義務教育階段數學教學中常見的數學思想

董利軍

摘 要：新修訂的《義務教育數學課程標準》把傳統的“雙基”擴充為“四基”，即在基礎知識和基本技能的基礎上增加了“基本的數學思想”和“基本的數學體驗”。把“數學思想”作為一個獨立的教學目標明確提了出來，表明了“數學思想”在一個人的數學素養中所占的重要地位。基礎教育中常見的數學思想包括數形結合的思想、類比的思想、方程的思想、分類討論的思想、化歸的思想、整體的思想和函數的思想。

關鍵詞： 數學課程標準 數學思想

新修訂的《義務教育數學課程標準》中指出“課程內容要反映社會的需要、數學的特點，符合學生的認知規律。它不僅包括數學的結果，也包括數學結果的形成和蘊含的數學思想方法”[1]。對教師的教學也提出了新的要求，指出“教師的教學應該使學生理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得基本的數學活動經驗”[2]。這兩句話無論從教學內容的設置上還是教學過程的實施上都強調了基礎教育階段數學思想培養的重要性。新課程標準把傳統的“雙基”擴充為“四基”，即在基礎知識和基本技能的基礎上增加了“基本的數學思想”和“基本的數學體驗”。基礎教育強調“數學思想”教學的意義是什么呢？日本數學家米山國藏的一段話能給我們一些啟迪，他說“作為知識的數學出校門不到兩年就忘了，唯有深深銘刻在頭腦中的數學精神、數學思想、研究方法和著眼點等，這些隨時隨地發生作用，使人終身受益”[3]。可見，數學思想是一種使人終生受益的世界觀和方法論。是指導我們探究和解決數學問題的思維方式和辦法。在基礎教育過程中蘊含哪些常見的數學思想呢，本文做了一下簡單的梳理。

一、數形結合思想

數與形是數學中的兩個最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉化。數與形是有聯系的，這個聯系稱之為數形結合，或形數結合。作為一種數學思想方法，數形結合的應用大致又可分為兩種情形：借助于數的精確性來闡明形的某些屬性，這種情形是“以數解形”；或者借助形的幾何直觀性來闡明數之間某種關系，這種情形是“以形助數”。

例如用圖形的面積來驗證平方差公式的正確性：

a2-b2 =（a+b）（a-b），

可以用下面圖形的面積變形來表示。

；這是典型的“以形助數”的例子。

數形結合的思想可以說是貫穿于數學教學的始終。利用線段圖分析數量關系、數軸、統計圖、圖形計算等等都是“數”與“形”的結合。我國著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事休”。足見數形結合思想在數學教學中的重要性。

二、類比思想

類比是在借鑒的基礎上產生的創造性的思維過程。他研究的是兩個對象在某些方面相同或相似，從而推測出他們在其他方面也可能存在的相同或相似之處。這是學習數學新知一種常用的方法。

例如學習分式基本性質和計算時，可以類比小學階段學習的分數的基本性質和計算法則來進行分式的基本性質和計算法則學習。學習二次根式的運算可以類比整式運算的計算法則進行。還有，我們經常會遇到一題多變的問題，通常也是運用類比的方法逐步來解決。

三、方程的思想

在解決數學問題時，有一種從未知轉化為已知的手段就是通過設元，設未知數。然后尋找已知與未知之間的等量關系，構造方程或方程組，然后求解方程完成未知向已知的轉化，這種解決問題的思想稱為方程思想。

例如：一艘輪船在靜水中的最大航速為30 km/h，它沿江以最大航速順流航行90 km所用時間，與以最大航速逆流航行60 km所用時間相等，江水的流速為多少？

分析：這是一個實際問題，這類實際問題如果用算術方法解決數量關系非常復雜，很難解決。如果利用方程的思想，將江水的流速設為v km/h. 依據輪船沿江以最大航速順流航行90 km所用時間，與以最大航速逆流航行60 km所用時間相等為等量關系建立方程，數量關系就變得簡單明晰多了。

即，依題意得，解得， v=6 ， 問題得以解決。

方程的思想，即是用方程解決問題的應用，也是對方程概念本質的認識，是通過分析數學問題中變量間的等量關系，構建方程或方程組，建立方程模型的思維過程 。教學過程中要培養學生善用方程和方程組觀點來觀察處理問題。

四、分類討論思想

任何一個數學結論都有其成立的條件，每一種數學方法的使用也往往有其適用范圍，在我們所遇到的數學問題中，有些問題的結論不是唯一確定的，有些問題的結論在解題中不能以統一的形式進行研究，還有些問題的已知量是用字母表示數的形式給出的，這樣字母的取值不同也會影響問題的解決，由上述幾類問題可知，解決這種類型的問題時，要把所有研究的問題根據題目的特點和要求，分成若干類，轉化成若干個小問題來解決，這種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的數學思想，稱之為分類討論思想。

