堅守發展學生數學核心素養的主陣地
——課堂

☉湖北省華中師范大學第一附屬中學 周龍虎 殷希群

課程改革深度聚焦于“核心素養”，旨在積極探索發展學生核心素養的途徑與舉措，從而實現“培養人”這一工程的精細分解與核心把握.我們都不會否認一個共識，學科核心素養的落地點主要是課堂.什么樣的課堂才能實現核心素養“落地”呢？我想絕不是指向解題技能的課堂，也不應是指向知識運用的課堂，而是指向思維培養的課堂.培養思維的過程就是培育核心素養的過程.章建躍博士認為“發展學生數學核心素養的教學”與“思維的教學”并沒有本質差別，不必把它神秘化了.在深化教育改革的今天，我們的確沒有必要另起爐灶去落實核心素養，但我們同時也要認識到思維的教學不能紙上談兵，要有對象（即內容）；不能泛泛而論，要有針對性（即核心），發展核心素養是精致化的思維教學，并為發展全面素養服務.從課堂所承載的任務來看，學生在教師引導下通過對基礎知識的學習以掌握基本技能，并領會基本思想，積累基本活動經驗，長此以往才能形成“會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界”（史寧中語）的學科核心素養，并最終進階為有理性精神、樂于協作、善于交往、敢于質疑、勇于創新的核心素養.我們對課堂的期許不能止于某一階段（實際上，只有極少數的課上升到了“核心素養”的層面上），否則這樣的課大多都會淪為低效，甚至是低品位的，它與素養是無關的.

高中數學課程標準修訂組從學科本身特征以及學科價值提煉出高中數學核心素養的六大要素：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析.數學抽象與數學概念息息相關，通過觀察生活實例、特殊事例，探究出研究對象的一般本質.邏輯推理，學生經歷創設情境，歸納事例、推理命題，得出數學結論.數學建模源于數學，用于生活，重在培養學生解決實際問題的能力.直觀想象與幾何密切相關，觀察圖形特征，直觀感受，有助于學生空間想象能力的形成、直觀模型的建構.數學運算貫穿于代數領域，數的學習有利于數感的形成，數感的建立有助于學生對數的理解.數據分析與統計相關，信息源于數據，通過分析數據，形成分析數據的能力.“要素集”的確定，對于我們教學目標的制訂、教學觀察以及學習評價提供了新視角與多維度.數學核心素養源于課程內容，高于課程內容.數學核心素養高度抽象，反應數學的本質和思想，是蘊含于課堂中的.課堂教學中，教師通過情境的創設、問題的啟發、思維的引導等等，可以幫助學生經歷觀察、分析、討論、歸納、推理、建構等過程，使得學生的數學學習邏輯連貫一致、思維系統統一，最終形成超越知識與技能的數學核心素養.

我們所追求的“生本”或“生態”課堂應是平衡的課堂，如課堂控制與課堂自由的平衡、“問”與“教”的平衡、體現過程與追求結果的平衡等等，動態平衡才是最穩定的平衡，一成不變終會發生傾斜.因而課堂的常態應是“變化中的課堂”.不同教學內容下教與學的方式的多樣性，能有效拉近與數學的距離，從而實現學科核心素養的軟著陸.具備了學科認同感，興趣方能引領學科核心素養.教師的預設與學生課堂學習活動所生成的真實教學過程是不太一致的.課堂教學不是按照劇本演戲，每時每刻都可能發展“美麗的意外”.這種變化的課堂，不僅拉近學生與數學的距離，擦出思想的火花，更讓學生對數學有高度的認同感.比如，偶爾出現的類比、推理、歸納、聯想、特殊化等思維活動，都能提出問題，形成研究思路.變化中的課堂，創造了多樣的思維活動，起到了數學知識和數學思想的育人價值，是實現“四基”“四能”向核心素養過渡的主渠道，是實現發展數學核心素養的主陣地.

課堂的生長力和張力始于教學理解，以教學設計的方式.教學設計的出發點應是“培育什么類型的核心素養，方式是怎樣的”.培養素養要面對全體學生，關注他們的認知基礎；要倡導建構式學習，關注他們探索的過程；要著眼發展，要把核心素養的培養當成教育的最終目標.

深刻的教材分析，巧妙的知識處理，恰當的教法選用，是上好一節課的必備舉措，更是培養數學核心素養的基本保障.

