基于核心素養打造“生命課堂”
——以高三“應用導數證明不等式”為例

☉安徽省界首第一中學 崔 瑋

高三復習時間緊、任務重，優化課堂、提高教學效率是每位教師必須面對和解決的難題.高三復習課究竟怎么上？這與教學內容、學生知識儲備、教師教學風格等因素息息相關，難以形成統一、固定的模式，這正是教育的科學、藝術與魅力所在.

高中數學教學的目標是激發學生學習的興趣，調動學習的主動性，提高數學思維的參與度，促使學生學會數學思考，全面提升學生的數學核心素養.正是基于此，對于高三數學復習教學，我們要精心設計數學探究活動，倡導自主探索、合作探究等多種學習方式，以提高同學們的復習效率，從而提升核心素養.

高三數學復習課的教學設計一定要源于課本素材，加工整理教材，對教學內容做到透徹而精準地理解，并在此基礎上結合學情，研究考情，引領學生發現問題、表述問題、分析問題、解決問題，還原隱含的“火熱的思考”，逐步提升學生的數學核心素養.［1］筆者以發展和提升學生健康的核心素養為目標，設計了“應用導數證明不等式”一課的教學方案，供大家探討.

一、考情分析與教學目標

1.研究考題，掌握考情

本節導數的應用（不含導數的幾何意義）側重利用導數求函數的單調性、極值、最值等，所占分值為17分左右，一般理科是一小一大，即一個客觀題、一個解答題：文科是兩小一大，即兩個客觀題、一個解答題，小題從基本函數到分段函數、函數運算得到的組合函數、抽象函數等，難度有加大的趨勢.大題的函數形態不再拘泥于多項式函數，而是以指數型、對數型（或者結合分式型）函數為主，本節應用導數證明不等式在考試說明中為C級要求.在近幾年高考中，很多都是把導數設置為最后爬坡題，作為考查能力、區分能力的重要手段.

2.研讀考綱，明確目標

從知識層面上，通過本課教學使得學生熟練理解掌握導數的應用，能利用導數研究函數的單調性，求函數的極值與最值，并會用導數解決實際問題.從核心素養的層面上，通過遞進式的問題設置，引領學生學會數學地思維，最終通過數學學會思維，提升數學學科的核心素養，這就有助于用數學的眼光觀察世界，用數學的思維分析世界，用數學的語言表達世界，發展學生的核心素養.［2］

二、導數的應用教學設計

1.課前熱身，復習回顧

（1）函數f（x）=lnx過定點，則f′（x）=_______；函數f（x）=ex過定點，則f′（x）=_______.

（2）求函數y=ex在（0，1）處的切線方程.

（3）導數可以解決曲線的切線問題，請你說出導數還可以解決哪些問題？

（4）函數f（x）=x3-9x2+24x，求f（x）的單調區間.

設計意圖：問題（1）的設置，意在由學生通過自主學習，回顧指、對數函數的定點問題與求導法則；問題（2）意在讓學生理解導數的幾何意義，為后續的學習做鋪墊；問題（3）和（4）為學生的思維“熱身”，熟悉導數的簡單應用.這樣設計課前熱身的目的是希望學生通過預習讓學生熟悉導數的簡單應用，教師根據學生的回答進行適時點撥，以達到理解概念、掌握基本方法的目的.

2.回歸教材，貼地而行

師：請同學們思考如何應用導數證明不等式呢？請看例1，你有什么想法呢？

例1 利用函數的單調性，證明下列不等式，并通過函數圖像直觀驗證：ex＞x+1（x≠0）.

生1：構造函數f（x）=ex-x-1，借助于該函數的單調性探求其最小值，只需證f（x）min＞0即可得到證明.

師：你所構造的函數f（x）=ex-x-1有何特點呢？又有何預見呢？

生2：由于e0=1，所以函數f（0）=0，可以猜想f（x）min=f（0）=0.

師：你能給出嚴謹的證明嗎？

生：（板演）令f（x）=ex-x-1，f（0）=0，f′（x）=ex-1，f′（0）=0.

當x＜0時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；

當x＞0時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增.

f（x）=ex-x-1≥f（0）=0，當且僅當x=0時，等號成立.

故ex＞x+1（x≠0）.

