特殊化思想運用舉隅

☉山西省教育科學研究院 常 磊

☉山西省汾西縣第一中學校 申明生

一、引言

將問題的條件特殊化（退化），或是挖掘問題中蘊含的特殊性條件，并由此切入作為探究問題、解決問題的突破口，是最常見的一種直觀性的數學思想方法.尤其是學生在有限的考試時間內將其運用于對某些選擇題、填空題乃至解答題結論的快速判斷和獲取，常常能起到化繁為簡、化難為易、一針見血、直奔結論的事半功倍的獨特效果.因此，特殊化的數學思想方法倍受師生的青睞.請看下例：

例1 已知實數a、b、c，下列結論正確的是（ ）.

A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，則a2+b2+c2＜100

B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1，則a2+b2+c2＜100

C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1，則a2+b2+c2＜100

D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1，則a2+b2+c2＜100

解析：本題若直接推導判斷，顯然難度較大；若特殊化間接解決，即選取特殊的實數代入排除掉錯誤的選項，則可輕松獲得正確的結果.如：對于A，取c=-10，a=b且a2+b=9.6，則a+b2=9.6，顯然滿足條件但不滿足結論，排除之；對于B，取a2+b=0.4，c=0.2，當a2=100，b=-99.6時，顯然不合，排除之；對于C，取a+b=0.2，c2=0.3，當a=10，b=-9.8時，顯然不合，排除之.所以正確結論為D.

可以預見，本題若用其他方法，難度會大大增加，甚至會導致無果而終.而使用特殊化的方法，即可一掃疑云，輕松獲解，又符合數學之求簡主旨.

但是，若思維不慎，無理無據地貿然使用特殊化的方法，則會讓同學們誤入歧途，反倒加速了錯誤的行進步伐，如下例：

例2 若方程|x2-2x-1|-t=0有四個不同的實數根x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，則2（x4-x1）+（x3-x2）的取值范圍是（ ）.

解析：解答本例時，就有學生信心滿滿地采用了特殊化的方法予以解答，其解法如下：如圖1所示，當直線y=t向下或向上平移至與x軸重合、與拋物線頂點P（1，2）相切的兩個極限位置時，式子2（x4-x1）+（x3-x2）取得最值.當直線y=t與x軸重合時，x1=x2=1-，x3=x4=1+，則2（x4-x1）+（x3-x2）=；當直線y=t與拋物線相切于點P時，x1=-1，x2=x3=1，x4=3，則2（x4-x1）+（x3-x2）=8，由于x1＜x2＜x3＜x4，所以2（x4-x1）+（x3-x2）≠8，比較二者大小可得答案應選A.

事實上，稍加分析就不難知道以上解答是錯誤的.因為當將直線y=t由下向上移動時，x4-x1的值逐漸增大；而x3-x2的值在逐漸減小，所以不能判斷2（x4-x1）+（x3-x2）的值是增大還是減小.

其實，由圖1可知，x1，x4是方程x2-2x-1=t的兩根，x2，x3是方程x2-2x-1=-t的兩根，由韋達定理可得2（x4-x1）+（x3-x2）=2（2+）（0＜t＜2），由柯西不等式可知2（x4-x1）+（x3-x2）≤4，顯然與上述結論不符.

圖1

以上錯解產生的原因，即是想當然、無理據的猜測所導致.因此，正確地使用特殊化思想方法解題的前提是要對問題進行認真分析，確保符合數學之推理邏輯.

那么，用特殊化的思想方法解決問題，有哪些方面的應用呢？本文試以高考題為主，談談筆者運用特殊化思想方法解題的若干思考.旨在拋磚引玉，引起廣大讀者的重視與進一步探究的欲望.但限于水平，所述定有謬誤，敬請方家批評指正！

二、特殊化思想方法運用舉隅

1.特值剔假，間接求真

數學選擇題一般是按“四選一”來設計的，即在四個選項中只有一個是正確的.因此，某些選擇題可用剔除法間接求得正確的選項.即選用特殊值代入只要能夠判斷出其中三個錯誤選項，那么所剩即為正確選項（如例1）.