教材如何利用？籠統地說，首先，教師要學習、掌握教材知識，即教師先學與學生后學產生共情；其次，教師要深刻理解教材、剖析教材，即明確從何處舀一桶水，何處盛一碗水，做到必講時透徹之致，不講則據為教學底氣.是“用教材教”還是“教教材”，是“直譯教材”還是“重組教材”，對教材和認識深淺與處理方式折射出不同的教材觀.數學教材是眾多專家學者的智慧結晶，兼具科學性、權威性.探析教材的意蘊與風格，我們可以體會它的簡潔之美、概括之準、說理之強.更重要地是站位于學生視角，文本素材的背后是已有經驗與新知欲求的關聯與沖突，是學科方法與核心思想的集中反映，是透過現象看本質的智慧啟迪.

以“核心素養”為本位的教育從以“知識”為本位的教育一路走來，我們不能盲目摒棄傳統，要以正確的知識觀作指引，知識才能形成能力，能力才能塑就素養.什么是正確的知識觀呢？新知識觀認為，認識對象并不是獨立于主體的客觀存在，缺乏認識主體的認識興趣及其他許多與認識行為相關的條件，就不會有任何的認識對象.學習者要認識到：知識應該置于不同環境，環境可以告知知識的意義與價值；知識要相互聯系（即知識不能形成“孤島”），唯有邏輯才是聯通知識的針線；知識要發生作用，知識能釋義（不僅唯于知識范疇），能體現人的情感態度及價值觀.

如何根據教學內容和學生實際確定教學方式，我們可以從最近發展區理論中得到啟示.維果斯基曾特別指出：“我們至少應該確定兒童發展的兩種水平（已經達到的與可能達到的水平），如果不了解這兩種水平，我們將不可能在每一種具體情況下，在兒童發展進程與接受教育可能性之間找到正確的關系”.教師是“多教”還是“少教”，引導的時機如何把握，教學的節奏如何調整，都決定著學生是否能順利地實現最近發展區的跨越.

下面筆者以橢圓的教學為例，從上述三個方面談談培育數學核心素養的想法.

一、深刻的教材分析，明確數學核心素養的培養目標

課堂中核心素養的落地，需要教師仔細研讀課程標準，深刻領會學科核心素養的內涵，把握核心素養的具體目標及其之間的內在聯系，在每一節數學課堂中設計出切實可行的核心素養目標.簡言之，我們要將將每個數學知識所滲透、所蘊含的數學素養和學生發展核心素養梳理出來，并從關聯一般素養中確定實施的具體辦法.筆者以橢圓教學中的幾個教材處理點展開來談.

1.橢圓定義中“兩定點”從何而來？

關于橢圓定義的呈現方式各異，或通過與圓的定義類比得到，圓是平面內到一定點的距離等于定長的點的軌跡的集合，如果是兩個定點呢？仿佛“從魔術師的帽子里拿出一只兔子”一樣，學生在面臨新問題時也較難頓生類比思維；或基于旦德林雙球模型的橢圓定義教學，這是教材章頭圖的背景.前者側重從學生已有經驗入手，通過類比、聯想等形式建模，實現核心概念的引入，突出直觀想象、數學建模的重要性.而后者需要學生從經典且復雜的幾何模型中抽象出簡單的點、線元素滿足的定量關系，對數學抽象的要求較高.因而教師需要做大量的知識鋪設，引導學生從復雜的立體幾何圖形中（或是圓柱或是圓錐背景下）發現“橢圓上動點到橢圓曲線與兩球切點的距離和為定值”的特殊性質，從而抽象出橢圓的定義.

我們知道，得到數學概念尤其是核心概念的過程最典型的是數學抽象的過程.從這個意義上講，后者的做法直接指向學科特有的研究手段及思路，對于數學素養的培養要更勝一籌.但如此借史切入，回到原始定義固然遵照了科學發展史實，但難免對學生構造探索的要求太高，因而需考量學生的學業水平.或許我們可以尋求一個“中間地帶”，聯系學生生活實際，觀察太陽光斜射到籃球形成的影子是橢圓，一個定點是球體與投影面的交點，根據圓的對稱性猜想必有另一個定點，定值的探求方法就與旦德林雙球模型中定值求法一致了.因而，教師只有認真研究教材，對定義中的關鍵字“兩定點”足夠敏感，才能足夠“多謀”.

