大陸和臺灣高中數學教材中數學文化內容的比較研究
——以“統計與概率”內容為例

☉首都師范大學數學科學學院 覃 淋

2003年頒布的《普通高中數學課程標準（實驗）》將“體現數學的文化價值”作為高中數學課程的基本理念之一，并進一步明確說明，“數學是人類文化的重要組成部分……數學課程應幫助學生了解數學在人類文明發展中的作用，幫助學生形成正確的數學觀”.［1］還提出了對“數學文化”的學習要求，設立了“數學史選講”的專題，要求學生通過高中階段數學的學習，能夠了解數學科學在人類社會發展中的作用，領會數學的人文價值、美學價值.在“教材編寫建議”中指出，教材編寫應將數學的文化價值滲透到各部分內容中.那么，高中數學教材中文化價值表現在哪些方面？文化材料的運用方式及水平如何？本文以高中數學教材中“統計與概率”內容為例，比較大陸和臺灣教材中的數學文化內容及其運用水平，了解大陸和臺灣高中數學教材中數學文化內容滲透的共性和差異，希望能為我國高中數學教材“統計與概率”內容的編寫提供一些建議.

一、研究對象

考慮教材的使用范圍及教材是否能體現所在地區課程標準的理念，再結合教材的出版時間，最后確定了表1中所列數學教材［2～5］.

表1 教材樣本及基本信息

二、數學文化內涵的界定及其運用方式

數學文化是一個涉及范圍很廣的名稱，其內涵至今并無統一的界定，不同的學者從不同的角度有不同的看法.可以說，凡是與數學有關的一切事物都可以歸為數學文化的范疇.這里我們采用顧沛教授的觀點，“數學文化”的內涵，“簡單地說，是指數學的思想、精神、方法、觀點，以及它們的形成和發展；廣泛地說，除上述內涵之外，還包含數學家、數學史、數學美、數學教育、數學發展中的人文成分、數學與社會的聯系、數學與各種文化的聯系，等等”.［6］

因此，本文所指的數學文化是廣義的，包括：數學史、數學與生活、數學與人文、數學與藝術、數學與科學，但不涉及數學思想、數學方法等.為敘述方便，我們將數學與生活、數學與人文、數學與藝術和數學與科學等數學文化內容統稱為其他數學文化，也就是說，本文中的數學文化包括數學史和其他數學文化兩大類.

（一）教材中數學史料的運用方式及其運用水平

在數學教材中運用數學史料，有較為悠久的歷史.早在20世紀初的一些數學教材中，已經開始大量運用數學史材料于教材中，只是大多以數學故事的形式出現，與教學內容關系不是特別密切.一般而言，教材中數學史料的呈現方式可分為顯性和隱性兩大類.如數學家畫像、數學家的傳記、數學概念起源的介紹、數學符號的歷史、數學家的故事、歷史數學名題等，都屬于顯性方式.顯性數學史料的主要作用是引起學生的學習興趣，激發學習動機.隱性方式則是根據實際教學，對數學史料進行改編、重構，保留歷史上相關數學概念發生發展的關鍵步驟，以潤物無聲的方式體現數學史料提供的思想和方法，所謂的“發生教學法”就屬于隱性方式.在隱性呈現方式中，數學史料的表現并不十分明顯，很多時候隱藏于一些數學概念、數學命題或例題習題之中，按數學知識發生發展的順序展現相關數學內容，讓學生在無意識中經歷數學的“再創造”的過程.

關于教材中數學史料運用方式的分類，到目前為止，得到大家廣泛認可的分類方式還沒有.本文采用華東師大汪曉勤教授建立的分析框架［7］，見表2.該分類框架是按數學史與數學知識的關聯程度，將教材中運用數學史料的方式分為5類：點綴式、附加式、復制式、順應式、重構式.若按數學史料的呈現方式看，前三種屬于顯性，后兩種屬于隱性方式.

表2 數學教材中運用數學史料的五種方式及水平

對于教材中數學史料的運用水平，采用如下的計算方法［7］：首先，按數學史料的運用水平賦值，即水平1（點綴式）賦值為1，水平2（附加式）賦值為2，以此類推.其次，利用如下公式計算教材運用數學史料的水平A=

其中，Ai表示所處水平i的數學史料的數量，Bi表示數學史料所處水平的賦值，即Bi=i，n表示教材中數學史料的總數.利用此公式，可以對不同版本教材，或是同一版本教材中不同冊次教材，或是不同版本教材中某一內容運用數學史料的水平進行量化處理.

（二）其他數學文化內容及運用方式

根據上面的約定，其他數學文化內容包括：數學與生活、數學與人文、數學與藝術和數學與科學，下面分別加以闡述.

