回歸 變式 提升
——以“函數復習”為例談高三數學課教學策略

☉江蘇省常熟市尚湖高級中學 馬怡平

高三數學復習課遵循課程計劃標準而不得隨意增減課時，因此，提升高三數學復習課的效率是高三總復習階段尤其重要的問題.下面以筆者聽到的一節高三函數復習課為例，就該節課帶給了我們的啟迪、思考和示范談幾點筆者的思考.

一、在回歸課本的基礎上緊抓主干、構建網絡

該老師在課的一開始就向學生提出了問題：回憶高一學期以及近期復習的函數內容，你們對函數主要內容、方法以及知識結構方面有體會嗎？緊接著，該老師引導學生從函數的結構功能這一角度重新認識了函數的核心內容.然后展示課前設計的四道小題讓學生在練習中加深對函數核心內容的感悟.

（1）某市收取居民月用水時采用了如圖1所示的階梯式收費法，李銘家今年1月用水量為14噸，應付_______元水費.

（2）已知直線x=a，定義域為［0，6］的函數y=（fx），兩圖像有______個交點.

（4）已知函數f（x）=sin4x，將其圖像向左平移至少______個單位后，該函數為偶函數.

從以上4個小題不難看出，函數題的求解應多多利用數形結合的方法，但定義域問題是作圖時應該要注意的.

評析：（1）高三數學復習課往往會在知識點的梳理上下功夫，這樣的復習雖然對學生知識網絡結構的建構極有好處，但耗時多且學生相對被動也是如此復習可能存在的弊端.但該老師的這節課讓學生在知識的自我回顧與復習中抓住了知識的主干與結構本質，學生在自主整理知識要點與重點的同時也張揚了個性.學生在“由薄到厚”的讀書中最終實現了“由厚到薄”、綱舉目張的過程轉變.

（2）該老師安排的這4小題雖然起點低，但卻具有函數習題的典型性且各有側重.文字語言和圖像語言之間的轉譯和表達是第1小題練習的側重點；加強函數概念的理解是第2小題練習的側重點；提升學生數學閱讀與認知能力是第3小題練習的側重點；加強學生對函數圖像特征的理解與把握是第4小題練習的側重點.這4個小題的解決使得學生對函數部分的系統結構和本質特征產生了更深的體會和感悟.

（3）第4小題是該老師借班上課了解學生學情之后臨時添加的，這一行為及時且果斷，學生在函數與最近所學內容的結合學練中煥發出了更強的積極性.

（4）該老師面對這樣幾道填空題也堅持讓學生上黑板板書，這樣的舉動對于學生解題的規范性、邏輯性以及簡潔性是極有好處的，很多說不清道不明的東西也在板書中得到了更好的體現，學生對解題的評價、糾錯等也會更加直觀，對題目本質加深理解的同時正是學生知識內化的過程.

二、在變式中揭示方法、滲透思想

雖然夯實基礎與基本方法是高三復習時的主旋律，但停留在這些基本點上的做法也是不妥當的.《考試大綱》明確提出了命題應著眼于知識網絡交匯點的具體要求.因此，高三數學教師應該樹立知識“交匯點”的運用意識，并因此制定出有針對性的教學舉措來應對著眼于知識交匯點的各個命題.因此，該老師也有了以下設計：

例1 對?x∈［1，3］，不等式x2+2x+m≥0都成立，求m的取值范圍.

將學生的回答進行歸納后得出以下解題思路：①二次函數圖像法；②利用單調性解題；③分離參數法.解決恒成立問題的一般方法也因此得以歸納出來.

該老師在學生解題的基礎上對方法③作進一步的分析與探討，把參數m分離，要使不等式在［1，3］上恒成立，轉化成m≥-（x2+2x）在［1，3］恒成立，故求出函數f（x）=-x2-2x在［1，3］上的最大值即可.而f（x）=-x2-2x在［1，3］上的最值可以利用函數單調性或圖像可以求解.因此，上題可變式為：?x∈［1，3］，使不等式x2+2x+m≥0成立，求m的取值范圍.同時又提出問題：

問題1：這兩題有不同的地方嗎？

問題2：若將以上不等式轉化成m≥-（x2+2x），滿足條件的m的范圍應該如何去求呢？

問題1的答案是明顯的.學生經過一定的思考也很快得出了問題2的答案，對?x∈［1，3］，求出函數f（x）=-x2-2x在［1，3］上的最小值就可以了.

