深入挖掘結論，逐層拓展應用
——以中考幾何探究題為例

☉江蘇連云港市東港中學 董海榮

以考查學生基礎知識、邏輯思維能力及基本數學活動經驗為背景的幾何探究題在近年的中考中出現的頻次很高，題型取材于課本教材，拓展性強、創新性高，具有選拔優質考生的功能，同時該類題對于初中教學具有指導意義.

一、真題解析，試題點評

1.真題呈現.

（2017年河南中考卷第22題）如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點D、E分別在邊AB、AC上，AD=AE，連接DC，點M、P、N分別為DE、DC、BC的中點.

（1）觀察猜想.

圖1中，線段PM與PN的數量關系是________，位置關系是________.

（2）探究證明.

圖1

圖2

把△ADE繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置，連接MN、BD、CE、MP、PN，判斷△PMN的形狀，并說明理由.

（3）拓展延伸.

把△ADE繞點A在平面內自由旋轉，若AD=4，AB=10，求△PMN面積的最大值.

2.試題解析.

分析：（1）利用三角形中位線定理可判斷BD=CE.利用三角線的中位線可得兩直線平行，進而利用平行線的性質可推斷結論.（2）先判斷△ABD?△ACE，進而可得BD=CE，利用（1）的方法可得即PM=PN.（3）可先判斷MN最大時，△PMN的面積最大，進而求得AM，可得出MNmax=AM+AN，結合面積公式可得出結論.

解：（1）略.

（2）根據旋轉性質可知∠BAD=∠CAE.又因AB=AC，AD=AE，所以△ABD?△ACE（SAS），所以∠ABD=∠ACE，BD=CE.同（1），利用三角形中位線定理可得PN=即PM=PN，所以△PMN是等腰三角形.同（1），得PM∥CE，PN∥BD，所以∠DPM=∠DCE，∠DPN=∠DCB，利用角度轉化可得∠MPN=∠ACB+∠ABC.又∠ACB+∠ABC=90°，則∠MPN=90°，所以△PMN是等腰直角三角形.

（3）同（2）可得△PMN是等腰直角三角形，所以MN最大時，△PMN的面積最大.MNmax=AM+AN.連接AM、AN，如圖3.在△ADE中，可求得在Rt△ABC中，可求得所以

圖3

3.試題點評，思路剖析.

本題為幾何綜合探究題，該類題一般設置發現猜想、思考探究、拓展應用三個階段，從簡單或特殊的問題入手，從而獲得特殊情形下的結論，然后將該結論拓展遷移到較為復雜的問題，主要考查學生對幾何基礎知識的掌握及探究歸納能力.本題利用中位線定理及相關性質，確定了特殊情形下兩直線的位置和數量關系，然后將其應用到三角形形狀判斷問題中，最后對其拓展延伸，應用到求幾何面積的最值.整個過程環環相扣，逐步推進，解題思路也應準確把握要探究的結論，利用結論的特殊性、便利性解題.

二、試題鏈接，思路分析

幾何探究題具有濃重的探究特性，問題設置步步深入，以探究為基礎，以應用為目的，使結論的拓展性與應用性完美融合，其解題思路為結合符號、圖形兩種語言，利用幾何性質，充分挖掘基本結論，利用聯想、類比等方式逐層思考，拓展應用.

試題1：（2016年四川達州中考卷第24題）有△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D為直線BC上一動點（點D不與B、C重合），以AD為邊在AD右側作正方形ADEF，連接CF.

（1）觀察猜想.

如圖4，當點D在線段BC上時，

①BC與CF的位置關系為：_______；②BC、CD、CF之間的數量關系為：_______.

圖4

圖5

圖6

（2）數學思考.

如圖5，當點D在線段CB的延長線上時，結論①和②是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請寫出正確結論再給予證明.

（3）拓展延伸.

如圖6，當點D在線段BC的延長線上時，延長BA交CF于點G，連接GE.若已知請求出GE的長.

分析：（1）①由正方形性質可得∠BAC=∠DAF=90°，可推△DAB?△FAC，由全等性質可得結論（.1）②△DAB?△FAC，根據三角形全等的性質可得CF=BD，∠ACF=∠ABD，由余角性質可得結論（.2）∠BAC=∠DAF=90°，推得△DAB?△FAC，由三角形全等的性質可知仍然成立（.3）取BC的中點H，連接AH.作EM⊥BC，垂足為M.由等腰三角形的性質得進而可求DH，由正方形性質可得∠ADE=90°，AD=DE，利用矩形性質可得相關邊和角的性質，可證△ADH?△DEM，利用其性質可推得△BCG為等腰三角形，結合勾股定理可求GE的長.

