從古希臘哲學(xué)家畢達哥拉斯琴弦實驗談數(shù)學(xué)對于音樂發(fā)展的影響

李思桐

【摘要】千百年前人們就開始研究數(shù)學(xué)與音樂之間的關(guān)系，2500年前古希臘的一位著名哲學(xué)家畢達哥拉斯通過進行琴弦實驗首次發(fā)現(xiàn)了音樂與數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系，是世界上提出這一觀點的第一人。古希臘哲學(xué)中的一個重要概念“數(shù)”就是由畢達哥拉斯提出，“數(shù)”概念不僅對音樂發(fā)展過程中的創(chuàng)作理念有很大程度的影響，還對音樂的美感追求產(chǎn)生了諸多的影響。本文以畢達哥拉斯的琴弦實驗為例簡單地分析了數(shù)學(xué)與音樂美學(xué)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)以及數(shù)學(xué)對音樂發(fā)展的影響。

【關(guān)鍵詞】畢達哥拉斯 琴弦實驗 數(shù)學(xué) 音樂發(fā)展

【中圖分類號】J60 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）02-0214-02

前言

《命運交響曲》的宏大氣魄、《月光》的靈動優(yōu)美、《梁?！返纳钋楦腥?、甚至寧靜夏夜田野中昆蟲啁啾的鳴叫等，當(dāng)在聆聽和享受這些美妙的音樂時大多數(shù)人都無法將其與嚴肅的數(shù)學(xué)聯(lián)系起來。感性的音樂與理性的數(shù)學(xué)可謂是兩個極端，音樂是作為我們抒發(fā)感情、表現(xiàn)感情、寄托感情的一種感性藝術(shù)，數(shù)學(xué)則是一種通過抽象的思辨、嚴謹?shù)倪壿嬚撟C等思維方式構(gòu)建起的“思維體操”，從表面看二者并沒有明顯的聯(lián)系，但是在樂譜中處處可以看到數(shù)學(xué)。比如音樂中每個小節(jié)的拍子、音符、拍號等等；在譜寫樂譜時將不同長度的音符湊成一個特定節(jié)拍的過程就與數(shù)學(xué)中找公分母的過程相似。事實上，數(shù)學(xué)作為一種在任何領(lǐng)域都會用到的學(xué)科，其與音樂之間的關(guān)系極為密切。

一、畢達哥拉斯簡介

畢達哥拉斯（約公元前572年-前497年）作為古希臘偉大的哲學(xué)家、思想家、數(shù)學(xué)家，在西方哲學(xué)、科學(xué)、美學(xué)等方面做出了巨大的貢獻，他所提出的一些理論和思考對西方的科學(xué)和藝術(shù)理論有著很大的影響。

“數(shù)”被畢達哥拉斯以及他的門徒認為是世界萬物的本源，他們在對世界萬物進行思考時都是以“數(shù)”作為基礎(chǔ)，試圖用“數(shù)”來解釋世界萬千現(xiàn)象。畢達哥拉斯認為研究數(shù)學(xué)的主要目的不是在于將其運用到某一實際中去，而是為了更加方便、深入地探索自然、世界的奧秘。畢達哥拉斯與其門徒從五個蘋果和五個手指等事物中將“5”這個數(shù)字抽象了出來，在當(dāng)時的實用數(shù)學(xué)界和哲學(xué)界均算是一個巨大的進步，因為這個發(fā)現(xiàn)使算術(shù)具有了可能性，也使人們開始相信“數(shù)”是構(gòu)成實物世界的基礎(chǔ)。畢達哥拉斯畢生對數(shù)論進行了大量的研究，僅自然數(shù)方面就將其分為奇偶數(shù)、素數(shù)、完全數(shù)等；畢達哥拉斯學(xué)派認為“數(shù)”不僅僅有量的多寡，還具有幾何形狀，“數(shù)”的數(shù)量和形狀為宇宙提供了概念模型且決定了一切自然物體的形式；基于此畢達哥拉斯學(xué)派將“數(shù)”理解為是一切自然事物的根源。點、線、面、體、元素、萬物等的形成都是基于“數(shù)”，所以“數(shù)”在物之先，且“數(shù)”決定著自然界的一切現(xiàn)象與規(guī)律，自然現(xiàn)象、規(guī)律與“數(shù)”之間存在著一種必須服從與被服從的關(guān)系。

