理解性學習理論下的數學概念教學設計
——以“雙曲線”為例

☉浙江省杭州市余杭中學 楊 勁

數學理解性學習一直以來都是教育研究的熱點問題.所謂數學理解，就是運用數學思維對數學課堂上的學習對象進行有效的加工，并通過數學語言描述學習結果的過程；理解性學習就是建立在數學理解基礎上的學習過程，就是學習者運用先前的知識，在新的情境下進行個體心智運作和社會文化中介的交互的意義建構，并不斷獲得理解的探索和發展過程［1］.從概念構建的角度來看，概念本身又是理解學習的產物，是學生關于某個數學觀念的濃縮.因此，理解性學習的理論對于數學概念的教學具有重要的指導意義.下面筆者就以“雙曲線”為例，立足理解性學習的不同層次，談談理解性學習理論下的概念教學.

一、立足經驗性理解，展現概念“自然”的定義過程

經驗性理解是指學習者基于自身經驗對學習對象的起始性理解.這里的“自身經驗”一方面指的是學習者對日常生活中的真實世界與客觀對象的一種感悟與認識，即生活經驗；另一方面指的是學習者已有的學習經驗，比如，已有知識、思想方法體系.

學習雙曲線之前，學生已經具備了以下“自身經驗”，如下表所示：

自身經驗生活經驗 學習經驗先前內容圓①生活中的圓周運動；②用圓規畫圓①用圓的幾何性質刻畫圓的定義；②用坐標法推導圓的方程；③圓的幾何要素：圓心與半徑橢圓①行星運動軌跡；②切割圓錐得到“橢圓”；③用“繩子”畫橢圓①用橢圓的幾何性質刻畫橢圓的定義；②中心建系，用坐標法推導橢圓的方程；③橢圓標準方程化簡原則；④橢圓的幾何要素：焦點與長軸；⑤離心率決定橢圓的圓扁程度

通過對“自身經驗”的分析，立足學生的經驗性理解，我們就可以向學生呈現雙曲線“自然”的定義過程，可以通過以下問題串進行引導與啟發.

問題1：圓錐曲線有幾種，它們是怎樣得到的？

意圖：引導學生回顧切割“圓錐模型”的場景，引發對三種曲線“同源性”的思考，即學習橢圓的過程可以移植到雙曲線中.

問題2：橢圓是如何定義的，如何畫橢圓？

意圖：通過回顧橢圓的定義過程，明確圓錐曲線定義的原理——用幾何性質來刻畫曲線，而幾何性質是通過“畫圖”的方式發現的，為雙曲線幾何性質的提煉提供可以借鑒的路徑.

問題3：橢圓的定義包含了哪些關鍵幾何要素？

意圖：由于沒有能力直接“作”雙曲線，只能先分析橢圓的幾何要素，類比橢圓的定義方式，通過“改造”橢圓定義得到雙曲線定義.

問題4：到兩定點距離之和等于定長（大于兩定點間的距離）的點的軌跡是橢圓，你能對這個定義進行改造嗎？

意圖：由“和”想到“差”是比較自然的思維過程，在這個猜想的基礎上，通過動手操作或者幾何畫板演示，從而逐步發現雙曲線的幾何性質，進而提煉雙曲線的定義.

經驗化理解通常發生在學習的初始階段，它是一種低層次理解，它包含諸多的個人經驗成分，往往具有模糊、易錯的特點，比如，上述設計中，“雙曲線”幾何性質發現過程中，不可否認，把“和”變成“差”存在著“運氣”的成分，如果運氣不好，就很難達成學習目標，所以必須要把經驗性理解上升到形式化理解.

二、立足形式化理解，構建概念“系統”的獲得路徑

形式化理解意味著學習者對自身知識經驗的一種抽象性的整理、組織、概括與重新表征，能對數學的形式化符號與語言進行簡明深刻的本質化認識［2］.

【操作驗證1】旦德林雙球模型（圖1）

圖1

因為PM與PF′分別與球面相切，切點分別是M與F′，所以PM=PF′，同理可得PQ=PF.

