基于波利亞的“怎樣解題”表的解題研究

趙益民

美國著名數(shù)學家、教育家喬治·波利亞說過：掌握數(shù)學就是意味著善于解題.確實，數(shù)學教師在日常的教學中都離不開解題，解題是數(shù)學教師進行數(shù)學活動的基本形式和主要內(nèi)容，也是數(shù)學教師的一個興奮中心.但是在現(xiàn)實中，有很多教師對于解題沒有一個有價值的程序，在解出問題后也不會進一步地深入思考，為了解題而解題，這樣猶如“進入寶山而空手而歸”，雖然解了很多題目，但自己的解題能力水平還是不高，導致在日常的解題教學中不能做到“會當凌絕頂，一覽眾山小”的效果，讓學生也停留在就題論題、反復做題的不良循環(huán)中，讓學生看不到問題后面的本質(zhì).

其實，波利亞在《怎樣解題》中提出了一張解題表，該解題表有四個步驟，具體如下：

步驟具體操作

第一步：弄清問題

你必須弄清問題.未知數(shù)是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？

畫張圖，引入適當?shù)姆?把條件的各個部分分開，你能否把它們寫下來？

第二步：擬定計劃

你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？

看著未知數(shù)，試想出一個具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題.

這里有一個與你現(xiàn)在的問題有關(guān)，且早已解決的問題.

你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？

你能不能重新敘述這個問題？你能不能用同樣的方法重新敘述它？回到定義去.

如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關(guān)的問題.你能不能想出一個更容易著手的有關(guān)問題？一個更普遍的問題？一個更特殊的問題？一個類比的問題？你能否解決這個問題的一部分？僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分，這樣對未知數(shù)能確定到什么程度？它會怎樣變化？你能不能從已知數(shù)據(jù)導出某些有用的東西？你能不能想出適于確定未知數(shù)的其他數(shù)據(jù)？如果需要的話，你能不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)，或者兩者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近？

你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)？你是否利用了整個條件？你是否考慮了包含在問題中的所有必要的概念？

第三步：實現(xiàn)計劃實現(xiàn)你的求解計劃，檢驗每一步驟.

你能否清楚地看出這一步驟是正確的？你能否證明這一步驟是正確的？

第四步：回顧

你能否檢驗這個論證？你能否用別的方法導出這個結(jié)果？你能不能一下子看出來？

你能不能把這結(jié)果或方法用于其他的問題？

波利亞說：“只要應(yīng)用得當，如果你向自己提出表中的這些問題與建議，他們可以幫助解決你的問題；而如果你向你的學生提出同樣的問題與建議，你就可以幫助解決他們的問題.”在此，可以達到兩個相關(guān)的目的：第一，幫助學生解決手頭問題；第二，培養(yǎng)學生將來能夠獨立解題的能力，從而發(fā)展學生數(shù)學建模的素養(yǎng).