2.橢圓方程中“標準”是什么意思？

橢圓的標準方程相較直線的方程而言，多了“標準”二字，不能簡單認為只是表述不同而已.從“數”上講，只有方程為焦點在x軸上）和方程為焦點在y軸上）的橢圓方程才是標準方程，通過平移變換后的曲線方程m2+n2≠0）就不能稱為標準方程了.更直觀地，從“形”上觀察，橢圓的標準方程是建立在特殊坐標系下得到的曲線方程，即中心在原點，坐標軸為對稱軸.究其方程的“標準”與“不標準”，實質上，不礙于橢圓的性質，只是為了研究的便利，體現了坐標化思想的滲透.坐標化思想是解析幾何的核心思想，亦是本質，在其他知識板塊中也有較多體現與運用，如數列、向量等，是溝通代數與幾何的經典數學方法.但學科思想的內化不是朝夕可至的，需要至始至終的作外顯化的工作，再適時滲透.教師感受得越真切，學生才愈有感觸，這是共情的教育效果，這是熏陶的魅力.正如周國平所說，素質是熏陶出來的.學生學科素養的培育也要依靠師者個人的學科認同感及學科情懷.

3.橢圓的第二定義的講解需要“另起爐灶”嗎？

橢圓的第二定義指平面內與一個定點的距離和它到一條定直線的距離之比是常數的動點M的軌跡叫做橢圓，定點為橢圓的一個焦點，定直線為橢圓的準線，常數e是橢圓的離心率.是否一定要按照定義求出動點M的軌跡方程呢？更一般的做法是直接求軌跡方程，完全不考慮問題的共性特征，不遵從思維的連貫性，儼然是一個完全陌生的問題.實際上，在橢圓標準方程的推導中，化簡有一步為，稍加變形，兩邊同時除以就已是第二定義的雛形了，這應是第二定義的引入最為自然、合適的時機.因而，橢圓的標準方程的推導就必須讓全體學生親身操作，切不可認為耽誤時間而失去一個培養學生數學運算素養的大好時機.

4.橢圓的幾何性質研究什么？

我們試想一下，畫出一個橢圓，請學生回答應研究其什么性質？學生的回答很可能七零八落.為什么會出現這個現象呢？指導思想、方向引領很重要！學生已有的相關經驗沒有被調用到解決此問題上，這就需要教師的深刻的教材分析能力，適當搭設腳手架，找到其本質.二次函數的圖像及性質到一般函數的性質是我們研究過的，橢圓的軌跡實際上是由兩個函數“拼接”成的，共性不會少.研究二次函數的頂點就聯想到橢圓的頂點，也可以說是一般函數的特殊點；研究一般函數的定義域及值域就聯想到曲線的范圍；研究二次函數的對稱性就聯想到曲線的對稱性；研究二次函數的開口的大小就聯想到橢圓的扁平程度.

5.橢圓的幾何性質揭示了什么方法？

就數學知識而談數學知識的教學必然是不生動的，因為沒有剖析其中數學原理，沒能上升到數學思想、方法層面.學生在教師的引導下，較容易研究出橢圓的頂點、范圍、對稱性及離心率等性質，但較難自覺歸納出解決問題的方式.頂點怎么求？頂點是曲線特殊的交點（對稱軸與曲線的交點），故可通過列方程組求頂點坐標.范圍求解的方式多了，學生更多的是通過“形”上的觀察而知，不知道利用數（式）的非負性建立不等式，從而得到范圍.實際上，就是善于把等式“溝通”成不等式，即列不等式求范圍.對稱性怎樣論證呢？折疊橢圓小紙片不行，肉眼觀察更不行！基于圖形的對稱問題實際上是點的對稱問題的認識，任設曲線上點的坐標，通過點的對稱關系論證了橢圓的對稱性，真正做到了化整為零.離心率怎樣定義？由形上橢圓的區別反映出不同的扁平程度，如何用具體確切的數表示出來呢？此思維過程揭示了用數形結合方法（這里是由形構造數）研究曲線扁平程度.

重知識、重能力的教學觀是沒錯的，但不重思維的發展，培養學科素養也僅是一個口號罷了！例如，我們學習等差（或等比）數列求和公式，公式本身的運用是很重要的一個層面，但公式推導中的倒序相加（或錯位相減）的方法、轉化的思想（將非特殊數列轉化為特殊數列的思想奠基）才是有益于數學思維能力提高的最寶貴資源.又如，式子（x+y+z）7中項x3y2z2的系數的探求，其二項式系數的推導思路就是解決此問題的良法，將推導思想不知不覺地運用于解題，才得其法.