師：我們能否通過函數圖像直觀驗證呢？請你動手畫一畫.（如圖1）

圖1

設計意圖：本例取材于人教版選修2-2習題，其設計思路是力求從學生認識規律的角度，引領學生“回歸教材、跳出題海”，在其思維水平的“最近發展區”的平臺遞進式地進行探索.教師適時點撥，引導學生構造函數，應用導數研究所構造函數的單調性，達到掌握證明不等式的基本策略與方法的目的，發展學生的數學建模、邏輯推理、直觀想象等核心素養.

3.類比思考，觸類旁通

師：你能類比上述方法，證明不等式lnx≤x-1，并通過函數圖像直觀驗證嗎？

生3：構造函數f（x）=lnx-x+1，f（1）=0，只需證明f（x）=lnx-x+1≤f（x）max≤0即可.

師：請你給出嚴謹的證明，通過函數圖像直觀驗證.生：（板演）令（fx）=lnx-x+1（x＞0），則f′（x）=-1=

當0＜x＜1時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；

當x＞1時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減.

所以f（x）=lnx-x+1≤f（x）max=f（1）=0.

故?x＞0，都有lnx≤x-1.通過函數圖像直觀驗證，如圖2所示.

圖2

師：能否應用前面的結論簡捷地證明不等式lnx＜x＜ex（x＞0），如何證明？

提示：lnx＜x-1＜x＜x+1＜ex.

師：lnx≤x-1，ex≥x+1，這兩個不等式是函數不等式問題中的“重要不等式”，其幾何解釋如圖3所示.

圖3

設計意圖：新課改特別指出：“數學教學，要緊密聯系學生的實際和生活環境，從學生已有的經驗和知識出發，創設生動有趣、有助于學生自主學習、合作交流的問題情境，使學生通過數學活動，獲得基本的數學知識和技能，學會從數學的角度去觀察事物、思考問題，進一步發展思維能力，激發學生的學習興趣，增強學生學好數學的信心.”本例與思考題旨在引領學生學會類比思考，觸類旁通，學會學習，讓學生感受到“跳一跳就可摘到桃子”的欣悅，激發學生學習數學的熱情，進而掌握應用導數證明不等式的方法與策略，提升學生的數學建模、邏輯推理、直觀想象等核心素養.

4.開枝散葉，合作探究

師：請看例2，你有什么想法呢？

例2 若?x＞0，都有ex≤x+a，求a的取值范圍.

生4：利用函數最值法，構造f（x）=ex-x-a，使得f（x）max≤0.

生5：利用變量分離法，轉化為ex-x≤a在（0，+∞）上恒成立，令g（x）=ex-x，只需g（x）max≤a.

師：兩位同學的方法都很好！還有其他方法嗎？

生6：應用數形結合的思想，作出函數y1=ex與函數y2=x+a的圖像，如圖4所示，函數y2=x+a的圖像是斜率為1的直線系，易知a≤1.

圖4

師：非常好！不過，數形結合思想的應用有待于嚴謹性的邏輯證明，正是“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休（華羅庚語）.”請給出本例三種思路的解答或幾何解釋.

（學生自主探索，教師巡視，適時點撥）

師：下面請思考：若?x∈R，都有ex≥ax+1，求a的取值范圍.

生：（學生提供思路，教師同步板演）令f（x）=ex-ax-1，則f′（x）=ex-a.

若a≤0，則f′（x）=ex-a＞0，f（x）在R上單調遞增，此時，當x→-∞時，函數f（x）→-∞，不符合題意.

若a＞0，令f′（x）=ex-a=0，得x=lna.

當x＜lna時，f′（x）＜0，所以f（x）在（-∞，lna）上單調遞減；

當x＞lna時，f′（x）＞0，所以f（x）在（lna，+∞）上單調遞增.

所以函數f（x）的最小值f（x）min=f（lna）=a-alna-1.

故只需f（x）min=f（lna）=a-alna-1≥0.

師：思路受阻了.如何由a-alna-1≥0來求解實數a的范圍呢？這是一個超越函數不等式，怎么處理呢？

生7：（略顯遲疑）再構造新的函數，二次求導可以嗎？

師：我們一起來試一試.

令g（a）=a-alna-1（a＞0），則g′（a）=1-（lna+1）=-lna.

當0＜a＜1時，g′（x）＞0，所以g（a）在（0，1）上單調遞增；

當a＞1時，g′（x）＜0，所以g（a）在（1，+∞）上單調遞減.

故g（a）≤g（a）max=g（1）=0，當且僅當a=1時，等號成立，故a=1.

設計意圖：本例的設計是在學生掌握基本知識和基本技能的基礎上，引領學生對數學知識的理解、應用更透徹、更深入，適時地將應用導數證明不等式的“根”進行開枝散葉，提升數學核心素養，發展學生的邏輯推理、直觀想象、數學運算等核心素養.

