以武思學
——管窺復習教學的設計境界

☉浙江省湖州市第二中學 羅展華

☉浙江省湖州市第二中學 沈 恒

眾所周知，復習教學相比新知教學要更難演繹，究其原因首先是復習教學知識點多且散亂、不宜找到重點；其次復習教學如何調動學生的積極性、開發學生的思維是難點；最后作為公開課，需要有一定的示范性和前瞻性，既鑄造了自身復習教學特色的烙印，也給學生留下了新的思考、新的啟發.筆者在一線教學多年，也對復習課教學情有獨鐘.近期筆者在本地區給年輕教師示范一堂數列復習課，授課之余筆者也頗有些想法與讀者交流.

筆者以為，學習和習武是相通的，試想：一代宗師都是從“扎馬步”開始，學習“基本招式”；在不斷的學習中“改進招式”；在不斷的改進中青出于藍而勝于藍的“創造招式”；最后達到參悟“武學意境”的頂峰.我們的教學何嘗不是如此，從全新課程標準提出的核心素養來看，掌握基本知識——善用基本技能——創造改編問題——參悟知識，不恰恰是如此嗎？筆者將習武的認知與數列復習教學結合起來，較為創新的開設數列求和復習課，從某一個點進行深入和發散，將學科素養呈現其中，現將課堂教學實錄與大家分享，請讀者批評指正.

一、教學實錄

師：同學們大家好.和同學們一樣，在成長道路上我拜讀過很多武俠名著，書中習武之人都有“基本招式”——“改進招式”——“創造招式”——“武學意境”這樣的習武歷程，那么同學們在數學學習中也有這樣的感悟心得吧？

生1：我想學習數學應該也是如此，首先應該是扎實的基本功，進而是解決新的問題，再次是思考創造一些新的問題，最后思考從這樣的學習過程中得到的一些學習經驗和總結.

設計意圖：拉近學生之間的心理距離，從學生感興趣的認知和學情出發，設計“習武”與“學習”的感悟對比，通過回顧以往數學學習過程中如何形成知識的螺旋式上升，給課的走勢定下基本基調.

1.基本招式

條件：已知數列｛an｝和｛bn｝滿足：an=2n，bn=3n-1（n∈N*）.

問題1：記｛an｝前n項和為An，記｛bn｝前n項和為Bn，求An和Bn；

問題3：若cn=log3bn+1，求｛cn｝前n項和Tn；

問題4：若cn=a·nbn，求｛cn｝前n項和Tn；

師：請同學們思考，上述問題如何解決？

生2：問題1是最基本的等差、等比數列求和，運用基本公式法就可以！

生4：問題3代入化簡，可以得到cn=log3bn+1=9n-1+n，典型的分組求和！

生5：問題4cn=a·nbn是等差數列乘以等比數列的典型模型，應該使用錯位相減解決！

生6：觀察問題5的結論，讓我想起了學習等差數列求和公式時所提到的S=1+2+…+100，高斯用倒序相加的想法輕松地解決了問題.所以我從（fn）+（f1-n）這一角度入手思考，通過簡單的運算，我發現只要自變量之和為這樣問題就輕松解決了！

師：同學們說得很好！看來大家對數列求和的基本招式掌握得都比較扎實，我們用二十個字總結數列求和的基本招式：“公式求和+裂項相消+分組求和+錯位相減+倒序相加”，這是數列求和最基本的解決招式！特別是問題5，同學們用類比的數學思想將倒序相加很好的表述了，我們進一步在基本招式的基礎上研究改進招式！

設計意圖：首先問題的背景都是同一總條件，這樣的設計好處在于節省了復習教學在審查題意上的時間、提高教學效率；其次，數列求和并不是采用一一羅列知識點的傳統復習方式，而是以問題為載體的復習提煉，具備知識點與問題情境的融合統一；再者復習教學從一開始就積極引導學生積極參與，讓課堂成為教師主設計、學生主參與的學習陣地.

2.改進招式

師：在基本招式的問題上，我們先來看看老師給出的改進招式：

問題6：若cn=|10-an|，求｛cn｝前n項和Tn.

師：請同學們想一想，在等差數列通項上帶有絕對值，如何借助基本招式來破解呢？

生7：我覺得首先必須借助分類討論，將問題分解成兩部分解決.不妨記Pn=10-2n，記｛Pn｝前n項和為Sn，則易得Sn=9n-n2. 當1≤n≤5時，Tn=Sn=9n-n2，當n≥6時，Tn=2S5-Sn=n2-9n+40，因此

設計意圖：本題的改進緣自2013年浙江高考文科數列解答題，基于絕對值等差數列的基本研究方式需要依仗分類討論的數學思想，將問題在基本等差數列的基礎上進行了加強，既感受了這是基本招式上的深化，也深刻體會了高考問題緣自基本試題不經意的轉變.

問題7：將｛an｝、｛bn｝中各項按a1、b1、a2、b2、a3、b3…排成一個新數列｛cn｝，求cn及｛cn｝前n項和Tn.

