向量數量積解題的幾種審視視角
——基于核心素養視角下向量數量積運算的思考

☉甘肅天水市第一中學 宮前長

一、數學核心素養詮釋

高中數學課程標準修訂組認為，數學核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析六個方面，完全包容了數學視角下對世界的觀察與認識，用數學的思維分析世界，以及用數學語言來表述世界的方方面面.

在向量數量積的教學中，一定要弄清數量積概念所涵蓋的核心視角，力求讓數學的核心素養在學習數量積的不同層面得到滲透，凸顯出重視核心素養的價值取向.

向量數量積運算是向量的一種重要運算方式.向量是集代數和幾何的統一體，其數量積結果既可以用代數的形式表征，也可以用幾何意義的形式展示，還可以用其他形式的數量關系進行等價轉化.深刻理解向量數量積的定義及其幾何意義，解題時才能夠更好地應用數量積，從不同的審視視角審題和解題，為學生提高數學運算（解題）能力提供了平臺和空間.

二、數量積的教學狀態與探究方向

數量積的教學大多數老師是由物理模型“功”的概念引出的一個量，自然給向量的數量積賦予了特定的、豐富的幾何特征和物理意義.常常局限于向量模與其夾角等范疇內的計算，思維的發展往往得不到拓展和提升.大家知道，向量的數量積運算是向量的核心與重點，從數學的邏輯地位看是屬于高級的一種運算，要充分地理解數量積的外延特征，同時也要從問題的結構特征，探究操作層面的方法和思路，更要弄清數量積形成的過程、思想和方法.

向量是溝通代數、幾何的橋梁和重要工具，基于向量獨有的數、形雙面性，蘊含著獨特的運算性質，對數量積的理解一定要從代數、幾何兩個方面洞察其本質特征.因此，從下面幾個思維視角進行探究：

1.向量數量積的代數視角

人教A版《數學4》（必修）向量給出向量數量積的定義，要求兩個非零向量a、b的向量數量積（內積或點積）用a·b表示，向量數量積定義強調數量|a|、|b|、cos〈a，b〉積的數學運算，充分體現了代數（三個數量：兩模|a|和|b|；一函數cos〈a，b〉）視角下的計算，其中〈a，b〉表示非零向量a、b的夾角.注意：向量0與任何向量的數量積為0；計算數量積時弄清向量a、b的起點或終點位置關系，才能正確確定向量夾角〈a，b〉是銳角或鈍角.

利用向量數量積的代數視角解題時，要充分發揮代數運算的特征.審題時要從三個量（兩模一函數）出發，尋找代數意義的量.

2.向量數量積的幾何投影視角

人教A版《數學4》（必修）向量給出向量數量積的定義，要求兩個非零向量a、b的向量的數量積（內積或點積）用a·b表示，即a·b=|a||b|cos〈a，b〉，其中|b|cos〈a，b〉表示向量b在向量a方向上的投影，即|b|cos〈a，b〉=|a|cos〈a，b〉表示向量a在向量b方向上的投影，即|a|cos〈a，b〉=因此，向量數量積的公式a·b=|a［||b|cos〈a，b〉］=|b［||a|cos〈a，b〉］就具備幾何意義（兩個數量：一是模|a|或|b|；一是投影|b|cos〈a，b〉＝或|a|cos〈a，b〉＝.其中向量a、b的夾角〈a，b〉的取值范圍是［0，π］，因此投影具有正數、負數和零之分.

利用向量數量積的幾何視角解題時，要充分發揮數量積的幾何意義，強調了數量積中的數學建模，即數量積就是“一個向量的模與另一個向量在該向量上的投影之積”的模型特征.審題時要從兩個量（一模一投影）出發，尋找幾何含義所對應的量.

3.向量數量積的三角形視角

圖1

如圖1所示的三角形ABC中，角A、B、C所對的邊為a、b、c，則由三角形的余弦定理可知a2=b2+c2-2bccosA，變形得此等式的左邊bccosA恰好是向量的數量積，即得向量數量積的等式不妨將此式稱為向量數量積的三角式，還有另外兩個向量數量積的等式解題時如果知道兩個非零向量共起點或共終點后形成一個三角形的三邊長，利用上述的數量積的三角式，就可以計算出這兩個非零向量的數量積的大小.

4.向量數量積的坐標運算視角

基于平面（或空間）向量基本定理，與數學工具平面（或空間）直角坐標系結合，向量坐標化.即建立直角坐標系，向量坐標化，促成向量的模長與夾角的運算進一步轉化為向量的坐標運算，從而凸顯了向量代數特征，即有“向量的運算就是實數的運算”的理念.