試題2：（2017年江蘇鹽城中考卷第26題）（1）探索發現.

如圖7，為一張直角三角形紙片，∠B=60°，小明想從中剪出一個以∠B為內角且面積最大的矩形，經多次操作發現，當沿著中位線DE、EF剪下時，所得矩形面積最大，隨后他通過證明驗證了其正確性，并得出：矩形的最大面積與原三角形面積的比值為_______.

圖7

圖8

（2）拓展應用.

略.

（3）靈活應用.

如圖8，有一塊“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明從中剪出了一個面積最大的矩形（∠B為所剪出矩形的內角），求該矩形的面積.

分析：（1）利用中位線的性質及∠B=90°可知四邊形FEDB為矩形，從而可求相關邊的關系，求的比值，可以利用面積公式，以及邊的關系來簡化.（3）補全ABCD為完整矩形，可求相關邊長，利用三角形全等，結合“探索發現”的結論可求該矩形的最大面積.

上述問題均為幾何探究題，是對觀察、猜想、分析、驗證、歸納的探究過程的充分體現，在結構上每小題之間既相互獨立，又緊密關聯，對于學生的思維拓展具有積極作用.試題1猜想發現了兩邊之間的數量關系和位置關系，并對其進行深入思考，拓展應用；試題2則是探究發現了關于幾何面積的比值關系，然后將其應用到較為復雜的問題中，解題過程都是有效利用探究歸納的結論，充分利用幾何性質，輔以圖形，拓展應用.

三、解后反思，教學思考

1.關注課本，夯實基礎.

幾何探究題涉及的知識點較多，熟練掌握幾何基礎知識是解決問題的關鍵.在幾何復習階段也不應顛倒學習重心，錯誤地將精力過多放在題海中，而應重溫課本，夯實基礎，梳理知識脈絡，掌握知識間的內在聯系和邏輯關系.對于教材中的重點、難點、易錯點，要結合課后習題，可以利用文字語言、符號語言、圖形語言來充分釋義，引導學生探尋問題的一般解法.對于具有代表性、解法通性的問題，應進行總結歸納，促進學生知識完整性的構建，為學生的長遠發展打下基礎.

2.注重關聯，提升能力.

幾何探究題的各部分具有鮮明的關聯性和遞進性，難度依次遞增，主要考查學生思維的層次性，在教學中教師要注重初中知識的初始教學，有效結合教材內容，精心設置具有關聯性的問題，由淺入深，逐層遞進，引導學生有意識進行思考，對于一些具有創造性的見解和思路，要加以鼓勵和支持，培養學生的學習興趣，激發學生的探究熱情，然后輔以相應的解題方法，指導學生的解題過程，提升學生的解題能力.

3.經歷探究，發展思維.

探究型問題關注學生的思考過程、推理過程，主要考查學生的邏輯思維能力，因此在幾何教學中，要注重培養學生的猜想推理和遞進推理能力，通過有針對性的教學活動讓學生經歷知識探究發現、拓展應用的過程，促進學生數學思維的發展，同時給學生留足思維的空間，通過操作實踐、猜想驗證等方式促進學生思維的拓展性，借助探究題的開放平臺，使學生的知識掌握和技能形成完成良好的融合，初步發展學生的創新意識.

四、寫在最后

對于初中的幾何探究題，要從基礎知識入手，結合幾何性質歸納總結簡單問題的特性結論，然后加以拓展應用.在教學中，教師要引導學生關注教材，學習問題的通性、通法，夯實基礎；設置具有關聯性和遞進性的問題，促進學生解題能力的提升；針對性開展教學活動，讓學生經歷數學的探究過程，促進學生的思維發展和創新意識的形成.

1.居建斐.熟而不俗 余味悠長——“基于教材，高于教材”的中考探究題賞析［J］.中學數學（下），2016（8）.

2.嚴亞琴.摭談一道平面幾何題的解法探究與啟示［J］.中學數學（下），2017（12）.

3.戴回娟.關于初中數學探究式教學實驗的思考［J］.數學教學通訊，2017（26）.

4.石小江.初中數學“圖形與幾何”中的合情推理研究［J］.數學教學通訊，2017（8）.