內圓外方和外圓內方相關問題的些許思考

摘 要：在小學數學教學中，《圓》是重要組成部分，其中組合圖形的面積計算問題是重點與難點，本文以實踐教學的方式，對該部分問題進行研究分析，為今后的教學提供理論與實踐支持。

關鍵詞：小學數學；組合圖形；面積計算

在學習人民教育出版社六年級數學上冊第五單元《圓》的知識過程中出現了某些組合圖形，既內圓外方和外圓內方計算相關面積的問題，現就對本知識點的某些探究、思考與大家交流一下。

數學問題的解決進行公式化處理是學生最易理解和接受的學習方式，如長方形、正方形面積、周長公式化，三角形面積公式化等，那么內圓外方與外圓內方相關問題能否公式化處理，在教學過程中我和我班同學進行了一番探討，情況如下。

我們首先討論內圓外方問題。

一般來講，內圓外方問題有兩種情況：

1. 知道正方形邊長a求陰影部分面積，陰影部分面積=正方形面積-圓的面積。根據圓與正方形的關系（外切）我們可以知道圓的直徑d=a，所以陰影部分面積=a2-π×d22=a2-π×

a22=a2-π×a24=1-π4a2，此類情況較為簡單。

2. 知道圓的半徑r求陰影部分面積。我們知道圓與正方形外切，故2r=直徑d=正方形邊長a，所以a=2r，進而知道正方形面積=a2=（2r）2=4r2，陰影部分面積=4r2-πr2=（4-π）r2。

以上兩種情況較為簡單直觀，在與學生探究的過程中基本是以學生的合作討論為基礎，教師稍加總結即可得出結論。

下面我們討論第二類問題：外圓內方。

對于外圓內方問題我們同樣分為兩類展開討論。

1. 知道正方形邊長a求陰影部分面積。解決這個問題我們要借助輔助線來讓邊長a與圓的半徑r建立聯系。由正方形的特征我們知道三角形ABD為直角三角形，所以AB2+AD2=a2+a2=BD2=直徑d2，所以2a2=d2，又由d=2r可知d2=（2r）2=4r2=2a2，進一步得出r2=a22，所以圓的面積=πr2=πa22，陰影部分面積=圓的面積-正方形面積=

πa22-a2=π2-1a2。這類問題利用了勾股定理讓正方形邊長與圓的半徑建立聯系，這是解決問題的關鍵。

2. 知道圓的半徑r求陰影部分面積。解決這類問題仍需借助輔助線及勾股定理相關知識讓半徑r與正方形面積建立聯系。根據半徑的特征我們知道點C到圓心O的距離=半徑r，所以線段BD=d=2r。根據正方形特征我們又知道三角形ABD=三角形BCD，線段OC垂直于線段BD，所以OC是三角形BCD的高，由此可知三角形BCD的面積=OC×BD÷2，前面我們知道了OC=r，BD=d=2r，所以OC×BD÷2=r×d÷2=r×2r÷2=r2，正方形面積=三角形ABD+三角形BCD=r2+r2=2r2，那么陰影部分的面積=圓的面積-正方形面積=πr2-2r2=（π-2）r2。

以上四種情況雖以計算陰影部分面積為方向，但在計算過程中很好地體現了圓與正方形在內切、外切情況下它們面積的內在聯系。就六年級同學情況而言，整個探究推理過程中只有勾股定理較為生疏，此處對學生稍加點撥，學生基本都能正確運用。此類問題雖不是教學重難點，但對此類問題的探究大大激發了學生學習數學的興趣和研究探討問題的熱情，取得了很好的教學效果。

作者簡介：楊福海，山東省菏澤市，鄄城縣什集鎮中心校。