少數學生已經能夠理解、掌握恒成立和存在性問題之間的區分了，但該老師并不滿足于此，繼續提問：我們班同學中最大與最小年齡分別是20歲和17歲，現在，年齡x滿足①m≥x成立，其中滿足條件的m的范圍應該如何去求呢？②存在x，使m≥x，滿足條件的m的范圍應該如何去求呢？學生在熟悉的背景中學習頓感輕松.

該老師緊接著又進行了變式：

若?x∈［1，3］，且令x2+2x+m≥0成立，則m的取值范圍如何？

思考方法跟上題相比是類似的，關鍵是求出f（x）=x2+2x在［1，3］上的最值.

追問：若是填空題，如何才能盡快求出f（x）=x2+2x的最值？若是解答題，又應該如何去求f（x）的最值.

學生經過簡短的思考很快便產生了小題運用復合函數的單調性、解答題運用求導或單調性定義來解決問題這一答案.該老師在學生的思維上進行了板書以規范學生的解題過程.

從以上題組的練習與分析可以得出研究函數問題的基本點是其單調性，而函數問題研究與解決的交匯點則是不等式與導數等知識的交匯.涉及參數的函數問題則應該首先將參數分離并轉化.

評析：在知識網絡的交匯點處進行例題的設計并進行變式，所有的問題經過比較與辨析都轉化成了函數問題的核心內容——單調性問題，數形結合等數學思想在這樣利于總結的比較與分析中得以滲透，教學的近期與遠期目標也更加和諧與統一.

三、通過解題策略的指導促進學生能力提升

立足基本點、形成交匯點并最終抵達制高點的高考數學復習往往還需要直覺、估算、轉換視角等思維方式參與才能取得最為完美的效果.

例2已知奇函數f（x）是R上的單調增函數，數列｛an｝是等差數列，且a2＞0，試證明：f（a1）+f（a2）+f（a3）＞0.

圖2

分析：（1）采取具體例子或圖像來降低解題抽象度；（2）化整為零，局部解決.

證明：因為a2＞0，而f（x）是在R上的增函數，所以f（a2）＞f（0），而f（x）是在R上的奇函數，故f（0）=0，所以f（a2）＞f（0）=0.又因為｛an｝是等差數列，故2a2=a1+a3＞0，所以a1＞-a3，所以f（a1）＞f（-a3）=-f（a3），即f（a1）+f（a3）＞0，從而f（a1）+f（a2）+f（a3）＞0.

利用直觀圖像得到f（a2）＞0是本題得以求解的關鍵，一旦將問題轉化成f（a2）＞0的證明，那么此題的突破口完全展現了.

根據本例我們可以知道，數形結合的思想方法在函數性質的研究中往往能使學生在直觀的圖像中輕松找到問題解決的突破口.

不過，課堂教學活動到這個時候并沒有結束，“變更命題后將會產生哪些新問題”是該老師拋出的又一啟發學生思考的問題.

學生在該老師的啟發下又從原命題、逆命題、否命題等各個角度嘗試進行命題的變更，這一連串的新命題正是該老師留給學生課后思考、討論、證明的作業.

評析：（1）該老師通過背景介紹與解題策略指導將一道比較有難度的例題放在了師生互動交流討論中，學生的思維方式在這個過程中得到了很好的優化，教育功能一目了然.（2）變更命題后產生哪些新問題的追問使得例題更具開放性和拓展性，課堂活動即將結束階段的思維高潮令學生往往意猶未盡，學生對解題步驟的完善往往產生更大動力.

這是一堂從基本點著手教學的案例分析課，學生在教師的引導中學會了歸納數學思想與方法.例題的變更也使得學生在分析問題、變更問題以及解決問題的過程中不時經歷思維的沖浪，學生在意猶未盡的思維海洋中不斷加深對知識的探究與鞏固，課堂效率不同凡響.