1.數學與生活

借鑒PISA（2015）對數學問題背景的分類［8］，本文根據現實生活中的數學文化與學生的關聯程度，將數學與生活分為個人生活、公共生活兩類.具體如表3.

表3 數學與生活的分類

2.數學與人文、藝術、科學

根據教材所呈現的內容，將數學與人文內容界定為：文學、戲劇、歷史等.將數學與藝術的內容界定為：美術、音樂、電影、舞蹈等.根據科學研究的對象，將數學與科學的內容分為：地球科學、生命科學、物質科學；其中地球科學包括地理、天文、環境、自然資源、災害、氣象等，生命科學包括生物學、醫學、農業、健康、食品等，物質科學包括物理、化學、計算機、工業技術等.具體如表4.

表4 數學與人文、藝術、科學的分類

3.其他數學文化內容的運用方式

de Lange根據背景與數學問題的關聯程度將背景分為［9］：（1）無背景；（2）掩飾數學問題；（3）數學問題的有機組成部分.本文在此基礎上，根據數學文化與數學知識的關聯程度，將其他數學文化內容的運用方式分為兩類：附加型和順應型.具體如表5.

表5 其他數學文化內容的運用方式

三、結果

按照上述對數學文化內容的分類，對兩套教材在數學史、數學與生活（下面簡稱生活）、數學與人文、數學與藝術、數學與科學（下面簡稱科學）方面出現的次數與百分比進行統計，得到的結果如圖1、圖2.可能是研究的內容的緣故，兩套教材中數學文化內容涉及人文、藝術非常之少.考慮到這種情況，我們將數學與人文、數學與藝術這兩個數學文化內容的子類合并到一起，統稱為數學與藝術（下面簡稱藝術）.

由圖1知，兩套教材在數學史、數學與生活、數學與藝術、數學與科學四個方面有大致相同的趨勢，都呈斜“N”字型，兩套教材都是在數學史、藝術、科學三個方面的數學文化內容很少，而在數學與生活方面內容最多.這在圖2中表現非常明顯，這也說明在兩套教材中數學文化集中體現在現實生活方面.為更清楚的比較兩套教材在各個數學文化內容上的差異與共性，下面從每個維度來進一步詳細說明.

圖1 兩套教材數學文化內容折線圖

圖2 兩套教材數學文化內容面積圖

1.在數學史方面的特點

兩套教材中涉及數學史料方面的內容都比較少，大陸教材共有6處，臺灣教材共11處.兩套教材中數學史料的呈現方式以顯性為主，其中僅有一處運用了“順應式”的方式，大陸教材在引入概率的“統計定義”時，利用了歷史上數學家擲硬幣的試驗結果來說明：對任意給定的隨機事件，隨著試驗次數的增加，事件A發生的頻率fn（A）穩定于概率P（A），因此我們可以用頻率來估計概率［2］.

大陸教材在“統計與概率”部分涉及的數學史料包括：“回歸”一詞的起源、含義及其發展，概率的“統計定義”、數學家雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli，1654-1705）的介紹及大數定律、蒙特卡羅方法、伯努利試驗、正態分布（高斯分布）名稱的來源.臺灣教材中涉及的數學史料有：費馬（Pierre de Fermat，1601-1665）的畫像、概率論的起源、拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace，1749-1827）的畫像、概率的“古典定義”、貝葉斯（Thomas Bayes，1702-1761）的畫像、貝葉斯學派、“辛普生詭辯”問題、伯努利試驗、棣·莫弗（Abraham de Moivre，1667-1754）及高斯（Gauss，1777-1855）的畫像、正態分布（高斯分布）名稱的來源.

兩套教材中數學史料出現的位置大都在正文中，只有臺灣教材在課后習題中采用了“辛普生詭辯”問題.對兩套教材中數學史料的運用方式進行具體分析，發現兩套教材大都以“附加式”的方式運用數學史料，處于較低水平，以發生法來呈現數學知識的“重構式”均未涉及（具體見表6）.值得注意的是，臺灣教材中有大量的數學家的畫像，以點綴的方式來體現數學的文化價值，大陸教材則沒有采用此方式，而是在教材正文以“旁白”的形式對一些與教材知識有關的材料進行簡單介紹，如上面提到的“回歸”一詞的起源及發展，蒙特卡羅方法等內容.

表6 兩套教材數學史料運用方式

根據前面提到的教材中數學史料的運用水平的計算公式，我們可以計算出大陸教材中“統計與概率”內容數學史料的運用水平同樣，可以計算得到臺灣教材中“統計與概率”內容數學史料的運用水平為ZT=1.64.可以看出，在“統計與概率”部分，大陸高中數學教材數學史料的運用水平高于臺灣高中數學教材.同時表明，教材中數學史料的數量與數學史料的運用水平之間并無直接的聯系.