例如：圓與圓有怎樣的位置關系？

分析：圓與圓有相離、外切、相交、內切、內含（包括同心圓）等多種位置關系，不同的位置關系時兩圓的圓心距l與兩圓半徑R和r有不同的數量關系，用分類的方法更容易厘清這些關系：

①外離l>R+r； ②外切l=R+r； ③相交R-r

④內切l= R-r ； ⑤內含 l

如果再配合圖表進行分類，條理就更清晰了。

分類討論的數學思想在日常教學中運用的比較廣泛。比如，常規判定三角形全等的方式有5種，在教學過程中要引導學生分類進行學習；商場為了促銷采取不同的打折方式營銷，你選擇哪個商場消費更省錢這類問題也要分類討論；進行復習的時候，我們通常也會采用分類進行專題復習等等，都是分類的思想在教學中的典型運用。分類討論的思想能使復雜的問題條理化，將一些復雜的問題轉化成若干簡單的小問題，便于對問題的理解和解決。

五、化歸思想

化歸思想，就是在研究和解決有關數學問題時采用某種數學手段將問題通過變換使之轉化，進而達到解決的一種方法。通常是將復雜問題通過變換轉化為簡單問題，將難解的問題通過變換轉化為容易求解的問題，將未知的問題通過變換轉化為已知的問題等等。總之，化歸在數學解題中幾乎無處不在，化歸的基本功能是：生疏化成熟悉，復雜化成簡單，抽象化成直觀，含糊化成明朗，未知化已知。它是轉化和歸結的簡稱。

例如：解方程： 。

分析：這是一個分式方程，學生在一開始接觸解分式方程時，還不知道如何著手進行解答，教師要引導學生根據等式的基本性質通過去分母的方法把分式方程轉化為含有括號的一元一次整式方程，再通過去括號法則將這個帶括號的一元一次方程轉化為不帶括號的一元一次方程，這樣逐級轉化，化未知為已知，完成了解方程的過程，也掌握了分式方程的解法。

即：去分母轉化為一元一次方程， ，去括號轉化為不帶括號的一元一次方程， 解得，

化歸的實質就是以及事物之間相互聯系，相互制約的觀點出發，以運動變化發展的觀點看待問題，善于對所要解決的問題進行變換轉化，使問題得以解決。

六、整體思想

整體思想就是從問題的整體結構出發，突出對問題的整體結構的分析和研究，發現問題的整體結構特征，善于用“總體”的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體的一部分，把握它們之間的關聯，進行有目的、有意識的整體處理。

例如，合并同類項（1）4（a+b）+2（a+b）-（a+b）；（2）3（x+y）2-7（x+y）+8（x+y）2+6（x+y），解題的時候不要打開括號，而是把（a+b）和（x+y）看作一個整體來合并就比較簡單了。

整體的思想通常在教學整理復習的時候運用的比較廣泛，例如每一章章后小結的知識結構圖，就是在本章的整體知識結構下來說明每個知識點在所處的地位、作用和各知識點之間的相互聯系的，便于學生在整體上把握知識體系。與知識結構圖相類似的還有知識樹，也是從整體上梳理知識結構，體現了整體的數學思想。

七、函數的思想

函數的思想是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題的思維策略。具體來說，函數描述了自然界中數量之間的關系，刻畫了兩個變量之間的變化規律，函數思想通過提出問題的數學特征，建立函數關系型的數學模型，從而進行研究。它體現了“聯系和變化”的辯證唯物主義觀點。一般地，函數思想是構造函數從而利用函數的性質解題。基礎教育階段常見的函數有一次函數、反比例函數、二次函數和三角函數。

綜上所述，所有的數學思想都是培養學生分析問題和解決問題的策略。這些策略有的運用的比較廣泛，比如數形結合的思想、轉化的思想、分類的思想、類比的思想、方程的思想等，這些數學思想在一節課或一個學時的教學過程中反復多次運用或涉及。多數時候為解決一個問題會有幾種思想策略綜合運用的情況存在。有的策略運用的相對少些，比如整體的思想、函數的思想等。但不管這些數學思想在教育教學中運用的頻繁與否，都應該潛移默化地植根于學生的思想中，成文他們思考問題和解決問題的一種行為方式，隨時隨地發生作用，使他們終身收益。

參考文獻

[1]義務教育數學課程標準（2011年版）.[M].北京師范大學出版社.2012年1月.

[2]趙希斌.魅力課堂：高效與有趣的教學.[M].華東師范大學出版社.2013年6月.