基于關聯的“斐波那契數列”教學設計*

☉浙江師范大學教師教育學院 李懷軍

☉河南師范大學數學與信息科學學院 侯學萍 賈蕙宇

2016年9月發布的《中國學生發展核心素養》將“實踐創新”素養提到了一個十分顯著的位置.該素養的培養最終需要依靠學科來幫助學生形成創新意識.不過，這一教育目標得以真正實現，其前提條件之一是數學教師必須有創新的意識和觀念.而教育部和日本東芝公司自2008年開始合作舉辦的“東芝杯”中國師范大學理科師范生教學技能創新大賽（以下簡稱“東芝杯創新大賽”），就在促進中國師范生教學技能創新能力、中國教師自主創新能力的提高起到一定的輻射和引領作用.該大賽最為突出的亮點是創新獎的設置，以獎勵參賽的所有學科中在教學內容、教學形式與教學手段諸多方面富有創新和模擬授課表現突出的選手.在第七屆“東芝杯創新大賽”中，基于關聯視角設計的“斐波那契數列”一課有幸獲得創新獎.

一、“斐波那契數列”教學設計的總體思考

“斐波那契數列”是人教A版高中數學必修5第二章“數列”第1節“數列的概念及簡單表示法”課后的閱讀材料，在“等差數列”與“等比數列”兩節之前.教材按照背景知識、遞推公式、在自然界中的呈現、《斐波那契季刊》的順序進行了簡要介紹，也呈現出一定的知識性、趣味性、科學性與教育性，但略顯不足.加上閱讀材料欄目未被“課標”列入教學內容，所以“斐波那契數列”這節內容并沒有引起大多數一線老師的關注.

教學設計能力是教師專業水平和教學能力的關鍵，其本質是“理解數學，理解學生，理解教學”［1］的水平和能力.如果考據斐波那契數列本身，以及把它放在數列章節的總體框架中，可以發現幾個被人所忽略的問題：

其一，斐波那契數列遞推公式的出現略顯突兀.某種程度上，這可能會造成該知識點產生和發展過程中所蘊含的遞推思想被輕視.

其二，盡管學習了“數列的概念及簡單的表示方法”，但一部分學生對數列的本質和遞推思想的理解并不完全到位.斐波那契數列這個知識點的“再創造”教學有助于化解這一問題，也利于學生快速把握后續“等差數列”與“等比數列”知識的本質.

其三，能否以遞推公式為內容主線、邏輯推理為邏輯主線，從知識之間的關聯視角組織材料.

其四，以斐波那契數列為背景的試題在近些年較為頻繁地出現在高考試題中，所以學習“斐波那契數列”也很有必要.

最后，斐波那契數列作為一個既古老又被代代數學家探究新性質，并且具有相當難度的數列，蘊含著豐富的科學價值、應用價值、人文價值和美學意義.是否有必要考慮學生的生活環境，在教材和教學中彰顯斐波那契數列的時代特征？

正如徐文彬所說：“學習就是因關聯而存在的，而教學則是為關聯而存在的.”［2］基于以上分析，對于“斐波那契數列”的教學，給出如下的教學設計與實踐.

二、“斐波那契數列”的教學簡錄

教學過程主要包含情境創設、問題探究、規律探究、拓展探究四個依次進行的環節.

（一）趣味游戲，創設情境

師生一起做“挑戰不可能”數字游戲：對于1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610……這列數，任意選取連續十項，借助計算器，在5秒鐘之內（設置“倒計時”提醒）求其和.

教學反饋1 創設的游戲情境平中見奇：融入央視大型原創勵志節目——“挑戰不可能”元素，富有時代特色；“倒計時”所營造的氛圍使學生迅速進入課堂狀態，引發好奇或懷疑.

（二）提出問題，探究發現

簡要介紹斐波那契的出生年代、著作等背景知識，引出一個關于兔子繁殖的問題（簡稱兔子問題），并指出后人正是通過對該問題的逐步探究得到了斐波那契數列.

【兔子問題】如果一對大兔子（具有繁殖能力）每月能生1對小兔子（一雄一雌），而每一對小兔子在它出生后的第三個月里，又能生1對小兔.假定在不發生死亡的情況下，由1對初生的小兔子開始，50個月后有多少對兔子？

1.合作探究，遞推公式

該問題的解決就是一個數學建模的過程，最為關鍵的環節是對兔子繁殖規律——每一對小兔在它出生后的第三個月里，又能生下1對小兔——進行數學化理解和表示，即抽象概括出它的數學本質.

為便于學生理解和分析，在PPT上分別用灰色和黃色的兔子圖形表示一對新生小兔和一對成熟大兔，并用表格動態呈現各個月兔子的總對數、成熟大兔個數以及新生小兔的個數.

首先從簡單情況下手，逐月分析前5個月兔子的對數，并填寫表格，按相應順序播放PPT，顯示漸增的兔子對數，以幫助學生形成初步的感性認識.再以第4個月為例專門進行分析以發現規律.