二、巧妙的知識處理，助推數學核心素養的提升

作深刻的教材分析，教師能明確教學中的三維目標、教學重難點，乃至厘清了核心素養，那么怎么講，如何把這些知識串起來呢？巧妙的知識處理則是傳授知識、培養能力、提升思維有效方法，是培養數學核心素養的基本保障.

在課堂教學中，以問題為導向，著眼問題的視角（從問題拓展角度，從問題關聯內容，從問題猜測角度，從問題提出角度），通過感受、歸納、操作等活動，形成研究思路.筆者基于“問題引導，問題解決”的教學模式設計，給出一個橢圓的幾何性質（一）的案例，以期各知識的落實.

方程和函數很相似，函數常研究哪些性質呢？以二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）為例回顧一下函數常研究的內容（頂點、定義域、值域（變量的范圍），對稱性，奇偶性，單調性等等），從而提出下列問題：

問題1：你覺得應該從哪幾個方面來研究橢圓的的簡單幾何性質？

學生回答了范圍、對稱性、頂點后，教學一步步展開.對于對稱性，考慮到學生的認知發展規律，由形到數，先直觀操作感受，再理性科學論證，故而提出.

問題2：觀察圖形，你認為橢圓有怎樣的對稱性？你能通過折疊和旋轉的方法說明你手中橢圓紙片的對稱性嗎？（操作體驗，學生展示）

歸納提煉得到對稱性的研究方法：通過檢驗兩個對稱點坐標是否同時滿足方程來判斷圖形的對稱性.在教師的引導下，研究完橢圓的對稱性后，學生已初具研究思路，剩下的頂點及范圍可以交由學生完成，因而提出問題4.

教師引導學生歸納提煉出兩點方法，頂點坐標的求法：將對稱軸方程和橢圓方程聯立求解；范圍的求法：利用平方的非負性建立不等式求解.探求完橢圓的三個性質后，為及時鞏固所學并自然引入下一個性質——離心率的研究，設計了一例題，如下：

例1 利用橢圓的幾何性質作出橢圓的草圖（學生作圖，教師點評）：

從上例中我們看到，有的橢圓圓些，有的扁些，橢圓的扁平程度就是橢圓一個重要的性質了，如何刻畫橢圓的扁平程度呢？提出問題5.

問題5：分別從以下兩個角度思考，用a，b，c中的哪兩個量的比值可以刻畫橢圓的扁平程度？（1）例1的作圖；（2）定義法作橢圓.

（獨立思考→小組交流→代表匯報→教師補充）

兩個子問題表明：可用a，b的關系或用a，c的關系刻畫橢圓的扁平程度.哪一個最合適呢？引發學生展開思考，橢圓標準方程的推導是出于便利的考慮才引進字母b，因而用表示離心率才能揭示問題的本質.從而歸納得到：觀察圖形的變化對參數的影響找到描述橢圓扁平程度的量，即數形結合的思想.對焦點在x軸上的橢圓的性質研究完后，展示研究成果，讓學生完成焦點在y軸上的橢圓的幾何性質，提出問題6.

之所以把焦點在x，y軸上的橢圓的性質全部研究完，不僅僅是出于完備性的考慮，更是讓學生體會到橢圓的性質是不依賴坐標系仍舊成立的，我們用坐標系是為了研究的便利，體現了坐標化思想的應用.課的最后就是學習反饋了，展示第二個例題，如下：

例2 求橢圓16x2+25y2=400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標.

利用簡單例子小結并鞏固本節課所學知識內容，歸納提煉出求已知橢圓方程求長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標的步驟：（1）將橢圓方程化為標準；（2）求出參數a，b，c；（3）結合性質，寫出所求.同樣，也巧妙地處理好了本節課要講授的知識內容.

三、恰當的教法選用，確保數學核心素養根扎課堂

俗話說：“教學有法，貴在得法.”教師要能隨著教學內容的變化，教學對象的變化，教學設備的變化，教學節奏的變化，靈活應用教學方法.數學教學的方法很多，對于不同的課型可選用不同的教學法，常見的教學法有講授式、發現式、探究式、討論式、啟發式、問題引導式等等.如對于綜合及應用及小結或復習課，變式（或討論）教學法就比較受青睞，以排列組合的綜合應用為例.教師給出范例：將5個不同的小球放入4個不同的盒子內，共有多少種不同的放法？這是簡單的乘法原理的應用.為體現加法原理和乘法原理應用上的區別，依次給出兩個變式，真正做到理解排列數、組合數公式.