5.縱深探索，追求靈動

師：請看例3，你有什么想法呢？

例3（2016年廣州一模）已知函數f（x）=mex-lnx-1.當m≥1時，證明：f（x）＞1.

師：請思考：這是一個什么問題，處理這類問題的方法有哪些？你能嘗試一下嗎？

生8：當m≥1時，要證明f（x）＞1，只需證明mex-lnx-2＞0，設g（x）=mex-lnx-2，研究g（x）的單調性，求出最小值，使其最小值大于零即可.

師：我們一起來試一試.

證明：因為f（x）=mex-lnx-1，要證明f（x）＞1，只需證明mex-lnx-2＞0.

設g（x）=mex-lnx-2，則g（′x）=mex-

這是一個超越函數的方程，怎么處理呢？（思考片刻）

因為g′（1）=me-1＞0，當x＞0，h（x）=g′（x）→-∞，所以函數g′（x）=上有唯一零點x，且x∈00（0，1）.

因為g′（x0）=0，所以，即lnx0=-x0-lnm.

當x∈（0，x0）時，g′（x）＜0；當x∈（x0，+∞）時，g′（x）＞0.

所以當x=x0時，g（x）取得最小值g（x0）.

故g（x）≥g（x0）=mex0-lnx0-2=

綜上可知，當m≥1時，f（x）＞1.

本解法中，要找到h（x）=g′（x）＜0的一個解，是一個難點，我們可以靈活地運用極限的思想來加以說明.

師：我們還有什么方法簡化以上的求解過程呢？本例中出現的m≥1，能否靈活地放縮呢？

師：（證法2）當m≥1時，f（x）=mex-lnx-1≥ex-lnx-1.

要證明f（x）＞1，只需證明ex-lnx-2＞0.

當x∈（0，x0）時，g′（x）＜0；當x∈（x0，+∞）時，g′（x）＞0.

所以當x=x0時，g（x）取得最小值g（x0）.

綜上可知，當m≥1時，f（x）＞1.

點評：當我們研究函數的極值大小時，經常遇到一些較難確定大小的代數式

故g（x）≥g（x0）=而x0又是一個無法算得的數值，這時我們利用可導函數在極值點處的導數為零這一條件（如lnx0=-x0-lnm），消去某些式子，得到較為簡單的代數式使研究更為簡便，發展學生的邏輯推理、數學運算、數據分析等核心素養.

師：我們認真審題會發現，本例中既出現了代數式ex，也出現了代數式lnx+1，而在例1、例2中論證了含有這樣的代數式的兩個重要不等式，那么我們可以怎樣簡化以上的求解過程呢？

生9：我有了一個優美的解法！

（證法3）易證明ex≥x+1（x∈R）（當且僅當x=0時取等號）.

所以ex-1≥x（當且僅當x=1時取等號）.

當x＞0時，兩邊取自然對數，則lnx≤x-1（x＞0）（當且僅當x=1時取等號）.

再證明mex-lnx-2＞0.

因為x＞0，m≥1，且ex≥x+1與lnx≤x-1不同時取等號，所以mex-lnx-2＞m（x+1）-（x-1）-2=（m-1）（x+1）≥0.

綜上可知，當m≥1時，f（x）＞1.

生10：老師，我的解法幾乎是無字證明！

（證法4）要證明f（x）＞1，只需證明ex-lnx-2＞0.

只需證明（x+1）-lnx-2＞0，即x-1≥lnx，易證.

綜上可知，當m≥1時，f（x）＞1.

師：沒有想到呀！你們真是青出于藍而勝于藍，老師為你們點贊！

設計意圖：有些課堂表面看起來很流暢，也很熱鬧，但仔細分析就會發現學生對知識的學習往往是“浮光掠影”、淺嘗輒止，“行云流水”的背后缺乏對數學內涵必要而深刻的理解.“學非探其花，要自拔其根.”（唐·杜牧）意思是說探究不能停留在表面上，要尋根究底，挖掘問題的數學本質，使整節復習課有一個靈魂.本例證法3、4可看作證法2的優化，通過對參數的巧妙處理，避免了參數造成的不便，思維更加深刻，方法更加靈活，掌握一些重要不等式中蘊含的思維方法，快速找到解題突破口，從而來強化學生的思維能力，提升學生的數學核心素養.

