習知識，煉方法，善反思
——新課程背景下一道解析幾何課堂教學的實踐與思考

☉浙江省慈溪中學 張 軍

解析幾何是在平面直角坐標系的框架下用代數的方法來研究圖形的幾何性質，問題一般涉及的變量多，運算量大，綜合性強，是公認的“一根難啃的硬骨頭”.它是高中數學的難點，但卻是高考的熱點.學生學習解析幾何主要存在以下問題：

1.學生平時學習時只停留在“聽懂”“看懂”層面，未能真正理解，缺少進一步深入研究；

2.運算能力薄弱，不能合理轉化；

3.缺少題后反思，很少有知識聯系.

那么如何在課堂教學中破解出現的問題，是值得每位教師思考的問題.本文作者結合教學實踐和思考，運用重過程、重應用、重體驗、重參與的課堂模式，以學生為主體，充分暴露解題思維和探究過程，引導學生提出問題、分析問題、解決問題，破解學生對解析幾何的“恐懼”.

一、試題呈現

在平面直角坐標系xOy中，點B與點A（-1，1）關于原點O對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于

（1）求動點P的軌跡方程.

（2）設直線AP和BP分別與直線x=3交于點M、N，問：是否存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由.

此題涉及橢圓的標準方程及簡單幾何性質、直線方程、直線與橢圓相交弦長的計算、三角形面積的計算等.背景簡單、條件熟悉，起點低，入口寬，突出主干知識，緊扣考試說明.但是學生在第（2）問碰到很大困難，究其原因，主要是解題方法選擇不當，運算能力不強，缺少知識的融會貫通和靈活應用.

二、教學片段

師：請同學們迅速做一下第（1）問.

生1：因為點B與點A（-1，1）關于原點對稱，所以可得點B的坐標為（1，-1），

師：同學們，第（1）問很簡單，但計算一定要仔細準確，因為一旦錯誤，那整個大題都錯了，同時還要注意由于兩條直線斜率的存在，所以x不能取±1.

師：下面請同學們考慮一下第（2）問怎么處理.

生2：對于存在性問題可先假設存在，目標是求出△PAB和△PMN的面積.

師：那么你說說該如何求這兩個三角形的面積呢？

生2：先要求出這兩個三角形的一條邊長及其所對應的高.

師：那么如何求解呢？

生2：先選擇參數，由于要求點P的坐標，所以選擇斜率k為參數，這樣可得到直線AP和BP，然后利用韋達定理即可求出點P的坐標.

設直線AP的方程為y=k（x+1）+1，則直線BP的方程為

師：很好！有了點P坐標，接下來我們要做什么工作呢？

生3：接著求P到直線AB和x=3的距離，即兩個三角形的高，再求得線段AB和MN的長，就可以表示出三角形的面積.

師：非常棒！請大家一起共同來嘗試下.

教師巡視，查看學生的解題過程，但是這個思路很快就遇到了困難，選擇一份做不下去的草稿投影在黑板上：

若存在點P，使S△PAB=S△PMN，則P必在直線AB的右上方，且yN>yM.

因為1+3k2≠0，所以12k2+9k+1=0.

但接下去點P的橫坐標x1求不出來了，想用求根公式求出k的值然后代入x1=，又覺得運算量太大，幾乎不可能完成，不知所措了.

師：生2的思路是不是不能做了呢？是否必須要把k解出來？

生4：不必求出k的值，這里設而不求的思想，得到

教室里傳來了同學們的驚嘆之聲，佩服生4的高超運算智慧，變繁為簡，化腐朽為神奇.

師：對于生2的方法容易想到，但卻不容易解出答案，運算有些復雜，所以平時我們一定要加強運算能力訓練，只要運算中有一點點失誤，就很難得到正確答案.那么還有其他思路嗎？

生5：根據三角形的面積公式可得

師：太棒了！生5能將所學知識靈活應用，融會貫通，運算量明顯比上一種思路要簡潔，值得我們大家學習.

生6迫不及待地站了起來：我對生5的思路還有另外一種處理方式：

如圖1，連接|BM|、|AN|，

圖1

師：生6的方法也很妙.

師：解析幾何一般處理方式是幾何問題代數化，其實質就是將問題中的幾何要素用坐標或方程表示，利用坐標運算和方程思想，來研究幾何圖形的性質.但仍然要注意圖形的性質，用圖形的幾何性質，有助于簡化計算.數形結合思想是解析幾何的精髓所在.

師：通過這節課你有什么體會？大家可以相互交流，并應用到以后的學習中去.

生7：要加強基本運算能力的訓練，加強方法的比較，通過分析與比較有時會得到“巧算”.

師：是的，在學習解析幾何時，要重視基本思路、基本運算；要重視分析、比較；要重視過程步驟、答題規范.

三、拓展延伸

講授完該題，學生對如何啃下解析幾何這根“硬骨頭”有了初步認識，教師從該題出發，進行適當改編，進一步培養學生分析問題的能力和提升學生的解題能力.

（2）橢圓C上是否存在三點D，E，G，使得S△ODE=S△ODG=？若存在，判斷△DEG的性狀；若不存在，請說明理由.

四、課后反思

1.進行解析幾何教學時要重通法，教算理，幫助學生掌握解題策略

對于解析幾何的教學，并不是題目講得越多越好，也不是技巧講得越巧妙越好，而是要“授人以魚，不如授人以漁”.要堅持以學生為主體，多角度示范解題分析，強化數形結合的運用，重視數學思想和方法來指導解題，避免盲目地生搬硬套.如通過第（2）問的講解，點撥學生總結解決解析幾何問題的方法步驟，利用設而不求的方法、轉化相關條件、注重整體代換等運算技能，從能力角度提高對運算的認識，反思運算方法的優化，不斷提高運算水平.同時解題方法的多樣性，有助于拓展學生的思維.

2.進行解析幾何教學時要以探究為徑，發揮學生主體作用

俗話說“百聞不如一練”，只有讓學生“動起來”，才能使所學知識“活起來”“用起來”.所以要讓學生學會思考，學會探究，學會研究數學問題.教師做好引導，以問題模式為驅動，在時間和空間上保證學生學習活動正常展開和學習行為真實發生，要讓學生親身經歷學習過程，引領學生思考，在形式和本質上保證學生大腦處于積極的思維狀態，培養學生探究思考的好習慣.

3.進行解析幾何教學時要創設問題情景，培養學生抗挫能力

大多數學生對解析幾何題有著一種恐懼感，在探索思路、分析求解的過程中經常會出現“絞盡腦汁而無從下手”“運算繁雜而中途作廢”的思維受阻現象.所以解決解析幾何問題，信心很重要，堅持也很重要.但信心和堅持需要我們從平時的教學和學習中去獲取，在平時的教學中鼓勵學生去做這類題目，在他們算不對，化簡不出的時候個別輔導，與學生一起運算，讓他們在心理上先接受這類題，相信這是他們能解決的問題.在解析幾何這條路上，享受的不是結果，而是在失敗中找出成功的途徑，培養耐心，磨礪心志，這就是解析幾何帶給我們的最美之處.