例3 （2016年全國Ⅰ卷理8）若a＞b＞1，0＜c＜1，則（ ）.

A.ac＜bcB.abc＜bac

C.alogbc＜blogac D.logac＜logbc

例4（2015年浙江卷（理）7）存在函數f（x）滿足：對于任意x∈R都有（ ）.

A.f（sin2x）=sinxB.f（sin2x）=x2+x

C.f（x2+1）=|x+1|D.f（x2+2x）=|x+1|

眾所周知，只要是有關函數圖像的選擇題，大多須采用此法.而這類問題近年來時有考查（如2015年安徽卷（理）9；2016年全國Ⅰ卷（理）7等）.

2.因果互參，由果導果

對于選擇題來說，選項也是已知條件的一部分，解題時不能視而不見，置之不理.某些選擇題可以把選項當做條件來檢驗是否符合題目的要求，從而逐一檢驗得到正確的結果.此法雖顯笨拙，但終可下手.況若講究技法，亦可以拙制巧.

A.11 B.9 C.7 D.5

解析：依據選項，從大到小驗證取得.

若ω=11為最大值時，則（fx）=sin（11x+φ），依已知有且，可求得所以f（x）=顯然，y=sinx在上不單調，與已知條件矛盾，所以排除A.

3.著眼特殊，內涵突破

解題的關切，首先就是看其有無特殊性.大凡問題均有其自身之特殊性蘊含其中.抓住特性，切入要害，攻其一點，取得突破.

例6（2015年全國Ⅰ卷理12）設函數f（x）=ex（2x-1）-ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整數x0使得f（x0）＜0，則a的取值范圍是（ ）.

解析：觀察函數式特點，取特殊值x=0，得到（f0）=a-1＜0，所以，根據題意知x0=0即為唯一存在的整數.為此應該有（f-1）＞0且（f1）＞0，解得，故選A.

4.普適結論，特例亦然

普遍條件（全集）下適用的數學命題，在特殊情形（子集）下也是成立的.因此，解答一些普適條件（全集）下的數學客觀問題時，只考慮其特殊情形（子集）就可以得到其正確的結果.主觀題也可以通過將條件特殊化而預測到問題的可能結果.

例7 （2012年全國Ⅰ卷理16）數列｛an｝滿足an+1+（-1）nan=2n-1，則｛an｝的前60項的和為________.

解析：本題未給出a1的值，說明其為任意值時不影響問題的結果.故特殊化賦值，令a1=1，根據遞推式得a2=2，a3=1，a4=6，a5=1，a6=10，a7=1，a8=14，…，發現a1，a3，a5，…，a59是各項都為1的常數列；a2，a4，a6，…，a60是首項為2，公差為4的等差數列.所以a1+a2+…+a60=1830.

5.以動制靜，極限探究

對運用特殊化思想解題能力的考查，以2015年全國Ⅰ卷（理）的試題最為突出.除選擇題有所考查外（如例7），填空題中共四道就有三道予以考查，可謂集中火力，重磅出擊.

解析：線性規劃問題就是特殊化思想中“以動制靜，極限探究”運用的典型代表.本題由約束條件畫出可行域，如圖2，的幾何意義是可行域內的點（x，y）與原點O連線的斜率k.于是，將直線y=kx繞O點在可行域內逆時針旋轉至OA的極限位置時最大.由得點A的坐標為

圖2

6.零點問題，特值破解

高考中很多壓軸題（如判斷零點的個數）最終的歸因，即判斷函數值的大小或正負，而判斷的利器之一，就是尋求合適的特殊值利用單調性來間接獲得.

例9（2017年全國Ⅰ卷理21）已知函數f（x）=ae2x+（a-2）ex-x.

（1）討論f（x）的單調性；

（2）若f（x）有兩個零點，求a的取值范圍.