2.在其他數學文化方面的特點

由上面的圖1知，兩套教材在其他數學文化內容主要集中在“數學與生活”方面，在“數學與藝術”方面，兩套教材所涉及的可以忽略不計.

（1）在數學與生活方面

按照子類和運用方式分別進行統計，得到表7.可以發現，兩套教材都有較多的內容與生活緊密聯系，臺灣教材在與生活相關的內容出現的次數大于大陸教材.按子類劃分來看，兩套教材在與學生個人生活相關的內容，數量上相差不是很大，比例上大陸教材大于臺灣教材.臺灣教材與生活有關的內容主要集中在“公共生活”，大陸和臺灣教材各自所占比例分別為73.3%、81%.這說明，大陸教材比臺灣教材更加貼近學生的個人生活.而從兩套教材所涉及的內容來看，在個人生活方面，兩套教材涉及的內容大都是學生的考試成績、身高、體重等內容，范圍比較狹窄；在公共生活方面，內容則比較豐富，涉及運動（籃球比賽、足球比賽、射擊、田徑）、交通、游戲（擲硬幣、擲骰子、袋中摸球）、職業等.

表7 兩套教材數學與生活的水平分類

由表7可知，在“數學與生活”內容中，兩套教材大多是順應型，即生活背景與數學知識不可分離.這可能和本文所研究的對象有關，“統計與概率”相對于傳統的中學數學教學內容（如代數、幾何）而言，與生活的練習較為密切.如大陸教材中給出的多個閱讀材料，“一個著名的案例”、“廣告數據的可靠性”等，都說明了“統計與概率”在生活中有較為廣泛的應用.

同時，我們還發現，在“數學與生活”這一數學文化內容中，統計、概率部分有著比較顯著的區別，這一點在后面會進一步論述.

（2）在數學與科學方面

統計表明，兩套教材在“數學與科學”方面較為薄弱.大陸教材共有39處，臺灣教材僅有17處，并且超過一半的內容都是附加型的，即與教材內容可分離，去掉也不會影響學生正常的數學知識的學習.

此外，在這一內容中，大陸教材的內容多與氣象、生物學有關，臺灣教材則多與工業生產相關；兩套教材在與其他學科的交叉聯系上較為薄弱.

3.教材中統計、概率二者在數學文化滲透方面的差別

在數學史料中，大陸教材僅有1處屬于統計的內容，其余5處均是涉及概率的.臺灣教材中也僅有3處內容是關于統計的，另外8處都出現在概率內容中.這說明兩套教材都重視概率超過統計.

在“數學與生活”的內容中，如表8所示.這一內容中，統計、概率的差別非常顯著.兩套教材中，概率部分涉及生活的內容都接近統計中與生活相關的內容的兩倍.從數學與生活方面的呈現方式來看，大陸教材在附加型的呈現方式中，統計與概率二者相差不大，臺灣教材相差則比較大.在順應型的呈現方式中，兩套教材“統計”與“概率”的差別都比較大，概率部分顯著高于統計部分；臺灣教材的差別更為明顯，概率部分達到了統計部分的4倍.

表8 兩套教材統計、概率二者在“生活”方面的差別

四、結論及建議

從數學文化內容在兩套教材中出現的范圍、次數及運用水平來看，應該說兩套教材的編寫者都比較重視數學文化的滲透.但通過對教材中文化材料的運用水平的分析，發現它們與將數學文化和數學課程內容有機結合的目標還存在一定的差距.為使教材中的數學文化內容更好的促進學生對數學知識的學習，教材中融入數學文化內容的數量及運用水平上都有待改進.

1.融入更多的數學史料

數學史料的融入是數學文化的主要體現之一，但是兩套教材涉及的數學史料都很少，數學史料的運用水平也較為粗淺.大多以點綴式、附加式的方式對數學概念、符號的起源，數學家生平，歷史上的數學問題等進行簡單的介紹.如大陸教材在“旁白”中介紹了“回歸”一詞的來源，是高爾頓（Francils Galton，1822-1911）在研究祖先與后代身高之間的關系時引進的，還以“旁白”的方式簡要介紹了“蒙特卡羅”方法的興起與發展.很顯然，這種數學史料雖與教學內容相關，但很難引起學生的興趣，在課堂上教師一般也會選擇性的忽視.

可以說，數學教材中融入數學史料，是數學文化內容的直接反映.了解概率論歷史都知道，現代的概率理論開始于帕斯卡與費馬的通信.進一步考察概率論的歷史可以發現，歷史上很多材料都可用于今日的課堂教學.

