高效數學課堂的三個層次
——懂·通·透

☉江蘇省蘇州科技城外國語學校 李曉琴

怎樣的數學課堂教學才是真正高效的？可以通過學生在課堂上對知識認知水平的三個層次進行衡量.初級層次——學生在課堂上對學習的知識是否懂了；中級層次——學生對基本知識和基本技能是否能夠舉一反三；高級層次——上升到學習的三維目標層面，學生是否對知識發生、發展、應用的全過程及其呈現規律有了透徹的認識.總之，高效的教學過程應該是學生從不懂到懂，從懂到通，再從通到透的拓展過程.

一、懂

對數學概念、定律、公式、法則等懂了，不僅能道出它的內涵，還能指出其外延，從而理解其在數學中存在的意義.在現實中有許多學生總是講：“老師課上講的內容我都懂了，還做了工整的筆記，但做練習時卻無從下手.”到底何為懂了？靠死記硬背記住的知識內容不能算懂了.真正懂了具體表現為：第一，能夠將概念、規律和定理等內容用自己的語言清晰地描述出來，能找到知識的關鍵；第二，能夠將知識理解了，練習時不陌生.

在初中的數學課堂上該如何去教，學生才會懂了呢？這就需要教師熟悉教材，摸透學生的學情，不能用停滯的目光去審視學生，在備課時將教學過程中各個環節都設計到位.數學是較為抽象的，首先必須創設學生熟知的生活經驗或事實的情境來引入課題，激發學生探究知識的興趣，在具體生活經驗中去抽象概括出新的數學知識，通過實驗實踐、動手操作來體驗這些數學原理，才能真正懂了.

案例1在圖1中，M是某反比例函數圖像上的一點，以M點為一個角的頂點，與x軸和y軸組成一個長方形，其面積是8，因此可得出該反比例函數的解析式為y=_______.

以下是摘錄課堂師生互動畫面片段.

圖1

師：①什么是反比例函數？舉例說明.

②反比例函數的一般表達式是怎樣的？

生：①如果兩個變量的每一組對應值的乘積是一個不等于0的常數，那么就說這兩個變量成反比例.剪一個面積為20cm2的長方形，長與寬的關系是反比例函數關系……

讓同學們將本題的解題步驟寫在紙片上（要規范步驟）.3分鐘后讓小組組長收集本組成員的解題紙片；教師進行篩選，通過電子白板投影方式將解題展示出來.

師：請學生乙上臺說說自己的解題過程.

師：這兩個同學都有自己的想法，孰對孰錯？請同學們畫出反比例函數或草圖，看看情況吧.

師：通過作圖對比（圖略），能夠理解k＞0和k＜0的圖像形式了吧，第一次展示出來的解題步驟中存在的問題是：甲同學沒有結合到圖像信息，沒有考慮雙曲線在第Ⅱ、Ⅳ象限，也就是沒有認識到反比例函數中的k＜0.

點評：倘若教師與學生一樣對數學問題模棱兩可，那么教學就失敗了.怎樣才能確診學生是否真懂了呢？從案例可以窺見一斑，從他們能否對數學概念、定律、公式、法則等各種做出正確表述，并能知其然、知其所以然.當然，從教學實踐表面看，題海戰術能夠強化學生建立數學概念，在應試中獲得高分，然而，題海戰術必然讓學生在繁重的練習中對數學學習望而止步，失去學習的興趣，這與現代教育的目標背道而馳.

二、通

“通”就是對所學知識融會貫通，在懂了的基礎上運用知識進行推理、分析、歸納、綜合，能夠在新情境下舉一反三.“通”在課堂上要求學生必須親歷同步題的解疑、實驗技能的錘煉和思維拓展的構建，讓他們養成換位思考問題的習慣.教師在剖析案例時，要點明不能忽視的關鍵詞，用規范的解題步驟做示范，讓學生能清晰地看清楚例題的解題思路，從而達成讓學生自己總結出該類問題的思考方法.初中學生的思維具有模仿性，要讓學生能夠舉一反三，必須先內化所學知識.因此，一道典型例題的剖析之后，需要用三道左右的變式練習進行仿照，按照教師的示范過程進行下去，達到內化為學生自己的數學思維方法.

案例2三角形中邊與角之間的不等關系的課堂實錄片段.

師：前面我們學習了等腰三角形，學生丙說說你判斷一個等腰三角形的方法吧！

生：兩條邊相等、兩個角相等、角平分線是角對邊上的高……

師：該學生所講的在等腰三角形中的兩條邊相等與兩個角相等，邊和角是什么關系呢？

生：邊所對的角、角所對的邊是一一對應的.

師：你們用什么方法知道了在三角形中相等的邊所對的角相等？

生：對稱圖形的方法.

師：說得對！倘若三角形的邊不相等或者是角不相等，邊所對的角是什么關系呢？請同學們拿出三角形的紙片用對稱的方法探究以下問題.

問題1：在△ABC中，如果AB>AC，可以得出∠C＞∠B嗎？

生：（實踐探究）先找一個△ABC紙片，在角上標識字母，使得AB＞AC，如圖2，然后將△ABC沿∠A的平分線AM折疊，C點落在AB邊上的點C′處，可知AC′=AC，這樣得到∠AC′M=∠C.又由于∠AC′M是△BMC′的外角，故∠AC′M＞∠B，即∠C＞∠B.

圖2

點評：對稱圖形的操作是一種有效的幾何證明方法，其對稱方法是角平分線，這是從等腰三角形頂角平分線得到的啟示.通過學生的動手實踐，驅動了學習興趣，輕松地得出“在一個三角形中，如果兩條邊不等，那么它們所對的角也不等，大邊所對的角較大”的結論.

問題2：在△ABC中，如果∠C＞∠B，可以得出AB>AC嗎？

學生如果能夠折疊出圖3，就可以證明問題2，這里就忽略練習步驟了.

點評：對稱圖形的對應關系是相同的，邊的垂直平分線也是一種對稱軸.學生沒有動手實踐，就不可能理解“對稱”的含義，也就無從得出“在一個三角形中，如果兩個角不等，那么它們所對的邊也不等，大角所對的邊較大”的結論.

這就是將“等腰三角形”的對稱性進行拓展，問等腰三角形的對稱軸是什么，目的在于要求學生能夠融會貫通，只有清楚了對稱軸，才能進行拓展.

圖3

三、透

“透”是透過對事物的現象抓住其本質，換一句話來說，就是對數學的“雙基”有深刻的理解與掌握.無論是剖析數學概念、定律、公式、法則等，還是進行解題演練，其目的就是要開發學生解決某類問題的數學思維方法，這里的“方法”是自己的，而不是“技巧”，“技巧”是別人的方法.要學會觸類旁通，明辨是非，這才是懂了、通了，學會“以漁而得魚”，這才是透了.透了才能培養學生終生學習的習慣，才有利于學生的發展.

課堂上三個層次的設置是循序漸進的，如果沒有對數學概念、定律、公式、法則等的“懂”，就不可能對知識融會貫通，更不會觸類旁通，沒有“通”，也不可能吃透知識，終生受益.教學是無定法的，而學習必須有法.只有讓學生在課堂上懂了、通了、透了，這樣的課堂才是高效的，有推廣價值的.

1.張紅生.變式教學讓數學高效課堂更精彩［J］.中學數學（下），2011（9）.

2.陳明鐘.實施過程性教學模式 構建初中數學高效課堂［J］.中學數學（下），2016（8）.

3.陳唐明.本質的角度·思想的高度·思維的效度——高效數學課堂的三個基本維度 ［J］.數學教學研究，2014（5）.H