解析：（1）若a≤0，f（x）在（-∞，+∞）上單調遞減；若a＞0，f（x）在（-∞，-lna）上單調遞減，在（-lna，+∞）上單調遞增.（過程略）

（2）若a≤0，由（1）知，f（x）至多有一個零點.

若a＞0，由（1）知，當x=-lna時，（fx）取得最小值，最小值為（f-lna）=1-+lna.

①當a=1時，由于（f-lna）=0，所以（fx）只有一個零點；

所以（fx）沒有零點；

因為-lna＞0，不妨取特殊值x1=-1，得f（-1）=ae-2+（a-2）e-1+1＞（a-2）e-1+1＞-2e-1+1＞0，所以f（x）在（-∞，-lna）上有一個零點.

綜上可知，a的取值范圍是（0，1）.

7.特殊退化，發現本質

當一個問題難于處理時，最有效的策略就是“退”，退到特殊的又便于解決的簡單情形，找出問題解決的途徑或發現有用的結論，然后以此為基礎通過聯想與類比不斷地逼近原問題，從而將問題完美地解決.

解析：由于“點P在△AOB內部運動”的條件顯得較為抽象，不易下手.但是當點P在線段AB上運動時，就比較具體容易了.為此，先把問題變式為以下特殊情形進行探索，以便獲取解決問題的途徑.

圖3

上述解答過程，有兩點啟示：一是將向量坐標化，使問題易于描述；二是利用點P的軌跡，建立了λ，μ的相應關系.借鑒這兩個優勢，嘗試解決原問題.

圖4

如圖4所示，當點P在△AOB內部運動時，延長OP交AB于點Q.設因為所以所以由于點Q在線段AB上（不含端點），所以，即λ+μ=（t0＜t＜1，0≤λ≤t，0≤μ≤t）.

對于滿足0＜t＜1的每一個t值，動點M（λ，μ）構成的圖形是線段λ+μ=（t0≤λ≤t，0≤μ≤t）.于是可知，當點P在△AOB內部運動時，點M（λ，μ）構成的圖形是以（0，0）、（0，1）、（1，0）為頂點的直角三角形內部.故動點M（λ，μ）構成的圖形的面積為

選取特殊的角度進行探究，果然抓住了問題的本質特性，形成了破竹之勢，難點瞬間崩潰，問題順利解決.

三、結束語

辯證法認為，觀察事物，首先要注意到事物中矛盾的特殊性，從特殊入手探求一般.因為分析矛盾的特殊性是正確認識事物的基礎；同時，分析矛盾的特殊性也是正確解決矛盾的關鍵.一般而言，對于一個數學問題，總會或多或少存在它自身區別于其他問題的特殊性.只要認真挖掘，就會有所發現；只要善于思考和利用，就會有所作為，有所收獲.因此，用特殊化思想方法分析問題、解決問題，是巧取，而不是逃避，不是不可登大雅之堂；是一種智慧，而不是旁門左道，羞于表述；是一種簡約思維，而不是偶然之遇；是一種視角，而不是無為之僥幸.是探究、嘗試、歸納、猜想、論證過程的前奏，是不以人的主觀意志為轉移的客觀存在，是學生學習數學不可或缺的素養之一.邏輯固然重要，但打開解題局面，則常常需要數學直觀能力，而直觀能力又來自于問題中特殊化的捕捉，由此不斷升華解題境界.同時，特殊化思想既符合數學之求簡精神，也符合學生之認知規律.它有利于學生大膽而審慎地破框思考，質疑現狀.因此，教學中應給予足夠的重視并需要引導學生深入地進行研究，形成一種思維品質，運用于問題解決之中.

1.李啟超，潘國雙.北京高考數學壓軸題的教學實踐與反思［J］.數學通報，2017（1）.

2.張千明.運用聯想與類比開展探究性學習——用向量解決一類動點問題［J］.數學通訊（下半月），2017（5）.F