算法思想在數學基礎課程教學中的應用研究

趙慧

摘要：依據《普通高中數學課程標準》對算法提出的基本要求，分析算法思想在財經類院校數學基礎課程教學中應用的可行性。以《經濟管理類本科數學基礎課程教學基本要求》為指導，結合財經類院校數學基礎課程的教學現狀，設計《線性代數》課程中算法思想的應用案例。

關鍵詞：算法思想；財經類院校；數學基礎課程

在我國教育部頒布的《普通高中數學課程標準》（以下簡稱《標準》）[1]的指導下，高中數學課程從模式到內容有了重大改變。首先，數學課程的設置轉變為“必修+選修”模式。其次，課程內容增加了數據處理、矩陣變換、數學建模、算法、框圖等模塊。而這些模塊實際上是高等院校數學基礎課程中的重要內容。其中的算法、框圖模塊可以作為數學基礎課程教學的輔助手段，幫助學生理解數學學科知識的知識體系和掌握特定知識點的方法步驟。

通過面向貴州財經大學經濟管理類專業630名學生分批分期的集中訪談，發現：學生普遍認同數學課程在專業發展（如會計學、投資學、工商管理等專業）中的重要性，近一半的學生還是表現出對數學課程的學習興趣。但大部分學生在數學的學習過程中存在一定的困難。學生認為：（1）數學學科的知識內容多，難以構建數學學科的知識體系。（2）數學題目的類型繁多，解決技巧方法多樣且巧妙，難以歸納總結分類掌握。因此，部分學生提出：希望教師能夠在數學知識的教學過程中，將知識步驟化程序化，輔助學生掌握、識記與應用。學生的這種步驟化程序化的愿望恰與算法思想的本質不謀而合。

因此，高等院校數學基礎課程教師了解高中新課程算法、框圖的知識基礎，挖掘算法思想的內涵，開展算法思想在數學基礎課程中應用的探索研究，是十分必要的。

一、高等院校數學基礎課程應用算法思想的必要性和可行性

眾所周知，公理化思想和算法化思想是數學發展中的兩種基本思想，這兩種思想都在數學進程史中發揮著不可忽視的作用。公理化思想起源于古代希臘，以歐幾里得的《幾何原本》為代表。算法化思想則以中國古代數學名著《九章算術》為代表，并貫穿于我國整個古代數學的發展歷程。以解決問題為主旨的發展過程中建立了以構造性與機械化為特色的算法體系，為人們提供了認識世界的算法構造思維模式。我國吳文俊院士認為：算法化思想——這種最古老的的數學，實際上是最現代化的數學，它是計算機時代最適合的數學。相對以古希臘的公理化思想的演繹特點，我國古代數學不過于考究命題的形式推導，更看重問題解決的算法化思想呈現。廣義意義上的算法就是針對某一類問題的解決辦法或者策略。算法基本知識的學習和運用，能夠輔助學生對數學知識、數學運算的理解。在現代科學技術高速發展的背景下，算法對學生精確數學概念和有條理地進行思維的提出了挑戰[2]。從學生的數學素養方面看，算法思想可以發展學生思維的邏輯性、條理性和精確性。從學生的后繼發展方面看，算法思想在為學生進一步學習和工作打下基礎的同時，將程序化思考融入學生日常生活和工作中，成為一種算法化思考的習慣。

針對經濟管理類本科數學基礎課程的教學，我國教育部數學與統計學教學指導委員頒布的《基本要求》對學生的算法化思想的培養提出了新的高度：運用數學的思想模式進行定量思維和定性分析是衡量民族科學文化素質的一個重要標志[3]。

作為高等學校經濟類和管理類專業本科生的重要必修數學基礎課程——微積分、線性代數、概率論與數理統計，在其知識傳授的過程中，培養學生抽象思維和邏輯推理的思維能力是十分必要的。而算法化思考方式的養成能夠培養學生綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力，以及較強的自主學習能力，逐步培養學生的探索精神和創新能力[4]。

在高等財經院校數學基礎課程的教學中廣泛應用算法知識，體現算法思想，既適應我國高中數學課程的改革，也為進一步增強經濟管理類專業學生的數學專業知識，提高數學素養提供了一種有效的輔助手段。

