具有清晰的認識，或早或遲總是可以或多或少地完成這項教學任務.

（二）暴露發現結論的數學思維活動過程.

在“勾股定理”的課堂教學中，有教師采用了如下的教學途徑.其一，教師給每個學生發放一張坐標紙（內含同一面積單位），在坐標紙中先給出一個邊長為3、4、5的特殊的直角三角形（有的教師選擇使用等腰直角三角形，指導學生作以下同樣的操作活動）.其二，次第以這個直角三角形的邊為邊長分別向這個直角三角形外畫三個正方形，指導學生（通過坐標紙的方格數）分別數出這三個正方形的面積，從三個正方形面積的數據出發，啟發學生猜想出32+42=52，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.其三，再將邊長為3、4、5的直角三角形一般化，得到了一般性的結論.其四，直接出示趙爽的“勾股圓方圖”，帶領學生對這個一般性的結論加以確證.

這種課堂教學活動恰恰遮蔽了學生在課堂上發現勾股定理這個命題產生的思維活動過程，這是因為：其一，不論是邊長為3、4、5的特殊的直角三角形還是等腰直角三角形，都是教師提供的，不是學生提出來作為探究活動的基礎的；其二，向形外作正方形也是教師要求學生去做的，而不是學生自己心理上產生這樣的操作行為的欲望；其三，驗證勾股定理的“勾股圓方圖”也是教師直接提供給學生的，不是學生自己為了證明這個結論而探究發現的.由此可見，這樣的課堂教學活動，主要是教師在課堂上向學生提供關鍵性的探究與思考的環節，同時，忽視了問題的提出過程，只是教師講解學生記錄的教學方式罷了.筆者通過思考，在課堂教學中，設計了如下的教學活動過程：

［環節一］

師：由于種種原因，古人特別喜歡使用面積來表示（或證明）代數恒等式，請你設計一個圖形，表示完全平方式（a+b）2=a2+2ab+b2.

生1：可以構建一個邊長為a+b的正方形，如圖1，就可以達到目的.

［環節二］

師：能夠構造一個說明完全平方差公式（a-b）2=a2-2ab+b2的幾何圖形嗎？

生2：可以，只要將圖1變成圖2，就可以達到達到目的.圖2中的面積關系為：（a-b）2=（a+b）2-4ab=a2-2ab+b2，這正是完全平方差公式.

圖1

圖2

圖3

［環節三］

師：假如要研究一個直角邊長分別為a、b，斜邊長為c的直角三角形的三邊關系，可以借助上述研究結果中的圖形嗎？

生3：可以.分別連接圖2中四個矩形的對角線，得到圖3，去除圖3中外圍四個4直角三角形，就可以得到圖4.圖4中的四個直角三角形與一個正方形之間的面積關系，可以用一個代數式表示為即c2=a2+b2.

圖4

圖5

師：這就是今天我們要學習的勾股定理的內容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.［3］

這種從提出問題到發現數學命題的結論，再到驗證結論的過程，是借助數學課程資源培養學生的核心思想之一，教師對此必須具有清醒的認識.趙爽在為《周髀算經》“勾股圓方圖”作注中寫道，“案弦圖又可以勾、股相乘為朱實二，倍之為朱實四，以勾股自差自乘為中黃實.加差實亦成弦實”［4］（這里的“實”用現代語說就是指圖形的面積——引者注）.如圖5，教科書為了幫助教師施教、學生學習，在驗證勾股定理時，直接給出了圖5所示的結論.如何構建出圖5，具有極其重要教育價值，它的實現，教師非細心地把握學生構建時的心理活動不可.很多教師就只是忠實地執行了教科書對課堂教學的提示活動，而沒有將注意力集中到如何通過課堂教學活動啟發學生構造出趙爽的“勾股圓方圖”的心理過程，筆者的課堂行為正是借助于數學史知識的輔助，實現了啟發學生構造出“勾股圓方圖”的課堂教學活動過程.

然而，通過反思認識到，筆者的這種課堂教學過程其實也不盡如人意，這其中的重要一點，就是問題的提出過程基本上是筆者奉獻給學生的，因此，這種課堂教學活動也有待于進一步完善，但是，筆者到目前為止，還沒有尋得一種好的辦法解決這個問題.不過，既然已經發現了問題，在筆者不斷思考與努力下，總會有解決的可能性.在此，也希望讀者予以關注與思考，以此達到逐步完善它的目的.

（三）暴露發現思路的數學思維活動過程.

在前述勾股定理的證明活動中，我們已經發現了部分教師只是將證明過程提供給學生，造成了教學的巨大損失.在數學解題教學中，也會出現同樣的弊端，教師往往忽視（略去）解決問題思路的探究活動過程，而只是將自己通過探究活動發現的結論字斟句酌地奉獻給學生，致使學生能夠讀懂結論中的某些關鍵性環節的結構組成，理解其邏輯體系，而不知道這些環節是如何獲得的，整個邏輯體系是怎樣組建起來的，這就是典型的掩蓋了發現、解決問題思路的思維活動過程.我們看實際課堂教學中的一個例子.