6.反思小結，提高認識

不等式的證明可直接構造函數，利用導數來研究函數的單調性，解題中要將待證不等式適當變形，恰當構造函數，轉化為所熟悉的數學模型，然后進行求解，常用的有三種方法：直接求最值、構造函數法、放縮法等.

三、基于核心素養的高三數學復習的思考

1.對數學核心素養的理解

高中數學學習的目標是：獲得進一步學習及未來發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗（簡稱“四基”），提高從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”），增強應用和創新意識；發展數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析等數學核心素養，用數學的眼光觀察世界，用數學的思維分析世界，用數學的語言表達世界；提高學習數學的興趣，增強學好數學的自信心，養成良好的數學學習習慣；樹立敢于質疑、善于思考、嚴謹求實的科學精神；認識數學的科學價值、應用價值和文化價值.［1］

數學核心素養是具有數學基本特征的、適應個人終身發展和社會發展需要的人的關鍵能力與思維品質.教學要始終圍繞考生的核心素養的發展而進行.數學核心素養的提升，并不是簡單地傳授知識，而是在教學過程中要始終關注學生知識的獲得過程，鍛煉學生的思維能力，形成數學思想方法、注重情感熏陶和良好習慣的養成.這樣學生通過數學的學習，思維能力得以提升，數學表達能力得以提高，學生能正確理解數學知識，并能用數學知識合理解釋直至創造性地解決數學問題，這樣才能發揮學生的核心素養，才能把提升學生的核心素養落到實處.

2.核心素養生成的教學要立足于核心素養的生成機制

教師的學科素養是學生核心素養提升的關鍵和前提，是教師知識素養和思維素養的結合.在教學中，教師通過整合教材，立足實際，根據學情，創設恰當的問題情境，依據教學的內容和學生的認知規律，充分關注學生的學情，以有利于學生建構知識的問題情境為主要標準.通過簡單的問題情境，凸顯數學知識的本質，使學生更容易參與到數學知識建立的過程中，從而主動建構數學知識，發展思維，提升核心素養.［2］

因為知識的習得過程是一個漸進的過程，是由具體到抽象，由特殊到一般的生成過程.教學中從學生的最近發展區進行設計教學活動，營造寬松的問題情境氛圍，促使學生不斷去思考，啟發學生思考，重過程輕形式，重分析輕結果，注重知識的形成過程，讓學生經歷知識的形成過程，還原數學思維過程，獲得必要的活動經驗，培育學生的思維能力，把提升數學核心素養落實到課堂.

3.提升教師基于核心素養的教學素養

數學教學中，數學核心素養的落實策略的迫切性日趨引起重視.但問題是，素養是無法教的，它只能在一定的載體下通過潛移默化的熏陶才能逐步形成的.在學校教育中，這個載體主要是學科知識的學習，教師要為發展學生的核心素養而教，需要“仰望星空、腳踏實地”的行動，作為數學教育的實踐者，特別是一線教師，發展學生的“核心素養”，課堂教學該怎么做？發展核心素養如何落實在課堂，這是擺在我們教師面前的現實問題.

數學教學要以有效的數學活動為支撐，以恰當的問題情境為依托.在數學教學中，教師應力求從學生熟悉的問題情境出發遞進式設計數學問題，用強烈的豐富的感性材料，創設出使學生躍躍欲試、尋根問底的情境，把抽象的知識具體化，讓學生在探索活動中進行主動建構，主動思考，提升思維能力，從而欣賞和感受數學的無窮魅力，體驗數學的理性精神，提升數學核心素養.［3］

教學時，教師要有意識地選準具有示范性、發散性、延伸性的試題，加以引伸、拓寬、變化，引導學生從形式的“變”發現本質的“不變”，從本質的“不變”探索形式的“變”的規律，旁通知識的橫向聯系，揭示其內在的聯系與規律，從中提煉出數學思想、數學方法，領悟思維的誘導、調整、進階、完善，重新全面梳理知識、方法，注意知識結構的重組與概括，精學一題、妙解一類，固化于型、內化于心，進而形成一個有序化、條理化、網絡化的高效的有機認知結構，促使學生有層次地、遞進地理解數學本質，從而提升學生的數學核心素養.這就是數學教學的核心.

1.岳峻.例談數學核心素養如何落實在課題［J］.中學數學（上），2017（7）.

2.岳峻.以數學審題探核心素養如何落地［J］.數學通報，2016（11）.

3.章建躍.數學核心素養如何落實在課堂［J］.中小學數學，2016（3）.F