二、琴弦實驗

畢達哥拉斯學(xué)派不僅崇尚數(shù)學(xué)理念還首次將其運用到了音樂藝術(shù)中去，琴弦實驗就是其中一個最具有代表性的實驗。這個實驗在保證音樂遵循“數(shù)”的原則上分別選取了一根只有一半長度的琴弦和一根長度完整的琴弦，將這兩根不同琴弦發(fā)出的聲音記錄了下來并計算出兩根琴弦之間的音程為八度，數(shù)值比為1：2；接著把一根二分之一長度琴弦與三分之一長度的琴弦發(fā)出的聲音記錄下來并進行音高的比較從而計算出兩者之間的音程為五度，數(shù)值比為3：2；再將長度四等分的琴弦與三分之一長度的琴弦進行音高的比較且計算出兩者之間的音程為四度，數(shù)值比為4：3，按照這樣的規(guī)律以此類推下去。因此就實驗結(jié)果來看，八度等于數(shù)學(xué)比值1：2、五度等于數(shù)學(xué)比值3：2、四度等于數(shù)學(xué)比值4：3、那么全音就是數(shù)學(xué)比值的9：8。在畢達哥拉斯學(xué)派看來音樂是建立在被論證的理性基礎(chǔ)上的，音樂與秩序和音樂與比例之間存在著同義關(guān)系。除此之外畢達哥拉斯還提出過一個比較有趣的理論：他認為地球是沿著一個球面圍繞著空間中一個固定點在進行轉(zhuǎn)動的，他將這個固定點稱為“中央火”，且在另一側(cè)還存在著一個“對地星”與其相互制衡。并且畢達哥拉斯認為這個“中央火”人類是無法看到和接觸到的，是宇宙的祭壇。他認為十個天體到中央火之間的距離與音樂中音節(jié)之間的音程的比例關(guān)系是相同的，且以此來保證星球之間的平衡與和諧，從而演奏出天體的音樂。

畢達哥拉斯通過將數(shù)學(xué)的理念在音樂中進行滲透，發(fā)現(xiàn)了音樂與數(shù)學(xué)之間千絲萬縷的聯(lián)系，使音樂不僅僅具有感性的審美體驗。本文試圖通過借助畢達哥拉斯的琴弦實驗來簡單分析數(shù)學(xué)對于音樂發(fā)展存在的影響。

三、以畢達哥拉斯琴弦實驗的角度分析數(shù)學(xué)對于音樂發(fā)展的影響

1.對音樂的和聲、對位、復(fù)調(diào)技巧高度發(fā)展的影響

畢達哥拉斯對于美學(xué)有著自己獨特的看法，他認為和諧才是美的本質(zhì)且認為是否和諧與其中的數(shù)量關(guān)系理想與否有著直接的關(guān)系。為了證實這一想法畢達哥拉斯通過對弦長比例的科學(xué)測定和計算，首次確定出了四度、五度、八度這三個協(xié)和音程。畢達哥拉斯確定出的三個協(xié)和音程對于西方多聲部音樂后期的理論基礎(chǔ)和風(fēng)格取向發(fā)展有著很大的影響，比如從早期的Organon、Discant音樂藝術(shù)風(fēng)格、到motet即中世紀開始流行的圣詠和經(jīng)文歌、再到巴洛克時期以巴赫為代表的Fuga音樂風(fēng)格，這些風(fēng)格迥異的音樂藝術(shù)具有的完整音程以及和聲體系都是經(jīng)過音樂家大量的音樂創(chuàng)作實踐才逐步完成的，且在此基礎(chǔ)上還創(chuàng)制出了更為復(fù)雜的和聲對位技巧以及多聲部、多層次的復(fù)音音樂。

在這些音樂藝術(shù)中樂音都是以邏輯性極強、數(shù)字化的方式相互聯(lián)系、依存的，并且由于受到嚴格的音程度數(shù)限制導(dǎo)致音列的選擇和走向、和弦的排列以及音樂主題旋律在聲部中的安排、穿插、變形都受到影響，對于旋律自身的橫向發(fā)展并沒有引起重視。畢達哥拉斯的數(shù)理音樂思維在早期的西方多聲部音樂中被大量運用，尤其是和弦音程理論即為了保證音響效果的和諧和飽滿度，在音樂創(chuàng)作中多運用一度、四度、五度以及八度的音程。在歐洲中世紀多聲部音樂發(fā)展的早期人們認為只有這些音程創(chuàng)作出的音樂才能夠體現(xiàn)出神性的純潔與崇高，認為這些音程具有與神溝通交流的能力。而對于二度、三度、六度、七度音程的運用則在巴洛克時期才開始在音樂創(chuàng)作中得到較多的運用。雖然在后來歐洲的多聲部音樂藝術(shù)發(fā)展過程中對于音程在音樂中的運用逐漸開始豐富多樣起來，但是數(shù)理的創(chuàng)作邏輯在音樂創(chuàng)作中仍然占據(jù)很高的地位，比如音樂家為了保證音樂的飽滿會盡量避免進行連續(xù)的四度、五度、八度，對于聲部之間的音程對位具有嚴格的音程限制。顯而易見，這種以數(shù)學(xué)理性為基礎(chǔ)創(chuàng)作出來的音樂具有更好的立體感和縱深感，這一特點作為西方音樂中的一大傳統(tǒng)創(chuàng)作特色一直延續(xù)至今。endprint