“這個場景和畢贛最喜歡的導演塔可夫斯基的電影片段相似，畢贛是在這個場景中利用杯子向塔可夫斯基致敬。看過塔可夫斯基的觀眾當然明白，然而大部分觀眾卻是不清楚的。”沙丹說。

例3 求證：兩邊及其第三邊中線對應相等的三角形全等.

已知：如圖6，在△ABC與△EFG中，AB=EF，AC=EG，AD=EH，求證：△ABC≌△EFG.

圖6

在這個例題的課堂教學中，有教師就直接把證明過程抄寫到PPT上（本文限于篇幅略去不記），而不講輔助線是如何出現的，幾組全等三角形是如何組成一個環環緊扣的邏輯體系的，這種邏輯體系如何最終得以精致的表達，導致學生只有經由記憶的途徑來學習這道題的解決.這就掩蓋了解決問題的探究發現活動過程，造成了課堂教學的損失.筆者在課堂教學中，對此加以改進（省略號表示學生思維活動的中斷）：

師：如何發現這道證明題的思路？

生：……

師：條件是AB=EF，AC=EG，由“邊角邊”或“邊邊邊”公理，要么證明AB、AC的夾角∠BAC與EF、EG的夾角∠FEG對應相等，即∠BAC=∠FEG ①，要么證明第三組邊BC、FG對應相等，即BC=FG ②.然而，從已知中找不出這樣的條件.怎么辦？

生1；老師您的分析使我認識到，必須將相等的中線這個條件轉化為兩邊的夾角相等，或轉化為第三邊相等.

生2：由于條件沒有牽涉角的相等關系，所以尋找對應角相等是不可能的，因此，我想只有考慮轉化為某兩個三角形的三組對應邊相等.

師：好想法.如何轉化為三組對應邊相等？

生3：我想將線段AB（與EF）轉移到它需要的地方去，與此同時，又可以使用上條件AD=EH.

師：生3不再是對兩個圖形進行的理論上的想法了，而是非常具有操作性的想法.怎樣才能如愿以償？

生4（筆者在黑板上記錄與整理，并相應進行了板書設計）在△ABD中，由于點D是BC的中點，可以考慮構造全等三角形將線段AB轉移到與AC的一個端點相交.具體而言，延長AD到點M，使DM=DA，連接CM，由對頂角相等，知∠ADB=∠MDC.又由已知DB=DC，由“邊角邊”公理，知△ABD?△MCD，從而CM=AB，∠DAB=∠DMC③.在△EFG中，也做同樣的操作，可得GN=EF，∠HEF=∠HNG ④.于是，在△AMC與△ENG中，由于AC=EG（已知），CM=GN（已證），AM=2AD=2EH=EN，故由“邊邊邊”公理，知△AMC?△ENG，則∠AMC=∠ENG ⑤，∠HEF=∠HNG ⑥.由③④⑤⑥，知∠BAC=∠FEG成立.于是，在△ABC與△EFG中，由于AB=EF，∠BAC=∠FEG，AC=EG，由“邊角邊”公理，知△ABC≌△EFG.（在課堂上，將生4探究思考的結果轉化為證明的表達過程使用了PPT展示，這里略）

筆者的課堂教學活動過程體現了：其一，輔助線的萌發過程，在這里作了大量的鋪墊與渲染，是促使學生步步逼近解決問題關鍵環節的核心；其二，竭盡所能促使學生暴露發現證明思路的分析活動的思維過程.其實，從“勾股定理”與例3的解決問題的探究活動思維過程中，我們可以發現，數學解題活動是極具創造性的課程資源，甚至比數學概念、原理更具培養學生創造性的教學價值，學生由探究稍微復雜些的數學問題，可以感受到更直觀的體驗.［5］問題是，教師如何啟發學生通過探究發現解決問題的思路，要全心全意暴露學生探究思路的思維活動過程.這種探究思路的過程是重要的數學核心素養之一，它可以直接應用于解決生活、生產與科學研究中去.

三、簡要結語

以培養學生數學核心思想為數學教學的總目標，以暴露數學思維活動過程為實現這項目標的重要手段，構成了設計數學教學活動程序的依據與基礎.設計數學教學程序本身也是一件創造性的工作，充分暴露數學思維活動過程是數學教學設計的指導性觀念之一，教師只要具有充分暴露數學思維活動過程的教學愿望，又能根據客觀知識的結構性特點與具體學生發生數學認識時的思維活動特點，假以時日，深入思考與反思，就一定會依據知識性質與學生的學習水平設計出適合學生的教學程序預案，保證課堂教學的成功，發揮數學課程資源的價值，培養學生的核心素養.

1.張乃達.數學思維教育學［M］.南京：江蘇教育出版社，1990.

2.《新時代數學》編寫組（吳之季、張孝達主編）.義務教育課程標準實驗教科書·數學·七年級（上冊）［M］.上海：上海科學技術出版社，2012.

3.張昆，張乃達.論數學教學創新設計［J］.中學數學（下），2016（8）.

4.劉鈍.大哉言數［M］.沈陽：遼寧教育出版社，1993.

5.張昆，羅增儒.數學解題教學設計研究——指向滲透數學觀念的視點［J］.中學數學雜志，2017（11）.