師：將問題按照穿插進行改進，請大家思考如何求解cn的通項公式及其前n項的和？

生8：a1、b1、a2、b2、a3、b3…依次為2、30、4、31、6、32…，通過研究數列各項的規律，可以發現是如何書寫嚴密的求解過程還沒想好.

師：從項數角度思考，我們發現an位于數列cn中的奇數位置，其每一項在cn中位置分別為第1、3、5…，an中的第n個數恰為cn中的第項，因此當n為奇數時，cn=2+；bn位于數列cn中的偶數位置，其每一項在cn中位置分別為第2、4、6…，bn中的第n個數恰為cn中的第項，因此當n為偶數時進一步考慮｛cn｝前n項和Tn.

生9：需要分類，可以先求解n為偶數時｛cn｝前n項和Tn，考慮到n為偶數時，cn中的項來自an和bn中的項各占一半，因此當n為奇數時，我們可以借助已經得到的偶數項的結論進行求解，，所以

設計意圖：將問題進行穿插融合，不難發現簡單的等比、等差數列也可以產生大問題，從項數角度進行分析，特別是關注原數列在新數列中所處的位置是解決問題的關鍵，也是學生重要的易錯點.從基本招式進行的項數角度的改進，從學生最懼怕數列的視角——（無限的）項數突破，進而提高復習針對性.

設計意圖：本題的設計是為教學內容轉向做準備和鋪墊的，筆者在數列求和的復習中進一步引入了與之相關的最值問題求解，進一步拓展了“改進招式”，以期待學生在“創造招式”能有更為廣泛的思路.

3.創造招式

給學生一定的探究時間，請學生板演其“創造的招式”，下面的問題全部出自學生的命制：

學生創造招式1：若cn=3an+2bn，求｛cn｝前n項和Tn.

學生創造招式2：若cn=a2n+2bn+1，求｛cn｝前n項和Tn.

學生創造招式4：若2an=Sn·Sn+1，求Sn.

學生創造招式5：若cn=abn，求｛cn｝前n項和Tn.

這是五位學生在課堂中自己創編的問題，筆者驚嘆學生在有限的時間內學生的創造力，與學生一起對學生創編的問題簡單做出了剖析：

學生自我剖析1：與問題3類似，利用分組求和解決.

學生自我剖析3：與問題4類似，利用錯位相減解決.

學生自我剖析4：這是學生命制的一道很有想法的、研究數列通項的問題，可以發現學生在進行問題命制的時候，首先其通過特殊值的方式研究數列Sn前幾項，進而通過隔項成等比的方式進行求解.

學生自我剖析5：學生較有創意的將數列下標引入到通項公式中，進而從兩者結合的角度進行了分組求和.

設計意圖：從學生的視角體會哪些數列求和以及相關問題是學生比較關注的，讓所有學生參與的創編以及自主解決這些創編，真正做到了在課堂教學中“以學生為主體”的教學設計，從而開發學生如何將數學知識自我整合的思維和能力，提高了學生數學運用的綜合能力.

4.學習意境

限于課堂教學時間有限，筆者給出了教師層面對于問題的進一步開放創編，供學生課后進一步對數列相關知識在綜合性問題中的整合性考查展開研究：

問題14：若cn=an·bn，問｛cn｝中有無連續三項成等比？請說明理由（.由cn-·1cn+1=c2n顯然不成立，故不存在）

問題15：若cn=a2bn-1，問b·kbk+（1k∈N*）是否為｛c2n｝中的項？請說明理由（.b·kbk+1=32k-1為奇數，而cn=4·3n-1-2為偶數，故不可能為｛cn｝中的項.）

問題16：將數列｛bn｝中的第三項、第六項、第九項…劃去，得到一個新數列｛cn｝，求｛cn｝前2n項的和T2n.

問題17：若，求｛cn｝前n項和Tn的取值范圍.（由，由裂項相消得結合函數單調性可知

設計意圖：在學生親身感受了問題的創編之后，教師給出了各種具備聯系其他綜合性知識的問題儲備，尤其以問題9、10、12、13從函數視角研究數列，是體現數列作為具備函數特征最好的本質體現.從這一系列問題的給出，我們不難發現，從數列基本求和出發（基本招式）——絕對值數列與奇偶項數列求和的研究（改進招式）——學生創編問題（創造招式）——數列求和演變綜合性問題思考（學習意境），螺旋式上升的體現了課堂教學設計的主體與發散，有效的提高了數列求和復習的深度和廣度.

師：讓我們對數列求和進行課堂小結.

生11：回顧了求和的基本知識，以及含有絕對值的數列求和以及奇偶項的分類求和等等.

師：從知識層面來說，同學們總結的非常好.我們用下面的圖示結構展示今天所學：

設計意圖：參透學習的境界，正是將武俠小說中“如何習武”與數列學習中“如何復習”緊密的連線，層層遞進、螺旋上升，既有濃郁的文化氣息，又不失數學形式化的味道，兩者具備共性的本質聯系讓課堂教學達到頂峰.從學科素養的角度來說，學習本課的主要目的，在于管窺學習的一個過程，讓學生獲得學習的一類方式是學習的關鍵，以此滲透數學學習的學科素養.