師：4月的兔子分為幾類？各是什么？

生1：兩類，一類是（成熟）大兔，一類是（新生）小兔.

師：4月的大兔個數等于哪個月兔子總數？

生2：三月份兔子總數.

師：那4月的小兔個數呢？

生3：等于二月份兔子數.

師：也即四月份兔子總數等于三月份與二月份兔子數之和.那5月份呢？是不是也有這個規律？

大家回答“是”.

師：同樣，五月份兔子總數等于四月份與三月份兔子數之和.你發現了什么規律？

停頓一會兒，學生思考.

師：每個月兔子數等于……？

全體學生回答前兩個月兔子數之和.

師：第50個月呢？

生4：等于第48個月與第49個月兔子數之和.

師：如果用Fn表示第n個月的兔子總對數，那Fn呢？

學生答Fn+2=Fn+1+Fn，或者Fn=Fn-1+Fn-2等.

這種看似平淡的“對話”，卻利于學生真正發現兔子繁殖規律所蘊含的遞推關系.由此，根據起始兩個月的兔子總數就可以推算出各月（含第50個月）兔子的總對數，從而形成一列有序的數，即斐波那契數列.其中每一個數被稱為斐波那契數.以下是它的遞推公式：

教學反饋2 通過對每個月兔子來源的分類討論，發現兔子繁殖規律的數學本質是一種特殊的遞推關系.這個“再創造”過程，有助于學生形成遞推意識、運用符號進行正確表征.

（三）美之欣賞，神奇呈現

看起來非常普通的斐波那契數列，卻在自然界中有著非常廣泛的呈現（PPT展示）：吊竹梅、梅花、飛燕草這些花花瓣的數量恰好都是斐波那契數；向日葵的螺旋、松果種子的排列、菠蘿表面的突起也都對應著某個斐波那契數.

（四）揭曉答案，探究規律

斐波那契數列不僅具有神秘的自然之美，還有非常豐富的數學之美（其他有趣的性質）.

1.數學之美，游戲揭秘

首先，揭開剛上課時教師挑戰游戲成功的秘密：實際上是根據斐波那契數列這個性質：

【性質2】任意連續10項之和必等于第7項的11倍，即Fn+1+Fn+2+…+Fn+10=11Fn+7，用第7個數乘以11得到結果.

教學反饋3 這一設計與創設的情境構成相扣一環.學生久久未能得以解決的一個困惑終于有了一個明確的回應，利于培養學生求真的理性精神.

2.類比推理，性質探究

對于斐波那契數列而言，連續兩項之和（相加）可以得到下一項.這不禁會引發類比猜想：連續兩項進行其他什么運算，又會得到什么有意思的結果？經過思考和討論，學生認為連續兩項之商可能會有意義.于是教師借助PPT——計算一個比值，閃爍出一個紅點——進行快速、動態演示，如圖1所示：

1÷2=0.5 2÷3≈0.666 7

3÷5=0.6 5÷8=0.625

8÷13≈0.615 4 13÷21≈0.619 0

21÷34≈0.617 7 34÷55≈0.618 2

55÷89≈0.618 0 89÷144≈0.618 0

圖1 取值的動態變化圖

【性質3】斐波那契數列每一項與其后一項之比越來越趨近于一個常數0.618！

教學反饋4 在類比中猜想新命題，通過演示進一步驗證該命題的可靠性.這種類比與實驗的方法有助于學生發現和提出命題，建立數學知識之間的關聯，提高合情推理能力.

（四）數列變形，拓展探究

以上討論的均是數列本身的性質.接下來對其進行變換——對其各項平方，探討所形成的新數列1，1，4，9，25……的性質；之前是從數的角度，現在換成從形的角度來探究.

1.以形助數，以數解（釋）形

教師用自制的正方形磁性教具演示：12，22分別看成邊長為1、2的正方形的面積，并引出問題：從形的角度入手探究這個新數列有什么性質.

師：每個組都有1，1，2，3，5，8這些以斐波那契數為邊的正方形（磁性教具），請同學們嘗試著把前2個正方形拼在一起，前3個、前4個分別拼在一起，看看依次能拼得什么圖形？觀察拼得后的圖形的面積用它的邊長應該怎么表示？

學生以小組為單位動手操作、合作探究，教師做個別指導.給予充分的時間，學生拼出圖2左側的若干組合，也有部分小組利用所有的正方形磁性教具得到圖2右側的拼接方式.

圖2 學生所拼接的圖形

圖3 學生所列的對應的等式

師：大部分學生都能拼出圖2中的幾個圖形，并相應列出圖3各個等式，每個等式右端的這些數都是斐波那契數列中相鄰兩項乘積.這樣我們就可以歸納出前n項的平方和等于？

生5：Fn×Fn+1.

