淺議高中數學開放性問題的設計

王露瑩

開放性問題設計是基礎教育領域的一個熱點。具體到高中數學，擺在教師面前的就有一系列亟待解決的問題，如：應如何理解數學的開放性問題？它的設計原則是什么？怎樣挖掘復習課中的開放性問題？如何開展有效的開放性問題教學？

一、開放性問題的研究進展

目前，對于中小學數學開放性問題的研究還未形成系統，筆者查閱了有關的中文資料，大致概括如下。20世紀90年代，開放性問題教學在我國開始興起。福建師范大學余文森教授在《試論教學的開放性》一文中提到，開放性是時代的精神特征，而教學的開放性是新課程的基本特征，只有開放的教學，才能煥發師生的生命活力，從而使教學過程真正成為師生生命成長的歷程。

自《普通高中數學課程標準（實驗）》實施以來，數學開放性問題就以不同的開放程度出現在教材與試卷中；新的《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》中也提到，教師在教學中應多運用開放性的案例，并對教學內容、教材編寫和過程評價提出開放性要求。

二、對數學開放性問題的認識

1.開放性問題的含義

通過對相關資料和文獻的查閱，筆者整理了數學開放性問題的概念：開放性問題是相對于條件完備、結論確定的封閉式問題而言的，是指那些條件不完備、結論不確定的，給學生形成了較大認知空間的問題。而數學開放性問題是一種富有教育價值的問題類型，它是為了考查學生應用數學知識解決問題的能力，激發學生獨立思考和創新的意識，提高學生的數學核心素養。這是一種新的教育理念的具體體現。

2.開放性問題的設計原則

一是恰當切入，自然開放。開放性問題的設計要自然、合理，教學的切入點要把握好，要考慮到學生的“最近發展區”。例如，在對高三年級“三角函數再認識”的內容的延伸，可以從這樣一道題目說起。

對此，教師提出了如下開放性問題：如果把條件“在△ABC中”擦去，怎么求A？（會求出無數個A）這讓學生由三角形中的解方程問題，延伸到一般的解方程問題。然后，再把A換成x、2換成f（x），此時便有了f（x）=sin 2x+cos 2x。這樣的過渡，讓學生經歷了從特殊到一般、從具體到抽象的過程，并感受到各要素間的關系。然后，教師再提問：看到這樣的函數，你們可以設計出什么問題？這樣，學生會將接下來的重點放在研究函數的性質上，從而達到了預期的教學目標。

二是入口要寬，核心開放。設計開放性問題時入口要寬，即要照顧到不同層次的學生。只有在開始呈現的問題比較簡單，才能使學困生也都參與進來，讓更多學生有所體驗、有所收獲。同時，開放性問題還應是教學中的核心問題，由學生自主探究、合作互助，從而在數學活動中積累更多的數學經驗。例如，教師可提出這樣的開放性問題：根據函數f（x）=sin 2x+cos 2x，你們可以設計什么樣的問題？對此，基礎薄弱的學生可以研究簡單的問題，如定義域、值域（最值）等；中等學生會利用對稱性、五點法畫出函數f（x）的圖像、零點等；能力更好的學生可以由零點問題延伸到等式、圖像變換等問題的討論。如有的學生設計出這樣的問題：求f（x）<0的x的取值集合；說明函數f（x）的圖像可由函數f（x）=2sin 2x圖像經過怎樣的變換而得到。學生對這個最基本但又至關重要的函數性質的認識由簡單到復雜，乃至越來越豐富。

三是課后延伸，拓展開放。開放性問題的設計還要注重課后的延伸和拓展。要逐步培養學生發現問題、提出問題的能力。因此，教師應在課后問題中設計一些懸念，以引發學生的問題意識。例如，在“三角函數再認識”的課后，請學生不用常規解法、不求角？漬解答以下問題：已知函數f（x）=sin（2x+？漬），若f（）-f（-）=2，求函數f（x）的單調增區間。

四是聯系生活，背景開放。開放性問題的設計要有現實意義和數學背景，如可以設計投資回報問題讓學生建立數學模型。

3.如何挖掘復習課中的開放性問題

一是挖掘教材。教師可以挖掘教材中的開放性問題，如當學到三角函數時，對兩角和的正弦公式sin（α+β）=sin α cos β+cos α sin β，有的學生會問“為什么不能是sin（α+β）=sin α+sin β”，教師此時不妨讓學生找一對“α和β”，使這一等式成立。

二是拓寬學生的時空觀。在課堂教學中，教師應給學生留下“自由度”，將課堂內容進行延展，留到課后繼續探討。同時，要重視教材中的實踐作業，如給學生布置認識函數的查閱資料的作業。

三是運用變式教學，設計開放性問題。變式教學是對數學問題進行不同角度、不同背景、不同層次、不同情形的變式，以暴露問題的本質，是體現不同知識間內在聯系的一種教學設計方法。變式教學能使一題多用，多題重組，通過對問題的延伸，把與這個問題相關的問題研究得十分透徹，以啟發學生的思維。例如，針對“三角函數再認識”的下一環節，進行變式設計。請學生思考某個函數式可以由哪些更復雜的式子化簡得到，將被化簡的相對簡單的公式逆向推為更復雜的式子，可以幫助學生進一步完善知識結構。例如：

三、如何開展有效的開放性問題教學

一是開放的思想是開放性問題教學的前提。教師只有先具備了開放的教學思想，才能有意識地提出具有開放性的問題，并在此基礎上展開教學，更好地發揮學生的主體地位，滿足不同學生的學習需要。

二是要處理好開放與收回的關系。在進行開放性問題的教學時，要處理好“放與收”的辯證關系。如果一味地追求開放，只關注開放性問題的教學結果，滿足于結果的多樣性，而不關注教學過程，忽視在過程中引導學生思考和發現解決問題的規律，忽視開放以后的歸納、概括、再認識、提升等“收回”的過程，也會損失開放性問題的價值。

總之，無論怎樣開放，都是為了更好地收獲；每一節課都要讓學生有所收獲，要讓課堂成為學生生命成長的舞臺。這才是開放性問題的根本目的，也是學校教育的核心價值。

（責任編輯 郭向和）endprint