淺談在高三復(fù)習(xí)中如何利用分段函數(shù)教學(xué)提高學(xué)生的抽象思維能力

◎曹穎慧

(保定市第二中學(xué)，河北 保定 071000)

一、著力于教材

抽象思維能力的培養(yǎng)不是憑空生成的，它源于教材，為抽象思維能力的培養(yǎng)提供了基礎(chǔ)[1].人民教育出版社A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)·必修1》中有10多個(gè)例題和習(xí)題，雖然學(xué)生在高一的時(shí)候已經(jīng)學(xué)習(xí)了分段函數(shù)，但是知識(shí)是循環(huán)式上升的，抽象思維能力也是逐步提升的，高三再?gòu)?fù)習(xí)這些知識(shí)，會(huì)對(duì)函數(shù)有更深刻的理解.將這10多個(gè)習(xí)題按照難易程度排隊(duì)，由淺入深的復(fù)習(xí).

A級(jí)：?jiǎn)栴}簡(jiǎn)單、直觀、明了，學(xué)生容易解答.

B級(jí)：給出了具體的分段函數(shù)，按照要求做出圖像就行.

C級(jí)：需要學(xué)生先寫(xiě)出分段函數(shù)，再解決后面的問(wèn)題.

D級(jí)：利用分段函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題.

通過(guò)復(fù)習(xí)，學(xué)生在知識(shí)上，對(duì)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則、定義域、值域、圖像、集合知識(shí)的運(yùn)用等要有更深刻的理解；在思想方法上，有分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合等；提高基本初等函數(shù)圖像、性質(zhì)、解析式等的理解掌握程度[2].

二、以高考題為源深化拓展

高考命題原則是在知識(shí)交匯處設(shè)置考題，有時(shí)分段函數(shù)不僅僅是出現(xiàn)在函數(shù)方面.

例2(2012年新課標(biāo)全國(guó)卷第18題)某花店每天以5元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價(jià)格出售.如果當(dāng)天賣(mài)不完，剩下的玫瑰花做垃圾處理.

(Ⅰ)若花店一天購(gòu)進(jìn)17枝(文科)(理科16枝)玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(rùn)y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位：枝，n∈N*)的函數(shù)解析式；

(Ⅱ)略.

例3(2016年全國(guó)卷Ⅰ文科第19題)某公司計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)1臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買(mǎi)這種零件作為備件，每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買(mǎi)，則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買(mǎi)機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買(mǎi)幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：(圖略)

記x表示1臺(tái)機(jī)器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù)，y表示1臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買(mǎi)易損零件上所需的費(fèi)用(單位：元)，n表示購(gòu)機(jī)的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)的易損零件數(shù).

(Ⅰ)若n=19，求y與x的函數(shù)解析式；

(Ⅱ)略；

(Ⅲ)略.

例4(2016年全國(guó)卷Ⅱ文科第17題)等差數(shù)列{an}中，a1+a4=4，a5+a7=6.

(Ⅰ)求{an}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)設(shè)bn=[an]，求數(shù)列{bn}的前10項(xiàng)和，其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[0.9]=0，[2.6]=2.

例5(2016年全國(guó)卷Ⅱ理科第17題)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1=1，S7=28.記bn=[lgan]，其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如，[0.9]=0，[lg99]=1.

(Ⅰ)求b1，b11，b101；

(Ⅱ)求數(shù)列{bn}的前1 000項(xiàng)和.

這是姊妹題，以理科為例分析：(Ⅰ)由等差數(shù)列的知識(shí)得到an=n，那么bn=[lgn]，得到b1=[lg1]=[0]=0，b11=[lg11]=1，b101=[lg101]=2.

在科學(xué)研究中，科學(xué)抽象的具體過(guò)程是千差萬(wàn)別的，沒(méi)有千篇一律的模式.通過(guò)分段函數(shù)的復(fù)習(xí)要教會(huì)學(xué)生抽象的過(guò)程：第一步：分離，就是暫時(shí)不考慮我們所要研究的對(duì)象與其他各個(gè)對(duì)象之間各式各樣的聯(lián)系，從學(xué)科的研究領(lǐng)域出發(fā)，從探索某一種規(guī)律性出發(fā)，確定自己所特有的研究對(duì)象；第二步：提純，就是在思想中排除那些模糊基本過(guò)程、掩蓋普遍規(guī)律的干擾因素，從而使我們能在純粹的狀態(tài)下對(duì)研究對(duì)象的性質(zhì)及其規(guī)律進(jìn)行考察；第三步：簡(jiǎn)略，就是對(duì)純態(tài)研究的結(jié)果進(jìn)行的一種處理，或者說(shuō)是對(duì)研究結(jié)果的一種表述方式，在科學(xué)研究過(guò)程中，對(duì)復(fù)雜問(wèn)題做純態(tài)的考察是一種簡(jiǎn)化，另外，對(duì)于考察結(jié)果的表達(dá)也有一個(gè)簡(jiǎn)略的問(wèn)題.這個(gè)過(guò)程概括為：分離—提純—簡(jiǎn)略.

抽象思維能力的培養(yǎng)不是一蹴而就、一朝一夕的，需要由淺入深，由表及里，多次滲透，反復(fù)訓(xùn)練[2].

[1]樓肇慶.高三數(shù)學(xué)教學(xué)落實(shí)核心素養(yǎng)的若干著力點(diǎn)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017(16):36-39.

[2]鄭云初.點(diǎn)擊分段函數(shù)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2004(7):6-8.