師：這樣就得到了斐波那契數列這一性質：

教學反饋5 在探討性質4的過程中，學生直觀想象，利用磁性教具，以形助數，嘗試發現規律：以斐波那契數為邊的前n個正方形的面積和等于第n個斐波那契數與第n+1個斐波那契數的乘積；以數解（釋）形，用符號正確表述規律.這利于學生建立良好的數學直覺，提升數形結合的能力，從而更好理解事物本質和發展規律.

2.數列升華，實例應用

“借題發揮”：觀察黑板上組合圖形的拼接特征——邊長為1的正方形放在了中間，緩慢演示：在這些正方形里面畫一個90°的扇形，由里到外連接起來就形成一條弧線——斐波那契螺旋線.

“升華數列”：斐波那契螺旋線可以讓整個畫面呈現出一種美感.因為從圖中的主體作為起點，按照螺旋線進行構圖，可以創造出引人注目的視覺體驗.這種構圖方式應用非常廣泛.同時播放自制的微視頻：藝術繪畫（達芬奇的名畫《蒙娜麗莎》、徐悲鴻的名畫《馬》）影視作品（熱播劇《瑯琊榜》）和工業設計（蘋果手機logo）進行感受和欣賞.

“數列應用”：一位美國少年根據斐波那契數列制作了一棵太陽能樹，其能源效率據說比普通光伏電池板高出20%～50%.

教學反饋6 于學生“典型”的拼接圖形之處深入挖掘，借助現代信息技術，將奇妙的斐波那契螺旋線與貼切的文化和時代元素進行整合，有機融入到微視頻中.加上對美國少年根據斐波那契數列制作太陽樹的介紹，使得數列變形這部分的探究在人文價值、應用價值和審美情趣上得以升華.

三、進一步的思考

本教學設計以問題為線索，引發學生的認知沖突，突出合情推理；以遞推公式為內容主線、以邏輯推理為邏輯主線，關注知識間內在的關聯；以有助于學生對現實問題中蘊含的數學模式進行思考、判斷、轉化和應用的理念引導學生把握數學內容的本質，感悟數學的思想，較好地詮釋了數學作為一門研究自然規律的科學的本質.

1.建立數列本章基本知識以及數列與其他章節之間的關聯

教師要使學生學會在先前學的概念和技巧與將要學的內容之間建立聯系.比如，斐波那契數列遞推公式概念的理解與掌握，既是對上一節所學遞推公式概念的運用，又有利于學生深刻理解等差與等比數列的概念；性質1的學習，有助于發現性質3；借助磁性教具溝通了數列與幾何領域的關聯.總之，“使各個部分的內容聯系起來，形成有機整體，融會貫通后將其運用到數學問題解決過程中.”［3］

2.建立知識的“再創造”與學生基本數學活動經驗之間的關聯

弗賴登塔爾強調：“學習數學的唯一正確方法是實行‘再創造’”［4］.換言之，“數學教育的本質在于引導學生重新發現概念與原理，從而構建數學知識體系.”［5］在教師引導下，學生從自己的知識和經驗從發，經歷“兔子問題”的提出、聚焦、數學化，到斐波那契數列概念的獲得；通過“直觀想象、動手操作、數形轉換、合理猜想”等學習方式，學生探究出性質4.通過系列探究活動，學生將“遞推思想”順應于自己的知識結構中.以上的“再創造”過程，其核心是“學生的主動探究……在其中，學生必將積累大量的數學活動經驗.”［6］

3.建立數學與文化及其他領域之間的關聯

“數學文化是一個開放、多元、動態的系統……也包括數學與其他人類文化的互動關系.”［7］對于這個既古老又被代代數學家探究新性質，并且具有相當難度的斐波那契數列，以獨特的情境，貼近學生生活實際的方式——藝術繪畫，影視作品，產品設計，太陽能樹——藝術性地呈現出來，使剛接觸數列概念的高中生能夠很好地理解并學以致用，真切感受到“數學是自然與社會相互聯系的一種工具”［8］.

4.建立教學環節之間的關聯

游戲情境創設與游戲揭密前后呼應；動手操作、合作探究發現性質4，與欣賞斐波那契螺旋線前后關聯……這些安排都有助于改善教與學的方式，使學生主動學習，提高教學質量.

1.章建躍.全面深化數學課改的幾個關鍵［J］.課程·教材·教法，2016（5）.

2.徐文彬.關聯與想象是學習與教學的實質［J］.江蘇教育：小學教學，2013（9）.

3.范文貴.美國關聯數學課程研究及啟示［J］.外國中小學教育，2009（3）.

4.弗賴登塔爾.作為教育任務的數學［M］.陳昌平譯.上海：上海教育出版社，1999.

5.曹廣福，張蜀青.論數學課堂教學與評價的核心要素——以高中倒數概念課為例［J］.數學教育學報，2016（4）.

6.顧繼玲.聚焦“基本數學活動經驗”［J］.數學教育學報，2016，（1）.

7.張維忠.數學教育中的數學文化［M］.上海：上海教育出版社，2011.

8.張維忠.數學文化與數學課程［M］.上海：上海教育出版社，1999.