含參不等式恒成立問題的解法例析

☉山東省乳山市第一中學 孫梅彥

“含參不等式恒成立問題”把不等式、函數、三角、幾何等內容有機地結合起來，其以覆蓋知識點多，綜合性強，解法靈活等特點而備受高考、競賽命題者的青睞.另一方面，在解決這類問題的過程中涉及的“函數與方程”、“化歸與轉化”、“數形結合”、“分類討論”等數學思想對鍛煉學生的綜合解題能力，培養其思維的靈活性、創造性都有著獨到的作用.本文就結合實例談談這類問題的一般求解策略.

一、轉換主元法

首先確定題目中的主元，化歸成初等函數求解.此方法常適用于化為一次函數.

對于一次函數f（x）=kx+b，x∈［m，n］有f（x）＞0恒成立

例1已知f（x）=x2+mx+1，試求實數x的取值范圍，使得不等式f（x）≥3對任意的m∈［-1，1］恒成立.

分析：題中已知m的范圍，故可轉化為y＝g（m）.

圖1

解析：令g（m）＝xm＋（x2＋1），此為關于m的一次函數，相應直線的斜率為x，結合圖1知，f（x）≥3對任意的m∈［-1，1］恒成立?g（1）≥3且g（-1）≥3，可求得x的取值范圍為｛x|x≥2或x≤-2｝.

一般地，在運用“變換主元法”求解“含參不等式恒成立問題”時，遵循“已知誰的范圍，則視為誰的函數”，可快速判定函數類型.

二、判別式法

若所求問題可轉化為二次不等式，則可考慮應用判別式法解題.一般地，對于二次函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0，x∈R），有

例2 （1）已知不等式x2-2ax+1＞0對x∈R恒成立，求實數a的取值范圍.

（2）已知不等式ax2-2ax+1＞0對x∈R恒成立，求實數a的取值范圍.

分析：（1）結合二次函數圖像，直接利用Δ＜0即可.

（2）需要對二次項前的系數分類討論.

解：（1）Δ=4a2-4＜0?-1＜a＜1.

（2）①a=0時，1＞0恒成立；

②a＞0，Δ=4a2-4＜0?0＜a＜1.

綜上可知，0≤a＜1.

三、最值法

將不等式恒成立問題轉化為求函數最值問題的一種處理方法，其一般類型有：

（1）f（x）＞a恒成立?a＜f（x）min；

（2）f（x）＜a恒成立?a＞f（x）max.

解：若對任意x∈［1，+∞），f（x）＞0恒成立，即對x∈［1，+∞），f（x）=恒成立，考慮到不等式的分母x∈［1，+∞），只需x2+2x+a＞0在x∈［1，+∞）時恒成立.而拋物線g（x）=x2+2x+a在x∈［1，+∞）的最小值gmin（x）=g（1）=3+a＞0，得a＞-3.

四、分離變量法

若所給的不等式能通過恒等變形使參數與主元分離于不等式兩端，從而問題轉化為求主元函數的最值，進而求出參數范圍.這種方法本質也還是求最值，但它思路更清晰，操作性更強.一般地有：

（1）f（x）＜g（a）（a為參數）恒成立?g（a）＜f（x）max；

（2）f（x）＞g（a）（a為參數）恒成立?g（a）＞f（x）max.

實際上，上題就可利用此法解決.

例4 已知不等式x2-2ax+1＞0對x∈［1，2］恒成立，求實數a的取值范圍.

五、數形結合法

例5 若對任意實數x，不等式|x+1|≥kx恒成立，則實數k的取值范圍是_______.

分析：本題目可轉化為在同一坐標系中研究y1=|x+1|，y2=kx的圖像的位置關系.

解：畫出y1=|x+1|，y2=kx的圖像，由圖2可看出0≤k≤1.

圖2

數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微.”這充分說明了數形結合思想的妙處，在不等式恒成立問題中它同樣起著重要作用.我們知道，函數圖像和不等式有著密切的聯系：

（1）f（x）＞g（x）?函數f（x）圖像恒在函數g（x）圖像上方；

（2）f（x）＜g（x）?函數f（x）圖像恒在函數g（x）圖像下上方.

分析：在同一直角坐標系中作出f（x）及g（x）的圖像如圖3所示，f（x）的圖像是半圓（x+2）2+y2=4（y≥0）.

圖3

g（x）的圖像是平行的直線系4x-3y+3-3a=0.

要使f（x）≤g（x）恒成立，則圓心（-2，0）到直線4x-3y+3-3a=0的距離滿足

由上可見，在解綜合性較強的不等式恒成立問題時，有時一題多法.應以題為本，關鍵抓住恒成立的本質，具體問題具體分析，靈活運用這幾種方法，選擇最行之有效的方法，而不要拘泥于一種方法.含參不等式恒成立問題因其覆蓋知識點多，方法也多種多樣，但其核心思想還是等價轉化，抓住了這點，才能以“不變應萬變”，當然這需要我們不斷的去領悟、體會和總結.