實變函數課程教學方式的探討

胡玉璽

摘要：實變函數是數學與應用數學專業的一門專業基礎課。本文主要探討實變函數這門課程的學習方法以及教學方式，通過梳理實變函數的主要內容，能夠理清其基本脈絡，掌握其基本思想。另外，對于如何教授實變函數這門課程，我們給出了自己的一些意見和建議，供同行參考。

關鍵詞：實變函數；學習方法；教學方式

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）06-0142-02

一、引言

實變函數是大學數學系的核心必修課之一，實變函數在數學的許多領域中，如測度論、分形幾何、泛函分析、調和分析、偏微分方程中都產生了極大的影響。然而《實變函數》課程因其自身的特點，該課程的高度抽象性以及較強的邏輯推理性，課程展開的方式需要經過漫長的準備、集合論與分析相結合的處理方法、所討論的函數類范圍的擴大以及習題量大而且難做等，都使得學生認為其深奧晦澀、枯燥無味。進入這門課程學習時間不長，不少學生便對這門課程喪失了信心，猶如霧里看花，水中望月，完全不清楚它的內容和意義，更談不上興趣；后期的學習情況更糟，甚至對一些基本概念的理解都出現困難。為了更好地實施教學，筆者從多年的教學實踐中，從實變函數教學中的點滴體會出發，就《實變函數》這門課程的教學方法與教學方式進行探討。

Lebesgue積分是實變函數的重點內容，要掌握Lebesgue積分的內容首先要知道引入這種積分的動機。因此，總結Riemann積分并指出它的局限性是首堂課應該教給學生的。Riemann積分的局限性有如下幾點：（1）可積的函數種類較少，比較著名的是Dirichlet函數不可積。（2）函數列極限和積分交換順序的條件太強，而且只有充分條件，例如需要函數列一致收斂的條件。（3）從微積分基本定理來看，求導和積分運算并非算是真正的逆運算，需要函數的連續性條件。Lebesgue積分非常完美地解決了上述三個問題，奠定了現代分析學的基礎，并為物理學、偏微分方程等學科的發展鋪好了基石。

本文首先從整體上敘述清楚實變函數的主要內容、主要思想以及它的主要意義，這對學生了解和學習這門課程是非常有幫助的。其次，在教學方式和方法上，我們闡述一些合理有效的教學方式，并且提出完整完善的教學方法，以此提高課堂的教學效率以及學生的學習效果。最后，我們對這門課程的考查方式提出一些建議和創新。

二、實變函數的主要內容

基本的實變函數內容主要有三部分，分別是集合論、測度論以及Lebesgue積分論。這三者是環環相扣、相互聯系的，而并非是相關獨立的三個部分。

實變函數的核心內容是Lebesgue積分論，而它恰是數學分析中Riemann積分的推廣。兩者都蘊含著積分的思想，只是出發點不同。一個是對定義域進行分割取極限（Riemann積分），一個是對值域分割取極限（Lebesgue積分）。Lebesgue本人用比較通俗、生動的語言闡述了他所創立的積分與Riemann積分的區別，Lebesgue這樣描述他的積分：“我需要付一筆錢給別人，有兩張付款方式。第一種是從口袋里隨機的一張一張地掏出來，直到籌夠了總的款項，這就是黎曼積分。第二種是把口袋里的錢按照幣值的大小做一個分類，再按照幣值大小付錢直到籌夠總的款項，這就是我的積分”。明白上述這段話對理解Lebesgue積分是非常有幫助的。

Lebesgue積分可以說是現代分析學與古典分析學的分水嶺。既然是對值域進行分割，就必要涉及到求對應定義域（一般點集）的“長度”問題，而這就是測度論的內容，即測度本質上是長度，面積或者體積的推廣。這種推廣是具有劃時代意義的。測度論不僅僅應用于實變函數這門學科，在其他很多領域都發揮著重要的作用，如偏微分方程、調和分析等，與此同時，作為研究對象，點集的概念和性質便應運而生，因此第一章講集合論便順理成章。事實上，從歷史的發展角度上看，是德國數學家Cantor首先發展了集合論，進而才有了Lebesgue積分論。對學生而言，集合論是一個高度抽象的事物，很難理解和掌握，這其實是一種正常的表現。在Cantor本人研究發展集合論的時代也是遭到了很多當代數學家的反對，包括他的導師克羅內克，法國數學家龐加萊等。這在課堂上可以給學生講授，不讓他們失去學習的信心。

三、實變函數的教學方式

實變函數課程的內容大多是定理的推導和證明，單一的授課方式會讓學生覺得枯燥無聊，甚至會產生厭惡感。為此，針對本門課程的特點，筆者認為可以靈活地選擇如下的授課形式：

1.著重把握實變函數的整體框架，尤其是第一節課，應向學生闡明本課程的歷史現狀與已學過的課程，如數學分析之間的區別和聯系，特別地，講述Lebesgue積分和Riemann積分的區別是重點。這樣做會讓學生對實變函數課程有個直觀、整體上的把握，不至于迷失于細節的證明推導過程中。

2.在具體內容的講述中，穿插一些名人軼事，一方面讓學生了解實變函數課程的發展歷史，同時提高學生的學習興趣。比如在講集合論時，可以講述一下Cantor本人的遭遇；在講測度論時講述不同數學家提出的不同測度并比較其優缺點，以便學生更加清楚Lebesgue測度的重要性。

3.要去粗存精。由于課時較少，實變函數課程很難完全系統地講完，所以有必要省去一些內容，同時花大力氣講述重要的、經典的內容。具體的，可以適當地簡短關于集合論的內容，多把時間花在Lebesgue積分論上。

4.采取板書和PPT相結合的方式。如果只是板書，學生學起來會比較枯燥，如果在一些內容上采用PPT教學，則會相得益彰。特別是在講Cantor集的時候，可以放一些關于分形的圖片和動畫，讓學生了解現代數學的一些概念并體會數學的美。

四、實變函數的考查方式

從教學考核上看，應該增設期中考試。其中考試能夠很好地檢驗學生的學習程度，從而有效調整講課的方式和速度，提高學習效率。同時，也讓學生不至于期末考試的時候一團糟，茫然不知所措。另外，結合國外教學經驗，口試環節可以比較清楚了解學生的學習狀況，有時比簡單的筆試效果更佳。所以嘗試口試與筆試相結合的方式是可取的。

參考文獻：

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