在“意譯”中培養思維能力，提升邏輯推理數學素養

☉江蘇省金湖中學 陳萬斌

邏輯推理是指從一些事實和命題出發，依據邏輯規則推出一個命題的思維過程.主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹.邏輯推理是得到數學結論、構建數學體系的重要方式，是數學嚴謹性的基本保證，是人們在數學活動中進行交流的基本思維品質.

在邏輯推理核心素養的形成過程中，教師要教會學生對問題進行“直譯”外，更加注重教會學生對問題進行“意譯”，“意譯”更能培養學生的理性思維能力，同時教師要引導學生能夠發現問題和提出命題；教會學生掌握推理的基本形式，表述論證的過程；培養學生關于數學知識之間的聯系和建構知識框架的意識；形成有論據、有條理、合乎邏輯的思維品質，增強數學交流能力.

一、觀察式子外在特點，采用變化推理解題

例1定義在R+上的函數f（x），滿足f（x）+xf′（x）＞0，求不等式f（x+1）＞（x-1）f（x2-1）的解集.

解析：由f（x）+xf′（x）＞0可知［xf（x）］′＞0.

令g（x）=xf（x），知g（x）是（0，＋∞）上的增函數，所以f（x+1）＞（x-1）f（x2-1），所以（x+1）f（x+1）＞（x2-1）f（x2-1），即g（x+1）＞g（x2-1）.

評議：對式子進行變形，合乎推理條件.

例2 已知M（-1，0），P是圓C：x2+y2-6x+1=0上的動點.

評議：對等式進行變化，抓住條件推出結論.

例3 設數列｛an｝滿足且對任意的正整數n，滿足an+2-an≤3n，an+4-an≥10×3n，求a2016的值.

解析：因為an+4-an≥10×3n，又an+4-an=an+4-an+2+an+2-an≤3n+2+3n=10×3n，則an+4-an=10×3n且an+2-an=3n.

評議：分析兩個不等式的特點，進行綜合推理.

二、抓住圖形內含條件，進行轉化推理解題

例4 如圖1，已知直線l1：mx+y-1=0過定點A，直線l2：x-my+2+m=0過點B，直線l1與直線l2的交點為P，求PA+PB的范圍.

解析：由題意可知A（0，1），B（-2，1）.

又l1⊥l2，所以∠APB=90°，AB=2.

圖1

評議：分析習題的內在條件，合理解決.

例5 已知A（-3，-4），B（0，-1），求∠AOB的平分線所在直線的方程.

解析：由已知條件可知OA=5，OB=1.

因為OC=OA，所以平行四邊形OAMC為菱形，如圖2所示.

故∠AOB的平分線為直線OM，即方程為y=3x（x＜0）.

評議：利用角平分線的性質，創造推理的條件.

圖2

圖3

例6 已知過點P（6，8）的直線l1和l2，且l1⊥l2，l1與y軸交于點A，l2與x軸交于點B，滿足S△AOB=S△PAB，求直線AB的方程.

解析：如圖3，過O點作OM⊥AB，過P點作PN⊥AB，垂足分別為點M，N.

所以Rt△PHN≌Rt△OHM，所以HM=HN.

點M與N重合或者H為MN的中點，可知點M（3，4）且N（3，4）或者H（3，4），B（6，0）.

評議：對條件進行聯想，合情推理.

三、挖掘習題隱形本質，利用內化推理解題

例7已知f（x）=x3+ax-a2x+2，如對于一切x1，x2，x3∈［0，1］，總存在以f（x1），f（x2），f（x3）為三邊長的三角形，求正實數a的取值范圍.

解析：分析題意可知f（0）＜f（1）+f（1），解得0＜a＜2.

評議：分析問題得出本質，推出方法.

例8 如圖4，在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x2+y2-4x=0，若直線y=k（x+1）上存在一點P，使過點P所作的圓的兩條切線相互垂直，求實數k的取值范圍.

圖4

評議：分析問題的內涵，優化推理.

例9 若直角坐標平面內兩點P，Q滿足條件：（1）P，Q都在函數f（x）圖像上；（2）P，Q關于原點對稱，則對稱點（P，Q）是函數f（x）的一個“友好點對”（點對（P，Q）與（Q，P）看作同一個“友好點對”）.

解析：可畫出f（x）的示意圖，如圖5.

圖5

圖6

由題意可設函數g（x）圖像與函數h1（x）圖像關于原點對稱，本題變為只求函數y=g（x）與函數y=h2（x）的圖像交點個數即可，由圖6知有兩個交點，所以f（x）的“友好點對”有2個.

評議：審視題意，合情推理

四、采用不同解題策略，深化邏輯推理素養

解析：g′（x）=x2+（m+4）x-2.

如函數g（x）在（1，3）內是單調的，即在（1，3）內是遞增或遞減的，則當1＜x＜3時，g′（x）≥0或g′（x）≤0恒成立，所以-（m+4）≤或-（m+4）≥恒成立，解得m≥-3或m≤

評議：審視習題，思維發散.

例12 在數列｛an｝中，a1=m（m為正整數），an+1=

解析：把b2分解成兩部分，如何分解成為解決問題的關鍵.

評議：反之逐級推理

邏輯推理的核心是培養學生善于分析、規范推理、合乎邏輯的思維品質，是培養學生數學嚴謹性、思維的、條理性的途徑，也是學生進行建構數學、重視推理過程、體驗成果、感受成功快樂的渠道，更是培養學生發現問題、探索問題、增強交流合作意識的手段，學生只有在老師長期引導和合作下，邏輯推理的數學素養定能加強和深化.

1.章建躍.數學核心素養如何落實在課堂［J］.中小學數學（高中版），2016，（3）.F