二、教學反思

1.生本意識，立足可動

《普通高中數學課程標準（實驗）》指出：“學生的數學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，高中數學課程還應倡導自主探索、動手實踐等學習數學的方式.這些方式有助于發揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創造”過程，鼓勵學生在學習過程中，養成獨立思考、積極探索的習慣，力求通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數學發現和創造的歷程，發展他們的創新意識.”可以這么說，沒有學生參與的課堂教學是低效的、無能的，而學生能否真正參與進來，立足兩點：其一教師肯不肯在教學設計環節為學生設計探究時間，合理的設計可以保障探究的有效性.其二課堂教學環節中問題選擇的合理性，從心理學角度來說，適合學情的問題設計是學生積極參與探究的關鍵.

本課筆者為學生的“動”設計了兩個平臺.其一，在“基本招式”環節，通過問題設計、學生自主回顧求和基本方法為整個課堂定下積極參與、主動探求的基調.其二，在問題創編環節，發揮學生無限創造力，感同身受的體會熱點問題考查就在我們身邊，只要積極思考、發展思維品質，真正地做到課堂屬于學生、問題來自自我思考，恰如愛因斯坦說的：提出一個問題往往比解決一個問題更重要！

2.建立觀念，滲透文化

借助走遍大江南北的中華武俠文化，本課合理地整合了武俠精神和學生學情，將武俠文化與數學教學進行了有效的融合，通過問題研究的不斷提高、螺旋上升，促進學生復習視角的延伸和知識整合角度的思考，既建立了如何讓學習不斷進步的良好觀念，也感受了蘊含在武俠小說中的人生之道.

《普通高中數學課程標準（實驗）》指出：“數學課程應幫助學生了解數學在人類文明發展中的作用，逐步形成正確的數學觀.”數學之美，低端欣賞在于視頻、圖片等“美觀”層次；數學美的“高端”欣賞在于和人文意境的溝通，本課融入武俠中的“習武”悟性，更多屬于意境的溝通與升華，不斷在向學生滲透人生感悟、讓學生懂得欣賞數學中的生活哲理，用數學的眼光來感受生活.

3.注重細節，精益求精

課后筆者也對細節進行了全面的剖析與點評，認為在某些方面存在改進的空間：

（1）問題8的設計是敗筆，本課在問題6、7后達到課堂教學的頂峰，若此時讓學生介入試題命制更能讓課堂達到思維的高峰，此處的問題8畫蛇添足，反而降低了課堂的精彩程度.

（2）問題7的教師引導過程稍顯抽象，特別是如何闡述奇偶項在原數列中所處的位置，教師的引導、分解還需要細化：若能以換元思想介入，如則教學過程顯得更為完美.

（3）問題8、問題17的表述還需要進一步完善，考慮到數列中的項是不連續的，因此“求｛cn｝前n項和Tn的取值范圍”的表述不夠精準，改為“求證”更為恰當.

（4）點評環節設計不足，既然學生積極參與問題的編制，在后期學生解決、點評環節更需要學生的積極參與，可以設計諸如：“你最喜歡哪些同學創編的問題？”“為什么呢？”等等，讓參與過程做到更為自然、讓學生的交流更水到渠成.

4.反思感悟，凸顯真經

本課所采用的復習課教學設計以問題條件共背景的形態展開、以多達十七個問題串的形式給出（部分問題課后繼續探究），采用探究和講授結合的教學方式，在課堂教學過程中，頗有“百家爭鳴”的味道！于大而已，有春秋戰國的百家爭鳴，于小而已，有今天好聲音舞臺上的歌者呈現不同曲風的嘗試，都在做一些多元化的探索.筆者認為，若將本課用連堂課的模式進行，效果會更佳！也可以采用陶行知先生提出的“小先生制”做一次探索嘗試，讓復習課教學呈現多元化的嘗試和思考.

多年的教學經驗告誡筆者：課堂教學不僅在于應試，更要有高一層次的境界追求，這也是教師專業化發展對于教師課堂教學水平、教學藝術的一種提煉，讓課堂既要腳踏實地、也需仰望星空，這樣的復習教學才讓學生的思維有“悠然見南山”的成長！因此，在復習教學中多嘗試一些不同教學理念的滲透、文化的融合，將其運用到教學實踐中，讓復習課關注高效、讓探究講求真實、讓教法選擇自然、讓復習課堂注重深度和廣度，使課堂教學能夠達到一種自然而不做作的教學意境.

1.羅展華.東臨碣石以觀滄海——一次說題活動的嘗試與感受［J］.數學教學通訊，2016（9.

2.吳成海.數學教學設計應著力于思維培養［J］.中學數學（上），2014（8）.

3.沈恒.課堂教學行走在“兩極”之間［J］.中學數學（上），2016（5）.