則PF′-PF=PM-PQ=QM（定值）.

【操作驗證2】折紙游戲

第一步：在矩形的白紙上，畫一個圓，圓心記作F1.

第二步：在圓F1外任取一定點F2.

第三步：在圓F1上任取一點P1，然后將紙片對折，使得點P1與點F2重合，并且留下一條折痕，為了看清楚，可以把折痕畫出來（如圖2所示）.

圖2

圖3

第四步：再在圓F1上任取其他的點，然后重復步驟三.這樣繼續下去，得到很多折痕.觀察這些折痕圍成的輪廓，它們形成何種曲線.

證明：如圖3所示，曲線上的點是由折痕和P1F1相交而得到的，不妨設為M.根據折紙原理，折痕其實就是垂直平分線，可知|MF2|=|MP1|.所以|MF2|-|MF1|=|MP1|-|MF1|=R（圓的半徑），即動點M滿足到兩定點的距離之差為常數，符合雙曲線的定義.

意圖：通過動手操作，一方面進一步驗證“猜想”的正確性，深化對雙曲線定義的形式化理解；另一方面，能夠系統地獲得對圓錐曲線定義的統一認知，因為通過旦德林雙球模型、折紙游戲同樣可以得到橢圓與拋物線.

從經驗性理解上升到形式化理解直至結構化理解，學習者在理解的層級上已經向前邁出了一大步，但形式化理解只局限于定義的本身，無法揭示定義的外延及與其他數學對象的聯系，因而其理解的程度在豐富性、關聯性與精細化方面都顯欠缺，所以還要把形式化理解上升到結構化理解的層面.

三、立足結構化理解，揭示概念“豐富”的外延體系

結構化理解實質上是一種結構關聯性理解，其著眼點是在一種知識的關系脈絡中把握相關知識的內涵與本質.數學是一個邏輯結構很強的演繹體系，但這種邏輯結構體系往往需要學習者自己去為其賦予意義，從而在掌握數學中大大小小的結構的同時，建立一種對數學知識的結構關聯性理解［3］.

在此之前，學生對于“雙曲線”的認知并非一片空白，事實上，反比例函數的圖像就是雙曲線，學生不禁會提出這樣的疑問：反比例函數對應的雙曲線與圓錐曲線對應的雙曲線是否是同一類曲線，兩者存在著什么聯系.對于這個問題，我們可以從雙曲線標準方程的結構分析中找到答案.

從定義出發容易得到推論：以兩條相交直線A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0為漸近線的雙曲線方程為（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=k（k≠0）.反之，曲線方程（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=k（k≠0）表示為以直線方程A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0為漸近線的雙曲線.

（未完，）

更為復雜的二次曲線x2+xy-2y2+3y-4=0?（x+2y-1）（x-y+1）=3，它表示以x+2y-1=0，x-y+1=0為漸近線的雙曲線.

至此，學生“雙曲線”的認知經歷了從形到數、再從數到結構的飛躍.

對某一具體的數學知識而言，所關涉的結構越復雜、越精細，學習者對其本質的理解亦是越深刻、越完善.正如布魯納所言：“每一門學科都有一個結構，一個貼切的、美妙的結構.這個結構提供有關事物的潛在的簡約性，并且，通過學習它的本質，我們就能夠達到對這個學科內在意義的理解.”

圖4

如圖4所示，需要強調的是數學理解發展不是以高一層次來取代低層次，導致低層次的思維形態銷聲匿跡，而是以低層次思維形態作為高層次思維形態發展基礎；反過來，高層次思維形態的出現和發展又帶動、促進低層次思維形態不斷地由低水平向高水平的發展.因此，基于理解性學習理論下的數學概念教學是思維自我建構、自我完善的過程，這是理解性學習理論的核心.

1.沙涓.高中數學理解性學習的教學實踐與思索［J］.數學教學通訊，2016（36）.

2.徐彥輝.高中生對數學理解性學習認識的因素結構［J］.數學教育學報，2010（4）.

3.呂林海.數學教學中的理解性學習探究［M］.北京：教育科學出版社，2013（10）.