5.向量數量積的幾何變換視角

根據人教A版《必修4》第109頁的例題1可知，用向量的概念、運算及數量積證得結論“平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍”外，還從向量等式（a+b）2=a2+2a·b+b2，（a-b）2=a2-2a·b+b2，將兩式相減得向量恒等式4a·b=（a+b）2-（a-b）2，此恒等式的特征：兩個非零向量a、b的和、差和數量積集于一式（向量極化恒等式），顯得特別重要.從幾何視角理解：涉及平行四邊形中的一個三角形邊長問題；問題從代數視角理解：a·b是兩個非零向量a、b的和（a+b）、差（a-b）的平方差的四分之一.

圖2

例1 已知非零向量a、b，單位向量e，滿足a·e=1，e·b=2，a2+b2=2（1+a·b），求a·b的最小值.

解析：條件中說明了非零向量a、b和單位向量e，向量恒等式a2+b2=2（1+a·b）可以變形為（a-b）2=2，由條件a·e=1，e·b=2，可以得到a·e+e·b=3，即有3=e·（a+b）≤|a+b|，根據向量恒等式得a·b=［（a+b）2-（a-b）2］≥-1=故a·b的最小值是

6.向量數量積的不等視角

向量的數量積公式a·b=|a||b|cos〈a，b〉，由于余弦函數的有界性，可得不等式|a·b|≤|a||b|，在解題時能夠啟迪思維，明白此不等式可以研究代數問題.即由|a·b|≤|a||b|，容易得到柯西不等式（a1a2+b1b2）2≤（a1+a2）2（b1+b2）2.

向量的概念在1844年被德國數學家格拉斯曼拓寬引入了n維向量，并且定義n維向量的加減、數乘和數量積運算，其運算法則與平面向量相似，以此建立了數學模型.

總之，上述前5個不同視角通過下面的一道小題具體詮釋：

例2 （2011年上海文11題）中，A=60°，AB=AC，D是BC邊上的點，AB=4，BD=1，求

分析：根據上述的幾種不同的視角進行思考，尋找解題思路和解法.

解法1：（向量分解視角）根據題意，可知△ABC是等邊三角形，=16+4×1×）=14.

解法2：（向量三角形視角）根據題意，可知△ABC是等邊三角形，由勾股定理和等邊三角形的性質可知AD=

解法4：（向量坐標視角）根據題意，可知△ABC是等邊三角形，取BC邊中點O，建立如圖3所示的直角坐標系，則A，B（-2，0），D（-1，0），由數量積的坐標公式可得

圖3

圖4

圖5

向量的數量積本身具有形式的簡潔美、統一美、對稱美，以及數量積內部概念的數學（代數、幾何）文化意蘊，促使筆者從上述六個不同的視角進行深刻的思考，挖掘數量積中所蘊藏的數學真、善、美.

三、教學反思

1.剖析數量積結構，凸顯概念本質

平面向量作為運算工具，自身具有一定的知識體系，只要弄清向量的概念、運算、性質和幾何意義等知識點，就會從中構建有關向量問題解決的思維途徑.如數量積概念的不同視角審視、理解，給我們提供了一個很好的佐證，也指出了解決向量問題的思維價值取向：圖形（向量的幾何意義）、坐標（向量的代數意義）和基底（向量的代數和幾何意義的綜合）三個方向，從中對相關的向量信息進行整合、歸納，形成簡捷的解題思路，充分體現了向量集數、形的自由運動體.

2.審視數學概念，強化理解數學

從向量的數量積概念所處的數學地位、教材位置進行定位，挖掘其運算功能及數學本質的不同表征，抓住數量積的符號，站在數學思想方法的高度審視數量積，才能夠弄清數量積的本質特征：一個數量、具有代數運算（長度、角度、坐標）和幾何意義（投影、三角形），以及數學模型（n維數量積的不等式蘊含的柯西不等式），有助于數學思維深刻性的培養，更有利于理解數學.

3.依核心素養拓展，促進數學思維發展

核心素養視角下向量數量積的學習的核心價值不在于簡單的計算，而是對向量數量積的進行多層次、多視角的探究，深刻理解概念中所涵蓋的知識、方法、觀念和價值，極力將向量的幾何特征與代數特征融為一體的核心思想.

向量的數量積概念是向量中的核心概念，應該引起高度重視.上述對向量數量積通過六個視角：代數、幾何、三角、坐標、變換和不等的理解，加深學生對向量思維的深度、廣度和靈活度的有意拓展，自然而然地將數學思想滲透到數學學習過程之中，促進了學生的思維發展.

1.宮前長.理解數學“歸”概念 研究試題“凸”方法［J］.中國數學教育（高中），2016（1-2）.

2.宮前長.新課程古典概型教學：困惑、解惑與感悟［J］.中學數學（下），2014（5）.

3.宮前長.本是同根生如此奇異爭——2016年高考北京卷兩道解析幾何試題的探究與思考［J］.中學數學（下），2017（7）.

4.宮前長.“理清”思路抓本質 “講究”邏輯煉能力——新課程“線面垂直”一課的教學思考及感悟［J］.中學數學（下），2016（5）.F