2014年湖北（理）函數壓軸題的另解研究

☉湖北省武漢市華中師范大學第一附屬中學 黃 衡

現有的2014年湖北?。ɡ恚└呖級狠S題的解法都是將第（1）問的結論作為第（2）問和第（3）問的引理，直接推導得出后面的結論.筆者在認真思考后，發現還有多種不同的解法，比如放縮法和構造函數法等.原題如下：

題目 π為圓周率，e=2.71828…為自然對數的底數.

（2）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3這6個數中的最大數與最小數；

（3）將e3，3e，eπ，πe，3π，π3這6個數按從小到大的順序排列，并證明你的結論.

第（1）問屬于“套路題”，運用導數的運算法則和幾何意義來對函數的單調性進行判斷，這里不再累述.第（2）問的實質在于判別并證明ab與ba（a，b∈R+）之間的大小.利用第（2）問的判別結論，第（3）問的考點則在于判別e3與πe的大小.

以下給出第（2）問和第（3）問的放縮法和構造函數法的具體解答方法.

方法一：放縮法

根據已有的知識積累，我們知道對于任意的x，當x＞0時，都有ex＞1+x和ln（1+x）＞兩式成立（.嚴格的證明可以將不等式的右邊項移到左邊后，將左邊項設為一個新的構造函數，利用它們的一階導數在x＞0時的結論，證明它們在此區間內單調遞增且恒大于零.此處證明省略）

第（2）問的解答：利用ex＞1+x，判別ab與ba之間的大小.

根據題意，設e≤a＜b.因為logba=alogb==

方法二：構造函數法

第（2）問的解答：利用構造的函數P（x）=alnx-xlna，判別ax與xa之間的大小.

第（3）問的解答：利用構造的函數P（x）=elnx-x，判別e3與πe的大小.

至此，第（2）問和第（3）問都分別用放縮法和構造函數法解答完畢.

總結：對于函數綜合題中常見不等式的證明及對特殊點處的估值等高考熱點，放縮法和構造函數法都是破解它們常用的解析思路和方法.

1.2014年湖北省高考數學理科試題及解析.百度文庫.

2.（美）M.R.施皮格爾，箸.施建兵，朱卓宇，等譯.全美經典學習指導系列——微積分［M］，北京：科學出版社，2002.F