變式1：將5個不同的小球放入4個不同的盒子內，每個盒子至少有1個小球，共有多少種不同的放法？

變式2：將5個不同的小球放到4個不同的盒子內，每盒至少有1個小球，且甲球必須放到A盒中，共有多少種不同的放法？

而對于新授課，講授式教學方法比較風靡，但也有其他教學方法的使用.拿橢圓的幾何性質這節課來說，筆者的教學設計采用的就是“問題引導式”進行啟發式教學，六個問題在教師的引導啟發下逐步清晰明朗；學生動手折疊橢圓小紙片確認直觀感受的過程，即數學實驗教學法的體現；橢圓的頂點、范圍及離心率的研究以小組形式展開，體現的是探究合作式教學原則；為生動演繹橢圓的扁平程度受離心率影響，幾何畫板的演示正是基于信息技術的教學方式.因而，教學方法的選用是基于深刻的教材分析、巧妙的知識處理而言的，不是胡亂搭配的.也就是說，教學方法需要選擇與優化組合.中學數學不能拘泥于采用哪一種固定的教學方法，每一種成型的教學方法都有其明顯的特征和局限性，只有選擇最適合某節課的教學內容、最適合學生認知實際、最符合教師個性特征的教學方法，才能有效培養學生素質.只要能激發學生的學習興趣，提高學生的學習積極性，培養學生的思維能力，發展學生的核心素養，都是好的教學方法.

數學核心素養已是課程設計的標志性因素，數學教育改革的成敗都踐行在課堂，課堂教學模式、課堂教學評價的深刻變革直接決定著數學核心素養能否落地.改革是我校持續蓬勃發展的主旋律.從“五四·零”方案、素質學分制、“兩把兩重”到“錘煉健康身心、塑造必備品格、培養關鍵能力”的理念與實踐，人才培養體系的建構都歸結于教育教學的轉型與變革，因此迄今所舉辦的兩屆教學節的主題分別確定為“關鍵能力與學科教學的深度融合”、“基于關鍵能力培養的課堂建設與實踐”.學科的視角必然要明確關鍵的學科能力和必備的學科核心素養，學科理應為真正發展學生的核心素養作出它獨有的貢獻.課堂的聚焦是培育學科素養的絕好舉措，也必定促進深度學習方式的推進.我們的學生對課堂是充滿期盼的，因為課堂充斥著各種可能性：課堂的模式是多變的，可能是“15+25”模式（教師主講不超過15分鐘，學生自主學習活動不低于25分鐘），也可能是“1+1+1”模式（自主預習+交流研討+展示提升）；課堂形式是豐富的，學生講題、講課也并非是一種點綴，已然是一種學習方式，并且囿于課堂環境的限制有的課堂學習已經延伸到了課外.不能不說，課堂是一個提供學生多種發展可能性的天堂，學生的發展根基在此筑牢，發展前景自然不可估量.

立足于課堂，以學科為抓手培育學生的核心素養是一個系統性工程，為最大限度地發展“核心”的素養，我們還要注重一般素養與核心素養的關聯、融合與轉化.此外，我們還要認識到這項工程與單純的“優化課堂，打造高效課堂”的區別，核心素養的培養忌空忌泛，要具實，要宏觀更要微觀，要抓常效機制，積極做好課堂觀察與評價的機制建設，因而構建一個操作性強的數學核心素養體系對于數學核心素養的有序落實尤為重要.在數學核心素養的落地問題上，我們仍任重而道遠.

1.章建躍.數學核心素養如何落實在課堂［J］.中小學數學（高中版），2016（3）.

2.殷希群.怎樣才能“把方法教給學生”—對課堂教學的一些認識與思考［J］.數學通訊（教師版），2012（5）.

3.胡典順.提升學生的數學核心素養：數學問題的視角［J］.數學通訊（教師版），2017（10）.

4.呂立杰，韓繼偉，張曉娟.學科核心素養培養：課程實施的價值訴求［J］.課程.教材.教法，2017（9）.

5.呂世虎，吳振英.數學核心素養的內涵及其體系構建［J］.課程·教材·教法，2017（9）.