二、算法思想的應用案例

高等院校數學基礎課程有諸多知識內容和解題思路是可以采用算法化思想和算法化步驟呈現的。需要強調的是，這些數學學科知識重要考慮與算法思想的結合與應用，而不要求用計算機語言將算法思想程序化處理。例如，《線性代數》課程中的主體知識模塊之一——線性方程組解的結構就可采用算法化展現。實際上，《線性代數》的數學教師在線性方程組解的結構教學中，通常從最簡單的二元一次線性方程組的消元法過程出發，將消元法的過程再展現在增廣矩陣的初等變換過程中。而二元一次線性方程組的求解問題正是高中數學算法知識教學的引例。

對于任意的線性方程組，采用自然語言來描述該線性方程組解的判定及解的結構。

S1：輸入系數矩陣A；

S2：輸入未知量個數n；

S3：輸入常數項矩陣b=（b1，b2，…，bm）T，

S4：利用矩陣的初等行變換，將增廣矩陣A=（A b）化為簡化行階梯形矩陣；

S5：如果b=（b1，b2，…，bm）T≠0，輸出“該線性方程組為非齊次線性方程組”，進行S6；如果b=（b1，b2，…，bm）T=0，輸出“該線性方程組為齊次線性方程組”，進行S7；

S6：當R（A）=R（A）=r

S7：利用矩陣的初等行變換，將系數矩陣A化為簡化行階梯形矩陣；

S8：當R（A）=r

S9：寫出簡化行階梯形矩陣A1對應的線性方程組；

S10：確定自由未知量；

S11：令自由未知量全為零，得到非齊次線性方程組的特解γ0；

S12：令自由未知量取線性無關組，得到對應的齊次線性方程組的基礎解系η1， η2， …， ηn-r；

S13：輸出非齊次線性方程組有無窮多組解，通解為γ0+c1η1+c2η2+…+cn-r ηn-r，進行S11；

S14：輸出該非齊次線性方程組有唯一解η，進行S11；

S15：輸出該非齊次線性方程組無解；

S16：輸出該齊次線性方程組有唯一解，即零解，進行S17；

S17：結束。

雖然這一程序化過程較為繁雜并且計算量也較大，但學生每做一步都確切得知道下一步應該做些什么，這就是算法思想的體現。這一步驟化整理便于學生理解線性方程組的判定條件，掌握不同選擇條件下解的情況。在掌握非齊次線性方程組與齊次線性方程組解的結構知識的同時，對比兩者的不同。

再如，《線性代數》課程中的向量組的線性關系問題，實際上在高中階段向量部分已有展現，但更多地局限在平面向量或空間向量。運用向量性質或坐標運算判定向量是否平行。該問題實際就是判定所給向量是否線性相關。以向量組的秩的角度判定的思路和方法也可采用算法形式展現。同時，向量組的線性關系問題也可以轉換為齊次線性方程組是否有非零解的問題。這一角度也恰可用上一算法思路中的齊次線性方程組的部分來解決。

三、總結

問題解決方法的算法的步驟化呈現，首先便于學生的問題解決方法的理解與識記。在熟練運用的基礎上，進一步增進學生的步驟化程序化思考問題的意識。將算法思想應用于財經類院校數學基礎課程的教學中，能夠有效地培養學生的邏輯思維能力。為了凸顯算法思想在《線性代數》知識的實用性，教師還需結合經濟管理類學生的專業特點以及學生的數學基礎，選用典型的案例。通過實際案例的深入挖掘，同學生一同經歷思考分析、算法思想呈現、問題應用推廣的過程，深入提高學生的數學應用能力。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[M].北京：人民 教育出版社，2003.4：25.

[2]項昭主編.普通高中數學選修課程的設置與教師培訓實驗研究[M].貴州人民出版社，2008.

[3]中華人民共和國教育部數學與統計學教學指導委員會.經濟管理類本科數學基礎課程教學基本要求.中國教育和科研計算機網www.edu.cn[W].

[4]伍建華.大學數學教學的現狀調查和分析[J].數學教育學報，2007.8 16（3）：36.

（作者單位：貴州財經大學數統學院）endprint