以卡爾達諾（Girolamo Cardano，1501-1576）的著作《論機會游戲》（1526）為例，該書中討論了德·默勒曾經向帕斯卡（Blaise Pascal，1623-1662）提出的問題，“擲一對骰子多少次才能使出現兩個6點的機會達到50%”.卡爾達諾給出了自己的答案，不過遺憾的是，他給出的答案是錯誤的.這一問題也被意大利數學家帕喬利（Luca Pacioli，1445-1517）討論過，在其著作《算術、幾何、比和比例集成》（1494）有這樣一個問題，“甲、乙兩人進行一場公平的游戲，約定先勝6局者勝.實際上在家贏了5局，乙贏了3局后，游戲中斷.請問賭金該如何分配？”帕喬利認為賭金應按照5∶3的比例分配，這顯然是一個錯誤的答案.

另一位意大利數學家塔爾塔利亞（NicccoloTartaglia，1499-1557）也討論過此問題.在其著作《論數字與度量》（1556）中，他指出了帕喬利的答案是錯誤的.“因為兩個得分相差兩局，甲需要贏的次數僅是乙的，甲應該拿走乙賭注份額的”，所以賭金應該按2∶1來分配，但他對自己的答案是否正確也沒有信心.因此，在書中有這樣一句話，“這樣一個問題的解決是法律上的而非數學上的，所以無論怎樣分配都有理由上訴.”［10］今天我們已經知道，他的說法也是錯誤的.

這些問題顯然比今天課本中的問題有趣得多，為什么不對它們進行改編或重構，然后編入教材呢？讓學生去解一些早期數學家感興趣的問題，可以讓學生回到問題提出的時候；一個問題研究的原因、最早的解法是什么、最后的解法是什么、最好的解法又是什么，都能激發學生的興趣；并且學生在解決這些問題后，會獲得某種程度上的成就感.

2.注重數學與其他學科的聯系

數學的思想和方法已經滲透到社會的方方面面，統計與概率是數學中應用性較強的分支，其應用范圍已經涉及整個自然科學、社會科學、工程計算、管理、經濟和文學領域.通過對兩套教材中數學文化內容的統計，發現兩套教材在數學與科學、數學與藝術、數學與人文等方面都有待加強.

數學來源于現實，存在于現實，并應用于現實.現實的數學不僅僅是算術、幾何、代數、統計等數學內容的相互交織，還聯系著物理、化學、生物等自然科學和一些人文學科，這些學科中許多材料都可作為“統計與概率”教學的素材.

在數學與生活方面，也應進一步增加與學生個人生活相關的內容.對于數學的學習，不僅要與其他學科聯系，還要考慮與現實世界的聯系.“統計與概率”作為數學中應用性較強的內容，更應該聯系學生的實際生活來促進學生的數學學習，加強學生應用數學的意識，這樣學生才有可能利用所學數學知識去分析和解決實際問題.

3.數學文化內容的運用水平有待提高

從整體上看，兩套教材在數學文化內容的運用水平都比較低，尤其是在數學史料的運用上，數學史料的運用大都以顯性方式.在數學與生活方面，數學文化的呈現方式主要是順應型，與問題結合較為緊密.在這一點上，大陸教材做得比臺灣教材好.但是，我們也應看到的是，兩套教材中與學生個人生活相關的內容都比較少.而在數學與科學、數學與人文、數學與藝術等方面，數學文化內容的數量都有待增加，運用水平也有待提高.

1.中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

2.課程教材研究所，中學數學課程教材研發中心.普通高中課程標準實驗教科書A版數學（必修3）［M］.北京：人民教育出版社，2009.

3.課程教材研究所，中學數學課程教材研發中心.普通高中課程標準實驗教科書A版數學（選修2-3）［M］.北京：人民教育出版社，2009.

4.林福來.普通高級中學數學（第二冊）［M］.臺南：南一書局，2013.

5.林福來.普通高級中學選修數學甲版（上冊）［M］.臺南：南一書局，2013.

6.顧沛.數學文化［M］.北京：高等教育出版社，2008.

7.覃淋.臺灣初中數學教材中的數學史［J］.中學數學雜志，2017，（8）：33-37.

8.OECD.PISA 2015draftmathematicsframework［EB/OL］.http：//www.oecd.org/pisa /pisaproducts /pisa2015draftframeworks.htm，2017.9.20.

9.de Lange.Assessment：No Change without Problems［A］.In：Romberg TA.Reform in School Mathematics and Authentic Assessment［C］.New York：SUNY Press，1995.

10.卡茨.數學史通論［M］.北京：高等教育出版社，2004.