2.對音樂結(jié)構(gòu)的影響

以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的音樂美學(xué)觀對于音樂的構(gòu)成形式也具有很大的影響，畢達哥拉斯在很早之前就在嘗試著用數(shù)學(xué)的表達形式來解釋美，即后來出現(xiàn)的黃金分割比0.618，黃金分割比的精確量化不僅給美賦予了嚴謹還賦予其科學(xué)的含義?？梢园l(fā)現(xiàn)大部分被大眾認可為名曲、優(yōu)美的音樂其主體旋律的高潮部分大都被安排在了黃金分割點上。而大多數(shù)的作曲家在創(chuàng)作獨奏樂器類型的協(xié)奏曲時，為了能夠更好的將炫技的部分即高潮部分充分體現(xiàn)出來，會將其安排在樂曲的中后段臨近結(jié)尾處，也就是黃金分割點的位置。雖然這并不能代表大部分的音樂，但是也足以說明在創(chuàng)作音樂時對于音樂結(jié)構(gòu)的設(shè)置以及安排已經(jīng)具備了科學(xué)、理性的數(shù)學(xué)認知。另外，還可以從音樂中對于樂句、樂段的反復(fù)再現(xiàn)手法的運用以及對于音樂材料的安排、逐漸演變出的各種曲式看出此時的音樂發(fā)展已經(jīng)有很強的理性和內(nèi)在思想要求。比如在二部曲式中所體現(xiàn)出來的平衡原則，三部曲式與三角形的穩(wěn)定結(jié)構(gòu)的相似而蘊含的穩(wěn)固感，這些音樂曲式所體現(xiàn)出來的已經(jīng)遠遠超出了音樂本身純粹的感性；音樂結(jié)構(gòu)所體現(xiàn)出的比例、平衡感、有序感都讓人們感受到了數(shù)學(xué)公式、定理的抽象、嚴謹、以及邏輯性很強的形式美感。

3.對音樂音值精確性和節(jié)拍均分律動的影響

畢達哥拉斯曾經(jīng)提出過音樂的音高和節(jié)奏體系與天地萬物中一切形體的運轉(zhuǎn)均會受到數(shù)學(xué)規(guī)律的支配和限制。在畢達哥拉斯提出的這一思想的影響下，人們開始將其中的原理大量運用到節(jié)奏的探索過程中去。比如音樂中對于音符數(shù)值的劃分就運用到了數(shù)學(xué)原理，最早由德國人弗蘭克明發(fā)明并提出了有量音樂記譜和節(jié)奏模式，到中世紀被僧侶們完善的有量音樂藝術(shù)，各類音符之間的倍數(shù)關(guān)系被最終確立為以“二”基礎(chǔ)倍數(shù)。此時，才產(chǎn)生了確切的參數(shù)來規(guī)定音符的長短，這一定程度上限制了表演者的自由，要求表演者在處理音值時把握準確。另外均分律動給音樂中各類節(jié)拍賦予了更加具體的形象塑造和情感表達能力，幫助釋放和放大音樂的感性，成為了音樂中的重要構(gòu)成要素。

在西方多聲部音樂的發(fā)展過程中隨處可見數(shù)學(xué)理論的影子，尤其是其在音樂節(jié)奏節(jié)拍理論中的運用，如中世紀后期開始出現(xiàn)的等節(jié)奏作曲技術(shù)，即音樂家通過采用一條旋律音型來與一條節(jié)奏型進行配合。這種等節(jié)奏作曲技術(shù)能夠讓旋律按照精確的數(shù)理節(jié)奏控制和安排，以節(jié)奏中的數(shù)理邏輯作為旋律發(fā)展的基本框架進而表現(xiàn)出音樂創(chuàng)作高度理性的意識，使創(chuàng)作出來的音樂作品具備了內(nèi)在的數(shù)理邏輯，這種作曲思維對于后期的歐洲音樂創(chuàng)作產(chǎn)生了很長一段時間的影響。

四、結(jié)論

在音樂漫長的發(fā)展歷程中，最初的音樂創(chuàng)作更多的還是處于一種隨意、混沌、散漫的狀態(tài)，而在發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)理性與音樂感性之間的聯(lián)系之后，理性的音樂作曲意識被喚醒。古希臘的智慧對歐洲音樂創(chuàng)作的理性思維產(chǎn)生了啟迪，特別是畢達哥拉斯學(xué)派的出現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)與音樂之間密切的聯(lián)系并賦予音樂理性的意識。雖然在畢達哥拉斯的觀念中“數(shù)”是作為一個寬泛的概念而存在，與我們今天現(xiàn)代數(shù)學(xué)的意義無法完全等同，但是數(shù)學(xué)作為一種科學(xué)、嚴謹?shù)姆治鏊季S模式，經(jīng)過漫長時間的沉淀已經(jīng)與音樂構(gòu)成了緊密的聯(lián)系，體現(xiàn)出了自律性的音樂美學(xué)思想，且音樂作曲中的技巧、形式等受到數(shù)學(xué)理論的影響也獲得了極大的豐富，形成了別具一格的音樂審美風(fēng)格。

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