向量法解決立體幾何問題的優化策略

謝剛

【摘要】用空間向量解決立體幾何問題，以程序化的計算代替幾何“做—證—求”這個過程，大大降低了思維難度.作為交換增加了計算方面的難度，為了優化計算，減少或避免錯誤，本文著重強調了解題過程中要把握好“嚴謹考察底面、快捷計算點坐標、優化求解法向量、合理推斷結論”這幾個環節，切實做到解決問題“會而對，對而全”.

【關鍵詞】向量法；解；幾何；問題；策略

用空間向量解決立體幾何問題的思想是：定量分析替代定性分析、程序化計算替代推理證明，在解決空間線面角、面面角等問題方面發揮著較明顯的優勢.然而，不少學生對待這個問題，不求甚解，其結果往往是“會而不對、對而不全”.學習了空間向量在立體幾何中的應用知識，在鞏固練習階段，還應當提醒學生在以下幾個環節引起注意：

一、嚴謹考察底面

面對問題，不要急于答題或忙于計算，認真審題后，要做好幾何圖形底面的考察，這一環節至關重要.問題的底面大多是正方形、長方形、菱形、直角三角形（等腰）、等邊三角形等，在立體圖形中，它們是直觀圖.情急之中學生往往會張冠李戴寫錯點的坐標，經過對學生錯題統計得出的數據顯示這類錯誤不低于20%.

為避免這類錯誤，具體做法是：（1）在草紙上建立平面直角坐標系xOy.（2）在坐標系中按1∶1比例畫出底面圖形.（3）然后確定底面相關點的坐標x，y.

二、快捷計算點坐標

用向量法解決立體幾何問題的核心是建立空間坐標系，不少學生誤以為建立坐標系是最難的部分，這個認識有失偏頗.原因是坐標系的建立方法不是唯一的，一旦確立了坐標系后，則點的坐標是相對固定的，可以說用向量法解決立體幾何問題的難點莫過于求點的坐標，既費時也易錯.教師在授課時要強調用坐標法（中點坐標公式、線段的定比分點公式）、向量的線性運算等方法求相關點的坐標，盡量避免用幾何推理的方法.用坐標法或向量線性運算的方法不僅簡單、便于操作，而且與采用向量法解決立體幾何問題屬于同一思維范疇，可以減少因為知識交匯而轉換思維帶來的損失.